tìm đa thức hệ số thực

Tìm tất cả các đa thức http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P\in\mathbb{R}[x] sao cho:Nếu http://dientuvietnam...mimetex.cgi?P(a)\in\mathbb{Z} thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a\in\mathbb{Z}.

deg P<=0: Dễ thấy không tồn tại P(x) thoả.
deg P=1: Dễ thấy P(x)=x/a+b/a trong đó a Z*, b Z.
deg P>1: Chỉ cần xét P R[x] có hệ số bậc cao nhất dương. Khi đó tồn tại a sao cho P'(x)>1 x>a .
Xét n,m>a mà P(n)=t,P(m)=t+1 (t Z). Dĩ nhiên m,n Z và m>=n+1 (do ).
Theo định lí Lagrange khi đó tồn tại c (n,m) sao cho :
P'©=(P(m)-P(n))/(m-n)<=1 (mâu thuẫn với ).
Vậy P(x)=x/a+b/a trong đó a Z*, b Z.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 1001001: 28-11-2006 - 10:23

deg P<=0: Dễ thấy không tồn tại P(x) thoả.
deg P=1: Dễ thấy P(x)=x/a+b/a trong đó a Z*, b Z.
deg P>1: Chỉ cần xét P R[x] có hệ số bậc cao nhất dương. Khi đó tồn tại a sao cho P'(x)>1 x>a .
Xét n,m>a mà P(n)=t,P(m)=t+1 (t Z). Dĩ nhiên m,n Z và m>=n+1 (do ).
Theo định lí Lagrange khi đó tồn tại c (n,m) sao cho :
P'©=(P(m)-P(n))/(m-n)<=1 (mâu thuẫn với ).
Vậy P(x)=x/a+b/a trong đó a Z*, b Z.

Hàm P(x)=c với c không thuộc Z cũng thỏa mãn chứ nhỉ?
Với lại làm sao mà biết được là có tồn tại hay không m,n sao cho P(n)=t, P(m)=t+1?

1/ Hàm P(x)=c với c Z dĩ nhiên không thoả.
2/Dĩ nhiên là tồn tại vì P liên tục và đơn điệu trên (a,+ )