Cho http://dientuvietnam...2,...,m_r(không cần phải phân biệt) và http://dientuvietnam...2,...,n_s(không cần phải phân biệt) là hai nhóm các số nguyên dương sao cho:Với mỗi số nguyên dương http://dientuvietnam...etex.cgi?d>1,số các số chia hết cho http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?d trong nhóm thứ nhất(tính cả lần lặp) không nhỏ hơn số các số chia hết cho http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?d trong nhóm thứ hai(tính cả lần lặp).
Chứng minh rằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{m_1m_2...m_r}{n_1n_2...n_s}\in\mathbb{Z}.
Nhìn lại tất cả các bài toán của China TST 2004
(m_1...m_r)/(n_1n_2...n_s) là nguyên
Bắt đầu bởi QUANVU, 21-03-2006 - 14:41
#1
Đã gửi 21-03-2006 - 14:41
1728
#2
Đã gửi 22-03-2006 - 10:22
giả sử Z
Tồn tại p P mà số mũ của p trong nhỏ hơn số mũ của p trong
gọi số mũ của p trong các số là số
gọi số mũ của p trong các số là số
ta sẽ chứng minh 1 k s
Quy ước =0 nếu k>r
thực vậy nếu < với k nào đó chỉ xét >0
áp dụng giả thiết cho số d= trong các số chỉ có tối đa k-1 số (vì )
nhưng trong các số có k số (vì )
MÂU THUẪN
vậy 1 k s
MÂU THUẪN VỚI
vậy giả sử Z
Tồn tại p P mà số mũ của p trong nhỏ hơn số mũ của p trong
gọi số mũ của p trong các số là số
gọi số mũ của p trong các số là số
ta sẽ chứng minh 1 k s
Quy ước =0 nếu k>r
thực vậy nếu < với k nào đó chỉ xét >0
áp dụng giả thiết cho số d= trong các số chỉ có tối đa k-1 số (vì )
nhưng trong các số có k số (vì )
MÂU THUẪN
vậy 1 k s
MÂU THUẪN VỚI
vậy giả sử Z
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi adriano27: 22-03-2006 - 10:24
#3
Đã gửi 22-03-2006 - 12:33
Viết lại như thế này có thể ngắn gọn rõ ràng hơn:
Gọi http://dientuvietnam...mimetex.cgi?a(k) là số số chia hết cho http://dientuvietnam...mimetex.cgi?p^k trong http://dientuvietnam...imetex.cgi?m_i. http://dientuvietnam...mimetex.cgi?b(k) là số số chia hết cho http://dientuvietnam...mimetex.cgi?p^k trong http://dientuvietnam...imetex.cgi?n_j. Thì http://dientuvietnam...mimetex.cgi?m_i là:
Vậy có đpcm
Gọi http://dientuvietnam...mimetex.cgi?a(k) là số số chia hết cho http://dientuvietnam...mimetex.cgi?p^k trong http://dientuvietnam...imetex.cgi?m_i. http://dientuvietnam...mimetex.cgi?b(k) là số số chia hết cho http://dientuvietnam...mimetex.cgi?p^k trong http://dientuvietnam...imetex.cgi?n_j. Thì http://dientuvietnam...mimetex.cgi?m_i là:
Vậy có đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phtung: 22-03-2006 - 12:34
#4
Đã gửi 22-03-2006 - 13:31
Lời giải của mình chắc na ná vậy.
Với mỗi số nguyên dương n và số nguyên tố p.Gọi http://dientuvietnam...metex.cgi?e_p(n) là số mũ của p trong phân tích của n.
Vậy bài toán được giải nếu ta chỉ ra: http://dientuvietnam....cgi?p^{e_p(n_s)}
--------------------------------2---------------------http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p^{e_p(n_{s-1})}
... ...
--------------------------------s---------------------http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p^{e_p(n_{1})}
Ở trên đã dùng gt nhiều lần cho các số d chưa hẳn đã lớn hơn 1,nhưng bằng 1 chắc càng dễ.
Bởi vậy số mũ của p trong m_1.m_2...m_r ít nhất phải bằng:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?e_p(n_s)+e_p(n_{s-1})+...+e_p(n_1)(vét 1,vét 1,vét 1,...)
Với mỗi số nguyên dương n và số nguyên tố p.Gọi http://dientuvietnam...metex.cgi?e_p(n) là số mũ của p trong phân tích của n.
Vậy bài toán được giải nếu ta chỉ ra: http://dientuvietnam....cgi?p^{e_p(n_s)}
--------------------------------2---------------------http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p^{e_p(n_{s-1})}
... ...
--------------------------------s---------------------http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p^{e_p(n_{1})}
Ở trên đã dùng gt nhiều lần cho các số d chưa hẳn đã lớn hơn 1,nhưng bằng 1 chắc càng dễ.
Bởi vậy số mũ của p trong m_1.m_2...m_r ít nhất phải bằng:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?e_p(n_s)+e_p(n_{s-1})+...+e_p(n_1)(vét 1,vét 1,vét 1,...)
1728
#5
Đã gửi 23-03-2006 - 09:23
đây chắc là bài gỡ điểm của đề TST
#6
Đã gửi 23-03-2006 - 13:31
so am i (Đoạn này dùng ngoại ngữ ,không biết có chuẩn không nữa )đây chắc là bài gỡ điểm của đề TST
1728
#7
Đã gửi 23-03-2006 - 13:48
Vẫn còn 1 bài gỡ điểm nữa là bài 10^4 . Bài hay nhất chắc là bài tập hợp 1/k_i.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phtung: 23-03-2006 - 13:49
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh