10^4 cấp số cộng không có từ chung

Số lớn nhất trong các số http://dientuvietnam...},...,p_t^{a_t} được gọi là số tốt của số nguyên dương http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?n nếu http://dientuvietnam...p_1,p_2,...,p_t là các số nguyên tố đôi một khác nhau và http://dientuvietnam...a_1,a_2,...,a_t là các số nguyên dương.
Cho http://dientuvietnam...2,...,n_{10000} là các số nguyên dương phân biệt sao cho các số tốt của tất cả chúng là bằng nhau.Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên http://dientuvietnam...2,...,b_{10000} sao cho các tập http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\{b_i,b_i+n_i,b_i+2n_i,...\},i=\overline{1,10000} đôi một rời nhau.

Nhìn lại tất cả các bài toán của China TST 2004

Đặt http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f(n) là số tốt của http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?n. Ta chứng minh bằng quy nạp theo http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?k rằng nếu http://dientuvietnam...n_1;n_2;...;n_k là http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?k số nguyên dương phân biệt có http://dientuvietnam...metex.cgi?f(n_1)=...=f(n_k)=p^{\alpha} thì sẽ tồn tại dãy http://dientuvietnam...b_1;b_2;...;b_k thỏa mãn .

Với http://dientuvietnam...mimetex.cgi?k=2 thì dễ thấy.
Giả sử đã đúng tới http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?k.
Bây giờ xét với http://dientuvietnam...mimetex.cgi?k 1

Ta có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(n_1)=...=f(n_{k+1})=p^{\alpha\}..
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n_1=p^{\alpha}a_i Và cũng đặt http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?b_i=f(a_i)+c_ip^{\alpha}. Do ra có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(a_i)<f(n_i)=p^{\alpha} nên ta có nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?m để
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(a_i)=...=f(a_t)=q^{l}.
Ta cũng có thể coi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?c_i thỏa mãn.
Khi đó không tồn tại http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?m mà
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x;y mà
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?b_i+xn_i=b_j+yn_j
Hay http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?q^{l}+c_i.p^{\alpha}+xp^{\alpha}a_i=q^{l}+c_jp^{\alpha}+yp^{\alpha\}
Hay http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?c_i+xa_i=c_j+ya_j ( mâu thuẫn)

Theo nguyên lí quy nạp ta có ĐPCM.