dãy tt cấp 2

Cho http://dientuvietnam...cgi?v_0=0,v_1=1 và http://dientuvietnam...{n-1}(n=1,2,...).Chứng minh rằng không có số hạng nào của dãy có dạng http://dientuvietnam...ex.cgi?3^a5^b,ở đây http://dientuvietnam...mimetex.cgi?a,b là các số nguyên dương.

Nhìn lại các bài toán của China TST 1989

Dễ dàng có được đẳng thức sau: http://dientuvietnam...v_1v_0 v_0^2=1. Từ đó, ta suy ra: http://dientuvietnam...i?(v_{n-1}-4v_n)^2=1+15v_n^2, hay http://dientuvietnam...(v_{n-1}-4v_n 1)(v_{n-1}-4v_n-1)=15v_n^2. Giả sử tồn tại http://dientuvietnam...mimetex.cgi?v_n có dạng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?3^a\cdot5^b. Khi đó, chí ít thì phương trình http://dientuvietnam...metex.cgi?x(x 2)=3^y\cdot5^z có nghiệm nguyên dương và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?y,z\ge2. Chú ý rằng ước chung lớn nhất của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?x và http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x 2 khác http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?3 và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?5. Thành thử, hoặc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x=3^y,x+2=5^z, hoặc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x=5^z,x+2=3^y. Không tồn tại các giá trị nguyên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?y,z\ge2, thỏa mãn một trong hai hệ trên. Vậy ta có ĐPCM.