Mình có bài toán này chưa biết lời giải, mong mọi người giúp đỡ:
Chứng minh rằng có thể lập được 1 song ánh tư Z(tập số nguyên) vào
Q(tập số hữu tỉ)
Mong các bạn có lời giải dễ hiểu
Mình xin cảm ơn

Ta chỉ cần chứng minh là có thể lần lượt "đếm" tất cả các số hữu tỷ dương. Để đếm các số hữu tỷ dương ta lần lượt đếm các phân số m/n (m,n > 0) với tổng m+n bằng 1, rồi bằng 2, .... (phân số nào đếm rồi thì thôi) Khi đếm các phân số m/n với cùng tổng m+n ta đếm lần lượt theo sự tăng dần của m chẳng hạn.

vinhspiderman và các bạn có quan tâm tới Algebraic Geometry và Commutative Algebra rất nên tham dự trường Toán vào mùa đông này. Việc mình có hiểu nhiều hay không thực ra không quan trọng bằng việc mình có điều kiện làm quen với những người đang có cùng quan tâm và được giới thiệu (qua các bài giảng) về các hướng nghiên cứu hiện tại trong chuyên ngành. Hơn nữa, những người giảng bài lần này toàn là các cây cổ thụ trong ngành nên chắc chắn các bài giảng sẽ hay, đơn giản và dễ hiểu.

Nếu các bạn đang ở HN thì có thể đến viện Toán trực tiếp gặp chú Ngô Việt Trung, chú Nguyễn Tự Cường hoặc anh Lê Tuấn Hoa để hỏi thêm về thủ tục tham gia. Các bạn ở ngoài HN có thể dùng email để liên lạc. Để tìm địa chỉ email và số phone các bạn có thể vào www.math.ac.vn - địa chỉ website của viện Toán.

canh_dieu không về được à? Tiếc nhỉ! Anh thấy mọi người bảo tình hình Visa bây giờ dễ chịu hơn mấy năm trước nhiều rồi đấy - thử cố gắng xem có về được không.

Vấn đề mà CXR giải quyết bài toán của mathun bằng quy nạp khi xét n=1 thì cũng đưa đến trường hợp như canh_dieu nói : "Nếu A là mô đun hhs Ext{A,B} với mọi môđun B hhs thì làm cách nào suy ra được là xạ ảnh." Vấn đề mấu chốt là ta đang xét trên vành Noether.
      Có cách nào giải quyết trường hợp này mà không cần cùng tới vành đia phương không. Tiện thể cho hỏi CXR, mối liên hệ giữa vành địa phương và vành Noether  ( Tại vấn đề mathun con rất yếu}

Mot vanh giao hoan duoc goi la Noether neu moi ideal cua no deu la huu han sinh (finitely generated). Mot vanh Noether duoc goi la vanh dia phuong neu no co duy nhat mot ideal cuc dai (maximal ideal). Nhu canh_dieu da noi, voi mot vanh Noether R bat ky, neu lay dia phuong hoa cua R tai mot ideal nguyen to (hay tong quat hon la tai mot tap dong theo phe'p nhan) ta se duoc mot vanh dia phuong. Vi du, R la vanh cac so nguyen, p la ideal nguyen to sinh boi so nguyen to p, khi do dia phuong hoa cua R tai p se la vanh cac so huu ty ma mau so khong chia het cho p (dia phuong hoa tai p co the hieu la chia cho cac phan tu khong nam trong ideal p).

(Can chu y rang, neu ban khong lam ve dai so giao hoan thi khai niem vanh Noether se tong quat hon mot chut.)

Mot trong cac phuong phap kha "kinh dien" cua dai so giao hoan khi giai mot van de (cho mot vanh Noether R chang han) la giai quyet van de do tai cac vanh dia phuong hoa cua R, sau do chung minh rang neu mot tich chat la dung cho moi vanh dia phuong hoa http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R_p thi no se dung cho R (buoc nay thuong la don gian).

Nhin cai conference fee $100 hoi choang Tuy nhien, phai noi them la voi sinh vien va nhung nguoi lam Toan dang o VN thi conference fee chac se duoc giam rat nhieu (thanh ra khong dang ke) hoac la khong phai dong

Mọi người hiểu nhầm ý của em rồi. Thực ra em nói đến gần giống tức là muốn bao gồm cho cả những vành mà không hữu hạn sinh, ví dụ như các đại số lồi địa phương như đại số các hàm trơn trên một đa tạp trơn chẳng hạn, hoặc một đại số các toán tử trên không gian Hilbert nào đó (như được xét đến trong hh kgh). Nhưng tuy nhiên, các kỹ thuật cũng không khác nhiều.

Dinh nghia ham dia phuong khong he co gioi han trong cac vanh huu han sinh.

Ky thuat dimension shifting ma canh_dieu noi don gian that, lai khong phai lo chuyen chieu xa anh co huu han hay khong. Ve chuyen huu han sinh thi theo anh van de nam o cho nguoi ta co the chung minh duoc category cua cac modun huu han sinh tren R la co du injective modun. Vi the co the xay dung Ext trong category nay (van bang cac ham tu dan xuat cua Hom).

Chào CXR .Vấn đề mà mathun quan tâm là chiều của mô đun hhs tren vành Noether.
Bài toán:
      Cho R là vành Noether. A là mô đun hhs. Nếu Ext^{n+1}(A,B) =0 với mọi mô đun hhs B thì chiều xạ ảnh của A  n
      Bài này giải như thế nào ?

De giai quyet bai toan cua mathun con co mot cach kha don gian la chung minh bang quy nap theo chieu xa anh cua A. Gia su chieu xa anh cua A la n, tuc la ton tai mot giai xa anh:

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\partial. Khi do chieu xa anh cua A' la n-1 va ta co day khop



Xet day khop dai (long exact sequence) cua ham tu Ext cho boi day khop tren va nho rang gia thiet quy nap dung voi A' va chieu xa anh cua F_0 la 0 ... ta se co dieu phai chung minh.

Neu anh hieu khong nham thi Hilbert-modun co the hieu nhu la mot khong gian vector tren A voi mot tich vo huong cho truoc (inner product vector space?). Vi la khong gian vector nen chieu co the xay dung mot cach tu nhien theo so phan tu trong cac tap sinh toi thieu (basis).

Chieu dong dieu trong truong hop nay, theo anh, la luon bang 0 - vi cac khong gian vector tren A chac se la cac modun det (flat).

Neu co mot vanh giao hoan R thi ta luon co the dia phuong hoa R tai mot ideal nguyen to nao do. Cach xay dung vanh dia phuong cua R tai ideal nguyen to thi nhu canh_dieu da noi o tren.

Neu V la mot khong gian vector n chieu tren k (hay k-modul nhu QC goi) thi symmetric algebra cua V la mot vanh da thuc va tat nhien ta co the xay dung cac dia phuong hoa cua vanh da thuc tai cac ideal nguyen to.

Anh khong nho Hilbert-Modul ma modun nhu the nao

Neu modun da cho la modun tu do thi chieu dong dieu luon la 0 roi .. vi the chieu dong dieu khong phu thuoc gi vao basis cua modun do ca

NÓi chung thì em hiểu vành địa phương theo kiểu vật lý, tức là những vành nó gần giống với vành các mầm hàm chính quy tại một điểm. Em nghĩ chính vì thế nên người ta mới gọi nó là vành địa phương. Cái ideal sẽ là ideal các mầm triệt tiêu.

Thuat ngu "dia phuong" chi'nh la bat nguon tu y nghia hinh hoc nhu Kakalotta da noi. Tai moi diem tren mot da tap dai so (hay manifold) thi vanh cac mam ham chinh quy luon la mot vanh dia phuong (chu khong chi la gan giong), trong do ideal cuc dai (duy nhat) la ideal cac mam ham triet tieu.

Nghien cuu vanh dia phuong cung co the duoc coi nhu nghien cuu cac tinh chat hi`nh hoc trong mot lan can nho cua cac diem tren mot da tap dai so. Tuy vay, dinh nghia cung nhu cac cong cu de lam viec voi vanh dia phuong thi lai thuan tuy dai so. Vi vay nguoi ta moi bao "algebraic geometry" va "commutative algebra" tuy la 2 chuyen nga`nh nhung thuc chat lai chi la 1.

Chắc ý của anh CXR là xét một giải tự do cực tiểu (minimal free resolution) của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?A trên http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?R, sau đó lấy

U .. lay ham tu Hom moi duoc. Anh bay gio nham linh tinh Ext voi Tor Cam on canh_dieu nhe.

mathun mac du bai toan cua mathun phat bieu cho tinh chac cua Ext(A,B) voi moi modun B, nhung bai toan se van dung khi thay bang xet "moi modun B", ta chi xet truong residue k (coi nhu modun tren R). Cach chung minh thi nhu da noi, can thay viec lay tich tensor voi k bang viec lay Hom(-, k).

Chào CXR .Vấn đề mà mathun quan tâm là chiều của mô đun hhs tren vành Noether.
Bài toán:
Cho R là vành Noether. A là mô đun hhs. Nếu Ext^{n+1}(A,B) =0 với mọi mô đun hhs B thì chiều xạ ảnh của A n
Bài này giải như thế nào ?

Truoc tien mathun hay chung minh bai toan cho vanh dia phuong (local ring) roi mo rong ra cho moi vanh Noether. Bay gio gia su (R,m) la vanh dia phuong va k = R/m la truong residue. Khi do 3 statements sau day la tuong duong:

(1) Chieu xa anh cua A la` http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?B.
(3) .

(1) suy ra (2) va` (2) suy ra (3) la kha hien nhien (theo dinh nghia). De chung minh (3) suy ra (1) thi xet mot giai xa anh (projective resolution) cua A tren R, sau do lay tich tensor voi truong k .. luc nay ta se co mot phuc (complex) cua cac khong gian vector ma` cac anh xa bien deu la cac anh xa 0. Ket luan duoc suy ra kha' de dang.

mathun can lien lac voi CXR thi co the nhan msg tren nay, hoac tot hon la mang cac van de vao day de moi nguoi cung theo doi va thao luan cho vui.

canh_dieu nêu tên anh ra để "trốn tránh trách nhiệm" à? Bây giờ canh_dieu đang học cùng bà Swanson, sắp tới lại học với ông Roberts - toàn những chuyên gia hàng đầu về modules còn gì

Không biết mathun quan tâm tới khía cạnh nào của chiều một module hữu hạn sinh trên một vành Noether?

Neu QC muon chung minh http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?X la dong cau (homeomorphic) voi dia http://dientuvietnam...mimetex.cgi?D^n thi co le nhieu hon la doi hoi cua bai toan. De chung minh rang http://dientuvietnam...tex.cgi?S^{n-1} theo anh chi can xet cac retract ma` deform http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?X ve mot dia quanh diem deformation retract roi chung minh rang gioi han cua cac anh xa nay tren http://dientuvietnam...ex.cgi?S^{n-1}.

Dinh nghia contractible thong qua cac nhom http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\pi_i nhu QC co ve khong duoc tu nhien lam. Anh chi thuong thay khai niem contractible duoc dinh nghia qua khong gian cac duong di (paths space) hoac tu nhien hon nua la qua khai niem deformation retract. Chang han nhu theo cuon Algebraic Topology cua Fulton thi mot khong gian http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?X duoc goi la contractible neu ton tai mot diem http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?x la mot deformation retract cua http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?X. O day, neu http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?Y la mot khong gian con cua http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?X thi http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?Y duoc goi la mot deformation retract neu nhu ton tai mot anh xa lien tuc http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?Y vao trong http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?X sao cho http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?r la homotopic voi anh xa don vi tren http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X.

Ve viec dung dong cau Hurewitz thi QC can de y rang http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S^{n-1} chu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X thi co le homotopic voi dia http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?D^n (ball chac phai dich la bo'ng chu nhi?!).

Goi M la` 1 n-manifold, compact va` contractible, cmr khi do´ homology cua co´ homology cua (n-1)-Sphere, tuc´ la` . Xin moi`.

QC thử xem lại định nghĩa "contractible" xem thế nào. Theo anh thì điều kiện M là compact và contractible cho phép ta "thu nhỏ" M lại thành một hình cầu mà không thay đổi homology đấy

Đang định hôm nào ngồi nghiêm túc nghĩ xem thế nào .. may mà canh_dieu đã tìm ra phải ví dụ .. đỡ phải mất công

Thế theo xây dựng của canh_dieu thì distance có khả năng rất lớn đấy nhỉ (lớn tùy ý?).

Lâu nay bận làm bên POW và cũng hơi lười nên bỏ bê mất mục này. Sắp tới CXR sẽ tiếp tục.

vinhspiderman: Có khá nhiều giáo trình cơ sở về Hình học đại số, nhưng kinh điển nhất vẫn là cuốn "Introduction to algebraic geometry" của R. Hartshorne. Tuy nhiên bài tập trong cuốn này rất khó (đặc biệt là chương 3), vì thế anh nghĩ là trước khi đọc Hartshorne nên bắt đầu bằng một trong 3 cuốn sau:

(1) Introduction to commutative algebra and algebraic geometry của Kunz - cuốn này có ngôn ngữ và cách nhìn rất đại số.
(2) Basic algebraic geometry của Shafarevich - cuốn này có cách tiếp cận gần với giải tích hơn.
(3) Ideals, varieties and algorithms của Cox, Little và O'shea - cuốn này đọc khá hay nhất là về cơ sở Grobner.

Ngoài ra, theo anh thì khi đọc Hartshorne nên đọc kèm theo cuốn "The geometry of schemes" của D. Eisenbud và J. Harris và cuốn "Using algebraic geometry" của Cox, Little và O'shea.

Để học Hình học đại số thì cần có một nền tảng về đại số giao hoán khá vững. Anh nghĩ trước tiên nên đọc cuốn "Introduction to commutative algebra" của Atiyah và Macdonald, sau đó đọc cuốn "Introduction to commutative algebra" của Eisenbud hay cuốn "Commutative algebra" của Matsumura. Về homological algebra thì đọc thêm cuốn của C. Weibel. Về Representation theory thì đọc cuốn của Fulton (cuốn này khá khó).

Gần đây có một số cuốn sách sau khá hay:

(4) Combinatorial Commutative Algebra của E. Miller và B. Sturmfels - rất cơ bản và dễ đọc.
(5) Geometry of syzygies của D. Eisenbud và J. Harris - hay nhưng đòi hỏi phải đọc hết Hartshorne rồi.
(6) Positivity in Algebraic Geometry của R. Lazarsfeld - rất hay cũng đòi hỏi phải biết Hartshorne và một chút về Representation theory.
(7) Resolution of singularities của S.D. Cutkosky - rất hay nhưng cũng đòi phải biết Hartshorne và một chút trong giáo trình "Commutative algebra" của Zariski và Samuel.

(Danh mục sách anh đưa ra đây chỉ là một phần rất nhỏ của các giáo trình đang có hiện tại và mang nặng thiên hướng đi sâu về mặt đại số của chuyên ngành.)

Vì đặc trưng của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?I_\Delta khá đơn giản nên anh nghĩ chứng minh trực tiếp chắc dễ hơn là thông qua iđêan dấu .. nhưng mới thử nghĩ một chút thì thấy khó quá .. hehe Để anh nghĩ thêm xem thế nào. canh_dieu thử tìm iđêan nguyên tố P mà http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?I_\Delta là iđêan dấu xem thế nào.

RongChoi: Về bài toán các quân hậu, phải chăng số lớn nhất các quân hậu không ăn nhau = số nhỏ nhất các quân hậu để phủ kín bàn cờ?

Định nghĩa về distance của RongChoi rất hay. Anh cho rằng distance = 0, nhưng để anh nghĩ thêm xem chứng minh thế nào.

MrMATH: Phương pháp tính số cách sắp xếp các quân hậu được tìm bằng cách xây dựng phức đơn như sau. Xét tập http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?i, cột thứ http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?j của bàn cờ bằng biến http://dientuvietnam...ex.cgi?x_{i,j}. Ta xây dưng phức đơn http://dientuvietnam...etex.cgi?\Delta trên http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?B như sau: http://dientuvietnam...etex.cgi?\Delta nếu khi đặt các quân hậu vào các ô đánh thứ tự http://dientuvietnam...etex.cgi?\Delta thực sự là một phức đơn.
(2) http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f_i là số các mặt chiều http://dientuvietnam...mimetex.cgi?i-1 của http://dientuvietnam...tex.cgi?\Delta. Ta cần tìm http://dientuvietnam...imetex.cgi?f_n. Việc tính http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f_i được thông qua định lý sau về chuỗi Hilbert-Poincaré của http://dientuvietnam...k[\Delta].

Định lý: Chuỗi Hilbert-Poincaré của vành http://dientuvietnam...?k[\Delta] được tính như sau:


http://dientuvietnam...[\Delta]_i là thành phần bậc http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?i của vành http://dientuvietnam...?k[\Delta] (nghĩa là không gian vector sinh bởi các đa thức bật http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?i không nằm trong http://dientuvietnam...ex.cgi?I_\Delta).

Để tính chuỗi http://dientuvietnam...x.cgi?I_\Delta.

Bài tập: Chứng minh rằng

http://dientuvietnam...tex.cgi?x_{i,j} và http://dientuvietnam...tex.cgi?x_{k,j} ăn được nhau

Về bài toán đối ngẫu với các quân hậu, anh chưa thử nghĩ qua. RongChoi nghĩ thử xem. Nếu cần thì msg anh email, anh sẽ email bài báo về quân hậu cho.

Tính chỉ số phủ

Cũng tương tự như trước, ta xét tập các đơn thức http://dientuvietnam...imetex.cgi?S_d. Nhận xét rằng nếu http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?V là một không gian con sinh bởi các đơn thức của không gian vector http://dientuvietnam...mimetex.cgi?V_d sao cho http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?V phải chứa các đơn thức http://dientuvietnam...mimetex.cgi?W_i là không gian con của http://dientuvietnam...mimetex.cgi?V_d sinh bởi các đơn thức trong http://dientuvietnam...mimetex.cgi?W_i thỏa mãn http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Delta' trên tập http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?W như sau: http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Delta' nếu không gian http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Delta' như đã xây dựng thực sự là một phức đơn.

Xét tập http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?z_i với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?W_i. Xây dựng phức đơn http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Delta trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?T như sau: http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?u là một đơn thức trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?u (dễ thấy rằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?V (hiển nhiên các đơn thức này nằm trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?V_d).

Bài toán tính chỉ số phủ http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\rho_n(d+1) được giải quyết qua bài tập sau.

Bài tập: (3) Chứng minh rằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?V_d trừ đi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?s.

Việc còn lại của vấn đề là đặc tả http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?I_\Delta.

Bài tập: (4) Chứng minh rằng
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?u là và với

Lại một câu chuyện cũ rích ...

Chuyện tình tự kê

I.

"Tuổi thơ qua mau quá
Anh ngỡ như ngày nào
Đôi mắt em như sao
Soi thấu tâm hồn nhau"

Anh vốn không phải là một tín đồ của chủ nghĩa "tình yêu sét đánh". Điều gì đến quá nhanh cũng thường ra đi rất nhanh! Anh gặp cô lần đầu tiên trong một cuộc phỏng vấn tìm việc. Vừa đặt chân xuống sân bay, anh đã đánh mất sự hưng phấn cần thiết cho cuộc phỏng vấn. Cảm giác quá ngột ngạt. Một thành phố đông người và rất xô bồ. Nhưng dù sao đã đến nơi thì cũng phải làm cho hết những việc định làm. Anh bước vào buổi phỏng vấn với trạng thái chán nản. Sau buổi phỏng vấn người ta mời anh đi ăn tối cùng công ty. Cô xuất hiện trong bữa ăn một cách tự tin và có vẻ ồn ào với chiếc váy màu đỏ nổi bật và nụ cười duyên dáng không bao giờ tắt trên môi. Có lẽ, cô cũng biết mình là trung tâm của sự chú ý, nên cô san xẻ rất công bằng nụ cười của mình cho tất cả mọi người - kể cả anh. Anh ngỡ ngàng, đắm đuối ngụp lặn trong đôi mắt đen sâu thẳm và đôi má lúm đồng tiền xinh xinh của cô. "Ta sẽ ở lại nơi này" - Anh tự nói với mình.

Việc anh nhận lời vào làm việc cho công ty có lẽ là một điều đáng ngạc nhiên đối với tất cả mọi người. Buổi phỏng vấn của anh, mặc dù trong tâm trạng chán nản, được mọi người đánh giá rất cao - Ai cũng nghĩ anh "over qualified" và có lẽ sẽ tìm được một vị trí tốt hơn vị trí ở công ty này rất nhiều. Mọi người không vì thế mà không vui mừng khi anh dọn hẳn về thành phố và bắt đầu công việc mới của mình. Cô cũng vậy - Luôn đón anh bằng nụ cười duyên dáng. Chỉ riêng anh hiểu - Anh về đây đơn giản là vì cô. Tuy nhiên, cô đã có người yêu và 2 người có vẻ khá hạnh phúc. Hơn nữa, người yêu cô cũng là một đồng nghiệp của anh trong công ty. Anh thầm lặng làm việc, hy vọng rằng một ngày nào đó cô sẽ nhìn thấy sự hiện diện của anh không chỉ đơn thuần là vì công việc.

Anh hoà đồng với mọi người, hoàn thành xuất sắc mọi công việc được giao. Công ty có thêm anh như có thêm cánh tay thứ 3 vô cùng đắc lực. Anh dần dần chiếm được sự mến yêu của tất cả mọi người trong công ty, từ bác bảo vệ khó tính, cho tới cô thư ký kiêu kỳ. Người yêu của cô, tình địch của anh cũng bắt đầu coi anh như một người bạn thân. Thấy anh không có bạn gái, bạn bè bắt đầu đòi mối lái cho anh. Những cuộc gặp gỡ liên tiếp xảy ra. Anh vui vẻ nhận lời mời của tất cả, nhưng luôn làm họ phải thất vọng khi tỏ ra quá ngây ngô và nhàm chán trong những buổi đi xem mặt. Mọi người phàn nàn còn anh chỉ cười. "Ta yêu một mình cô ấy, và ta sẽ chờ cô ấy" - Anh lại tự nói với bản thân mình.

Cô cũng là một trong những người tích cực làm mối cho anh nhất. Sau khi giới thiệu lần lượt 3 cô bạn thân, một hôm cô bước vào phòng làm việc của anh, vừa cười vừa nói: "Anh là một người tuyệt vời trong công việc, nhưng hình như không có mấy kinh nghiệm đối với phụ nữ - Hãy để em chỉ cho anh cách ứng xử khi đối mặt với một người con gái". Anh sốt sắng đồng ý ngay. Cô đề nghị 2 người đi ăn tối với nhau như một cặp trai gái lần đầu tiên xem mặtt nào đó, và việc của anh là phải tạo được cảm tình với đối tượng ....

Vừa ngồi vào bàn ăn, cô bảo:

"Anh hãy nói một câu khen bộ trang phục của em đi".

"Cái áo em mặc rất đẹp - Anh cũng có một cái y như thế" - Anh nói ngay.

Cô bật cười, chút xíu nữa thì sặc nước. Anh có vẻ ngượng ngùng - "Để anh thử lại nhé".

"Chiếc vòng đeo cổ của em thật đẹp".

Cô gật đầu "Mẹ em tặng đấy".

"Mẹ em là người có con mắt thẩm mỹ".

Cô vui vẻ khuyến khích: "Bắt đầu khá hơn rồi đấy - Bây giờ giả sử bữa ăn đã kết thúc, anh hãy nói điều gì đó thể hiện sự mong muốn được gặp lại".

"Em có một đôi mắt tuyệt đẹp. Không chỉ làm cho anh muốn được gặp em lần nữa, mà đôi mắt em như chứa cả một thế giới muôn màu ở phía sau - Một thế giới mà anh mong muốn có một phần nhỏ ở trong đó". Anh vừa nói vừa nhìn sâu vào trong mắt cô.

Cô thoáng bối rối. "Anh thực ra không cần phải học ở em điều gì cả" - Cô thừa nhận sau một vài giây im lặng. Họ ăn tối rồi đi về. Từ đó cô không còn giới thiệu anh với ai nữa. Anh cũng không nhắc lại về bữa ăn tối của 2 người. Thời gian chậm chạp trôi đi. Thêm 3 tháng anh một mình cặm cụi bên công việc. Một hôm cô vừa khóc vừa chạy vào phòng làm việc của anh. "Em vừa mới chia tay với bạn trai xong". Anh vỗ về an ủi cô. Cô vừa ra khỏi phòng anh chưa lâu thì bạn trai của cô thẫn thờ bước vào. "Cô ấy đã bỏ tớ rồi" - Khuôn mặt anh ta dài hốc hác đầy vẻ thiếu ngủ. Anh kéo người bạn, người tình địch ra quán café. Lẳng lặng hơn 2 tiếng ngồi nghe bạn kể về cuộc chia tay đầy nước mắt. Người bạn của anh, người yêu của cô, đã quá suy sụp tinh thần. Tối hôm đó anh đành vác chăn chiếu tới nhà anh ta ngủ - Vừa là để an ủi bạn, vừa là để canh chừng anh ta làm điều gì đó dại dột.

Một tuần trôi qua, ngày ngày anh an ủi cô, tối tối anh tới nhà bạn anh, người yêu của cô, ngủ. 2 người bắt đầu lấy lại được thăng bằng, còn anh thì ngày một mệt mỏi hơn với những câu hỏi, những dằn vặt trong thâm tâm. Anh khuyên cô hãy suy nghĩ thật kỹ về cuộc chia tay. Anh khuyên anh bạn hãy bình tĩnh cho cô thời gian và khoảng trống để cô có thể lựa chọn cho mình một quyết định đúng với tình cảm thực của cô. Trong những ngày cô đơn và đau khổ, cô tìm thấy ở nơi anh một chỗ dựa tinh thần, một người bạn, một người anh, và một tâm hồn đồng cảm. Cô như thấy mình gần gũi với anh hơn rất nhiều. Cô nói điều đó với anh ... Anh hoảng hốt, run rẩy. Trái tim anh nhói buốt ....

3 ngày sau, anh lặng lẽ ra đi ... Cô và bạn trai của cô cũng trở lại với nhau vài tuần sau đó - Anh nghe một người bạn thân nói vậy ... Đã hơn 5 năm rồi, nhưng đôi mắt đen sâu thẳm của cô thỉnh thoảng vẫn nhìn anh trong những giấc mơ. Đôi má lúm đồng tiền xinh xinh thỉnh thoảng vẫn làm anh giật mình giữa phố lạ đông người ....

(tiếp theo và hết ... )

Đã hơn 3 tháng kể từ khi anh ra đi không lời từ biệt. Chuyện tình của cô và H cũng chẳng đi đến đâu. Cô hiểu ra rằng "thích được chiều chuộng" không phải là yêu. "Tại sao ngày ấy anh không nói gì khi biết H ngỏ lời với cô chứ?" - Cô băn khoăn tự hỏi.

Hơn 3 tháng rồi cô mới tìm lại nơi quán cũ, hy vọng chỗ ngồi của riêng cô và anh sẽ không bị ai chiếm hữu. Kìa, chẳng phải là anh đó sao?! Vẫn cái nhìn thu hút vào ly café trước mặt. Anh có vẻ gầy đi nhiều. Cô lặng lẽ ngồi xuống cạnh anh. Anh ngước mắt lên khẽ mỉm cười với cô - Dường như anh không ngạc nhiên trước sự xuất hiện của cô.

"Em và H đã chia tay?" - Câu hỏi thay cho lời chào của anh.

"Sao anh biết? Anh tự dưng biệt tăm đi đâu thế? Anh về lại khi nào?" - Cô ném lại anh một tràng các câu hỏi thay cho câu trả lời.

"Anh mới đi Nigeria về. Quay lại đây hơn tuần rồi mà không gặp em".

"Anh làm gì bên đó vậy?" - Cô ngạc nhiên hỏi.

"À, anh theo hội chữ thập đỏ qua đó làm từ thiện ở mấy nước nghèo ấy mà" - Anh lơ đễnh trả lời.

Rồi họ lại im lặng ngồi bên nhau nghe hoàng hôn về như chưa từng có chuyện gì xảy ra. Hoàng hôn vẫn ồn ả trong tiếng còi xe dồn dập giờ tan tầm, vẫn thảng thốt cùng tiếng reo của tia nắng chiều bùng lên trước khi tắt. Hoàng hôn trĩu nặng tiếng rao người bán bánh mì dạo khi phố xá vừa lên đèn, yểu điệu ùa theo làn gió từ phía sông Hồng thổi vào làm bụi trúc quân tử ngoài cửa sổ uốn cành xoè lá rì rào. Hoàng hôn nghiêng mình đón những giọt sương chưa rõ hình hài trên lá biếc, và đặc sánh trong ly café trước mặt anh.

Thời gian thấm thoắt trôi. Anh và cô vẫn ngồi cùng nhau sau những ngày làm việc dài. Đã có thêm một vài người con trai bước vào đời cô. Tuy nhiên cô hoàn toàn chưa giành cho ai tình cảm đặc biệt và cũng chưa nhận lời yêu ai từ sau chuyện cùng H. Anh bắt đầu "chịu khó" kể cho cô nghe nhiều hơn về bản thân. Thì ra anh là một bác sĩ làm việc cho hội chữ thập đỏ quốc tế. Thỉnh thoảng anh vẫn có những chuyến đi công tác dài ngày. Anh thường đi không báo trước và trở về một cách bất chợt. Đôi lần cô làm mặt giận đòi quà, anh chỉ cười.

"Những chỗ anh đi toàn rắn, rết và thằn lằn, không lẽ lại bắt một con về làm quà cho em?!".

Anh nói vậy, nhưng rồi một lần, sau chuyến đi dài gần 3 tháng anh mang về cho cô một gói quà .. nặng chịch. Cô háo hức mở ra. Có lẽ không có đủ từ để diễn tả nỗi kinh ngạc của cô khi bắt gặp một đống .. sỏi. Quà của anh là mấy chục viên sỏi đủ loại, đủ màu sắc, có viên trơn tru, có viên sần sùi, sứt sẹo. Cô tròn mắt nhìn anh chờ đợi.

"Mỗi nơi anh đi qua, anh nhặt về một viên sỏi" - Anh nhè nhẹ trả lời câu hỏi trong đầu cô - "Viên sỏi đen bóng này anh mang về từ chuyến đi Nigeria đấy. Viên có màu nhờ nhờ là ở Alaska. Còn viên sần sùi này anh lấy từ Li băng. Viên cháy xạm một nửa là ở Somali, anh nhặt từ một hố đạn đấy ...".

Cô ngỡ ngàng nhìn anh và chợt thấy nôn nao trong lòng. Những mảnh đời của anh đó sao?! Những gì ẩn giấu phía sau khuôn mặt bất cần và cái nhìn lơ đễnh của anh đó sao?!

"Em không cám ơn anh về món quà này sao?" - Anh nheo mắt nhìn cô. Cô mỉm cười không trả lời câu hỏi của anh.

Một tuần sau anh lại đi công tác. Những ngày anh đi xa, cô nâng niu mấy viên sỏi thô kệch, nhìn chúng mà như thấy những chặng đường anh đã qua. Những đêm đông lạnh cắt da cắt thịt nơi vùng Alaska xa xôi. Những ngày cháy bỏng vùng hoang mạc Phi châu. Những giờ phút vật lộn với thần chết, giành giật từng cuộc sống dưới làn đạn ....

"Lần này anh mang cho em viên sỏi thế nào" - Câu hỏi đầu tiên cô giành cho anh ngày anh trở về.

"Một viên sỏi rất đặc biệt" - Anh cười cười và đưa cho cô bịch giấy nhỏ.

Cô run run lần mở bịch giấy. Một phần đời anh sắp hiện ra trước mắt cô. Vừa chạm tay vào lần giấy bọc trong cùng, cô bỗng trào nước mắt. Viên sỏi anh mang về cho cô lần này không như những viên sỏi khác. Một viên sỏi vĩnh cửu ... viên sỏi sẽ gắn phần đời còn lại của anh với cô ...