Đa tạp đại số (tiếp)

Vành tọa độ của một đa tạp đại số affine. Giả sử http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?X được định nghĩa như sau:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{I}(X) là iđêan xác định của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?X như đã định nghĩa ở trên, và http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R/J ký hiệu vành thương của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?R theo môdun http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?J, với mỗi iđêan http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?J (nghĩa là vành các lớp tương đương theo môdun http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?J).

Đa tạp bất khả quy (irreducible). Nếu http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?X, Tôpô Zariski trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{A}^n giới hạn vào http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X sẽ cho một Tôpô trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X (trong đó các tập đóng là giao của các tập đóng trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{A}^n với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X). Đa tạp http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X được gọi là bất khả quy nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X không phải là hợp của 2 tập con đóng thực sự của nó (nghĩa là không tồn tại các tập đóng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X).

(Ghi chú: trong một vài tài liệu, chẳng hạn cuốn Hình học đại số của Hartshorne thì những đa tạp bất khả quy mới được gọi là đa tạp đại số - tuy nhiên, định nghĩa như hiện tại phù hợp hơn với phần lớn các kết quả nghiên cứu trong chuyên ngành).

Định lý. Đa tạp đại số affine http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X là bất khả quy nếu và chỉ nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{I}(X) là iđêan nguyên tố trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?d lớn nhất sao cho tồn tại chuỗi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X (thường thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Z_0 là tập gồm một điểm đóng và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A(X) (định nghĩa theo độ dài lớn nhất của một chuỗi các iđêan nguyền tố).

Chứng minh: dựa vào sự tương ứng 1-1 giữa các đa tạp đại số và các iđêan căn (và sự tương ứng này đảo ngược thứ tự bao hàm), cùng kết quả rằng một đa tạp là bất khả quy nếu và chỉ nếu iđêan xác định của nó là iđêan nguyên tố. (Ghi chú: iđêan nguyên tố là iđêan căn).

Nhận xét:

(a) Mỗi một đa tạp đại số đều có thể được viết thành hợp của một số đa tạp con bất khả quy trong đó không có 2 đa tạp nào chứa nhau, và cách viết này là duy nhất (trừ việc thay đổi thứ tự các đa tạp con).
(b) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?xz-x (thay bằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X là hợp của 3 thành phần bất khả quy. Tìm các iđêan xác định của 3 thành phần này.

(2) Giả sử http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k là trường số thực. Tìm một đa thức http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(x,y) trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{A}^2 không phải là bất khả quy. Chú ý rằng, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k ở đây không phải là trường đóng đại số. Nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k là trường số phức thì tồn tại hay không đa thức http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(x,y) với cùng tính chất?

Vì nhằm mục đích "phổ cập" và phục vụ cho diễn đàn tiếng Việt, nên anh cố gắng viết bằng tiếng Việt - từ kỹ thuật nào mà anh cảm thấy dịch chưa chuẩn thì anh sẽ mở ngoặc và để nguyên văn tiếng Anh.

Polytopied và Quantum rảnh vào viết thêm thì hay quá. Anh cũng định sẽ nói về sheaf khi nói tới lược đồ (scheme) nhưng giờ có Quantum nhận viết cho .. nhẹ cả vai Mà cũng có khi viết về cùng một chủ đề theo nhiều cách nhìn khác nhau sẽ rất hay. Anh chủ yếu nhìn theo cái nhìn đại số nên vì thế khái niệm sheaf sẽ rất trừu tượng.

Khi viết về sheaf, anh định sẽ đi sâu một chút về line bundles (invertible sheaves), các ánh xạ, các phép nhúng cho bởi các line bundles. Mục đích là để sau này giới thiệu về một vài hướng nghiên cứu về đối đồng điều Koszul của bó, giả thuyết Fujita (freeness and very ampleness) và giả thuyết Green (canonical curves). Kế hoạch thì nhiều nhưng không biết viết được bao nhiêu

PS: math0 chuyển sang unicode cho mọi người dễ đọc.Nếu bác CXR và quantum không đánh tiếng việt được thì đánh kiểu VIRQ rồi vào đây convert:
http://d1200796.u45....iet/default.asp

Đa tạp đại số:

Giả sử http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?k là một trường đóng đại số với đặc số 0. Có thể coi http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?k là trường số phức http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{C}.

I. Đa tạp affine trên http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?k. Đặt http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?n biến trên http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?k. Một tập con không rỗng http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?I được gọi là một iđêan nếu:

(a) http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?I được định nghĩa bằng:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R là hữu hạn sinh (do http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?R là vành Noether) nên để xác định tập đại số của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?I ta chỉ cần xác định không điểm của một tập hữu hạn các đa thức).

Nhận xét rằng hợp của 2 tập đại số affine là một tập đại số affine (tương ứng với tích 2 iđêan) và giao của một họ các tập đại số affine là một tập đại số affine (tương ứng với hợp hay tổng các iđêan). Vậy tập tất cả các tập đại số affine (tương ứng với các iđêan của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R) cho ta một Tôpô trên không gian http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k^n. Các tập đóng của Tôpô này là các tập đại số affine và các tập mở được cho bởi các phần bù của chúng. Tôpô này gọi là Tôpô Zariski (theo tên nhà toán học nổi tiếng Oscar Zariski).

Tôpô Zariski có một vài tính chất đặc biệt sau:

(a) Tôpô Zariski không phải là Hausdorff.
(b) Mỗi tập mở của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{A}^n đều là trù mật trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{A}^n.

Tập http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k^n trang bị bởi Tôpô Zariski được gọi là không gian affine http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n chiều trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k. Ta ký hiệu không gian này là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{A}^n (dùng ký hiệu khác với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k^n để nhấn mạnh rằng ta có trang bị Tôpô Zariski).

Với mỗi tập con http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?I được định nghĩa như sau
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?I được gọi là căn nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{A}^n với các iđêan căn trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R. Sứ tương ứng này được cho bởi
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k là một tập đóng con của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{A}^n với số tự nhiên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n nào đó.

Ghi chú: Chính xác hơn thì các tập con mở của đa tạp affine cũng được coi là các đa tạp đại số (đôi khi được gọi là quasi-affine).

Chủ đề này mở ra nhằm mục đích cung cấp những kiến thức và ngôn ngữ cơ bản cũng như một vài hướng nghiên cứu của chuyên ngành Hình học đại số (Algebraic Geometry). Hy vọng mọi người ủng hộ, ai biết nhiều viết nhiều, ai biết ít .. cũng viết nhiều

Với mục đích nhằm giới thiệu và phổ cập một chuyên ngành nên chủ đề sẽ tránh không đi sâu vào chi tiết cũng như các thuật ngữ mang nặng tính kỹ thuật. Cũng vì thế mà các bài viết (nếu tồn tại) sẽ không tránh khỏi đôi khi không hoàn toàn thật chính xác.

Người mở chủ đề có hy vọng sẽ điểm qua những điều sau:

(1) Đa tạp đại số, từ điển giữa hình học và đại số, định lý Nullstellensatz.
(2) Lược đồ - trừu tượng hóa và tổng quát hóa của đa tạp.
(3) Đường cong đại số.
(4) Mặt cong đại số, lược đồ nhiều chiều.
(5) Một vài hướng nghiên cứu cơ bản trong chuyên ngành.

Ma^'y ke^'t qua? na`y cu?a Stanley tri`nh ba`y trong cuo^'n Combinatorics and Commutative Algebra ra^'t ddo+n gia?n va` hay\. Hay la` Polytopie ddo.c qua ro^`i vie^'t to'm ta('t le^n dda^y cho mo.i ngu+o+`i cu`ng tham kha?o nhe'\.

Ve^` ca^u ho?i cu?a ba'c bupbebe, kho^ng pha?i polytope na`o cu~ng co' the^? "xem nhu+" mo^.t simplicial complex. No'i chung, ca'ch nhi`n na`y chi? co' i'ch cho ca'c simplicial polytope (convex), nghi~a la` ca'c polytope ma` mo^~i ma(.t cu?a no' la` mo^.t simplex - cha(?ng ha.n nhu+ hi`nh tu+' die^.n lo^`i, ba't die^.n lo^`i la` simplicial polytopes trong khi ddo' hi`nh la^.p phu+o+ng la.i kho^ng pha?i\. Khi P la` mo^.t simplicial polytope thi` ta co' the^? nghie^n cu+'u bie^n (hay khung) cu?a P, dda^y se~ la` mo^.t simplicial complex (co`n go.i la` boundary complex cu?a P).

Ne^'u http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Delta la` mo^.t simplicial complex tre^n ca'c ddi?nh http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Delta mo^.t va`nh ca'c dda thu+'c http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?I_\Delta sinh bo+?i ca'c ddo+n thu+'c co' da.ng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R/I_\Delta go.i la` va`nh Stanley Reisner cu?a http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Delta. Kha' nhie^`u ti'nh cha^'t thu' vi. cu?a simplicial complex (va` simplicial polytope) ddu+o+.c nghie^n cu+'u tho^ng qua va`nh Stanley-Reisner cu?a chu'ng\.

Chủ đề này cũng là mục tiêu nghiên cứu chính của thầy mình gần 10 năm nay- tạm gọi là Ziegler's program cho polytope 4 chiều.

À thì ra Polytopie là học trò của ông Ziegler đấy a`? Hôm qua anh vừa định mua cuốn sách về polytopes của ông ấy xong\.

Hiện nay các nghiên cứu về combinatorial geometry nói chung va` polytopes no'i riêng đang rất phát triển. Vớ'i dân trong chuyên ngành Đại số giao hoán thì đây là nhờ vào sự tương ứng giữa simplicial complexes và các vành Stanley-Reisner. Một số ứng dụng hay của hướng nghiên cứu này là những chứng minh rất đẹp cho giả thuyế't chặn trên (Upper Bound Conjecture) cho mặt cầu và giả thuyết về số mặt của một "centrally-symmetric simplicial d-polytopes" (của Barany và Lovasz, hay mạnh hơn nữa là của Bjoerner) - Đây là các kế't quả vào lọai hay nhất của Stanley. Anh nghĩ la` sẽ rất hay nếu Polytopie viết một bài về` các kết quả này (thậm chí là các chứng minh, vì chúng rất đơn giản).

Nghe mọi người nói chuyện lại nhớ hồi nghe tin cô bạn gái đầu tiên lấy chồng. Oái oăm là bố chồng cô ấy làm cùng cơ quan với tớ. Hôm đó bác ý đi mời cưới con trai mà lại không mời mình (vì biết chuyện của cô con dâu với mình trước kia). Chia tay 4,5 năm rồi mà lúc nhìn thấy thiệp hồng vẫn cứ nôn nao cả lòng. Lại đúng lúc chuẩn bị làm seminar nữa chứ - cả buổi seminar tay cứ run run làm bà con tưởng ốm .. hehehe ..

Hehehe, em vào đây thì được, chứ vào bên kia dạo này có mấy tay cao thủ đầu có mủ, động tí là uýnh nhau, kinh lòi mắt

Wuy'nh nhau the^' mo+'i ro^m ra? chu+' ..

M. Hajja:

A minimal example of a nonrational monomial automorphism. Comm. Algebra 18 (1990), no. 8, 2423--2431.

A note on affine automorphisms. Comm. Algebra 18 (1990), no. 5, 1535--1549.

Linearizability and rationality of monomial automorphisms of small order. J. Algebra 130 (1990), no. 1, 1--16.

Quasilinearity of cyclic monomial automorphisms. J. Algebra 95 (1985), no. 2, 473--479.

Giles and McQuillan:

A problem on rational invariants. J. Number Theory 1 1969 375--384.

Neu ban dang o Hanoi, ban co the vao Vien toan tra MathSciNet.

To+' ddang o+? New Orleans .. dd/c na`o xuo^'ng dda^y cho+i thi` nho+' re'o mo^.t ca^u nhe'

Bác CXR vào để marketting cho chủ đề này cái .

hehe .. Hu`ng bao anh nen marketting the nao? Dan A0 thi` khong can phai marketting cung "noi" lam roi ma` ..

Noi vay chu cung phai cong nhan tinh than alumi cua A0 con thua Ams nhieu .. cha biet bao gio moi bang. Moi nguoi biet ai la dan A0 cu thi keo vao day va vao a0-th.org cai nhi

Van de ban dang lam lien quan toi mot so chu de sau: affine automorphisms, inverse Galois problem va` Noether's problem in Galois theory. Ban co the vao MathSciNet va search theo cac chu de nay. Co mot so bai bao cua cac tac gia sau toi thay co le gan voi van de ban quan tam:

1) M. Hajja (1985 va 1990).
2) A. Hamza, M. Hajja va` M-C. Kang (2000)
3) H. Chu, S-J Hu va` M-C Kang (2004)
4) M-C Kang (2004)
5) W.B. Giles va` D.L. McQuillan (1969)
6) R. Swan (1983)

Xem ca'i ket qua binh chon thi co le trong dien dan ta dan lam ve ly thuyet vanh la nhieu nhat

"Hạnh phúc cũng như nấm trong rừng, phải cúi lưng xuống mới tìm được, và khi tìm được rồi còn phải xem có phải là nấm độc không"

Đọc những bài viết thật cảm động .. Ai bảo dân yêu Toán thì không có cuộc sống đầy nội tâm ..