Bài 18: (THCS) Cho $a,b,c \geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm GTLN của :
$ A=ab+2bc+3ac.$

 

từ a+b+c=3 --> a+b = 3-c và b+c = 3-a

A = ab + ac + 2bc + 2ac

= a(b+c) + 2c(a+b)

= a(3-a) + 2c(3-c)

= - (a - $\frac{3}{2}$)² - (c - $\frac{3}{2}$ )² + $\frac{27}{4}$ $\leq$ $\frac{27}{4}$

cho góc vuông xOy , trên Ox,Oy lần lượt lấy 2 điểm A và B sao cho OA=OB , M là 1 điểm bất kỳ trên AB , Dựng đường tròn tâm O1 đi qua M và tiếp xúc với Ox tại A , đường tròn tâm O2 đi qua M và tiếp xúc với Oy tại B ; (O1) cắt (O2) tại điểm thứ hai là N 

1/ CM : tứ giác OANB nội tiếp

2/ CM: M nằm trên 1 cung tròn cố định khi M thay đổi 

3/ Xác định vị trí của M để khoảng cách O1O2 ngắn nhất

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, đường tròn ngoại tiếp tam giác $OCD$ cắt $CA$ tại $E$ khác $C$, đường tròn ngoại tiếp tam giác $OBD$ cắt $AB$ tại $F$ khác $B$. Chứng minh $O$ là trực tâm tam giác $DEF$.

điểm D ở đâu vậy bạn

A = (x²-xy+2y²) : (x²+xy+y²)

chia cả tử và mẫu cho x²

--> A =( 1- $\frac{y}{x}$+ $2\frac{y²}{x²}$) : ( 1+ $\frac{y}{x}$+  $\frac{y²}{x²}$)

đặt $\frac{y}{x}$= a 

--> A = ( 1 - a + 2a²) ; ( 1 + a + a²)

đến đây sử dụng phương pháp miền giá trị là xong

c, ta có BHCD là hình bình hành 

--> I H = ID . mà OA = OD

--> OI là đường trung bình của tg AHD

--> OI //= 1/2  AH

-->GA/GI = OI/AH = 1/2

--> đpcm

cho 2 số thực không âm thoả mãn a+b $\leq$ 2 

CM : $\frac{2+a}{1+a}$ + $\frac{1-2b}{1+2b}$ $\geq$ 8/7

theo mình thì đầu bài sai đó 

x1² + 2x2² $\geq$ 2$\sqrt{2}$x1x2 = 2$\sqrt{2}\frac{c}{a}$

x3² + 2x4² $\geq 2\sqrt{2}x3x4 = 2\sqrt{2}\frac{a}{c}$

$\Rightarrow$ x1² + 2x2² + x3² + 2x4² $\geq$ 4$\sqrt{2}$

điều kiện phải là x,y $\geq$ 0 chứ bạn

A = (x+y)^2 - 2xy = 1-2xy

ta có x,y $\geq$0 --> xy $\geq$0 

--> 2xy $\geq$0   --> -2xy $\leq$0 

--> A $\leq$1

dấu = xảy ra <-> x = 0; y = 1 hoặc x =0 ; y=1

1.ta có MC ┴ PQ (gt) -> $\widehat{PMC}$ = 90

$\widehat{PAC}$ = 90 ( t/c tiếp tuyến)

-> $\widehat{PMC}$ + $\widehat{PAC}$ =180

-> ACMP nội tiếp 

-> $\widehat{MCP}$ = $\widehat{PAM}$

MÀ $\widehat{APM}$ = $\widehat{MBA}$ 

-> $\widehat{MCP}$ = $\widehat{MBA}$ 

2, ta có MECF nội tiếp -> $\widehat{MFE}$ = $\widehat{PCM}$ 

->  $\widehat{MFE}$ =  $\widehat{MBA}$ -> EF // AB

Cho $( O;R)$ , dây $AB <2R$ ; tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại C ; từ A kẻ đường thẳng // với BC cắt (O) tại I ; CI cắt (O) tại E ; AE cắt BC tại K ; AB cắt CI tại F ; D là trung điểm của IE . CM rằng :

1/ $\frac{CE}{CI}$ = $\frac{FE}{FI}$

2/ $DE^2 = DA.DB$

giúp mình nhanh nhé các bạn

ai vào giúp mình với mai phải nộp rồi

Cho $( O;R)$ , dây $AB <2R$ ; tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại C ; từ A kẻ đường thẳng // với BC cắt (O) tại I ; CI cắt (O) tại E ; AE cắt BC tại K ; AB cắt CI tại F ; D là trung điểm của IE . CM rằng :

1/ $\frac{CE}{CI}$ = $\frac{FE}{FI}$

2/ $DE^2 = DA.DB$

giúp mình nhanh nhé các bạn

cho tam giác ABC vuông tại A , một điểm D trên cạnh huyền BC . gọi E là điểm đối xứng với D qua AB và G là giao điểm của AB với DE . Từ giao điểm H của AB với CE hạ HI vuông góc với BC tại I . các tia CH và IG cắt nhau tại K .

CM :  CK là phân giác góc IKA

tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

f(x) = $\sqrt{2x^2+9x+9}$ + $2\sqrt{x+4}$ -2x

ai giúp mình câu cuối với 

từ H kẻ HE ┴ AC

-> HE = 1/2BK (t/c đường tbình)

Δ AHC vuông có HE là đường cao 

-> $\frac{1}{HE^2}$ = $\frac{1}{HC^2}$ + $\frac{1}{AH^2}$

-> đpcm

bạn viết  Latex được k khó nhìn quá

thanks

cho Δ ABC cân tại A  có A <90 . một cung tròn BC nằm trong Δ ABC và tiếp xúc với AB,AC tại B,C.Trên cung BC lấy 1 điểm M rồi hạ đường vuông góc  MI,MH,MK xuống các cạnh BC,CA,BA.Gọi P là giao điểm của MB,IK, Q là giao của MC,IH

a, CM: tứ giác BIMK , CIMH nội tiếp

b,CM: tia đối của MI là phân giác của góc HMK

c,CM: PQ//BC

d, gọi (O1) là đường tròn đi qua M,P,K ,(O2) là đườngtronf đi qua M,Q,H ; N là giao điểm thứ 2 của (O1).(O2) 

D là trung điểm của BC .  CM: M,N,D thẳng hàng

mình cần giúp 2 câu cuối thôi

bài 1:cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R ,C là trung điểm của AO , Cx vuông góc với AB , Cx cắt nửa đường tròn tại I.K là 1 điểm bất kì trên đoạn CI (K khác C ; I) tia AK nửa đường tròn tại M tiếp tuyến với nửa đường tròn tâm O tại điểm M cát Cx tại N tia BM cát Cx tại D

1/ CM: A,C,M,D cùng thuộc 1 đường tròn

2/ CM: Δ MNK cân

3/ tính diên tích Δ ABD khi K là trung điểm của CI

4/ CM: Khi K di động trên đoạn CI thì tâm đường tròn ngoại tiếp  Δ AKD luôn đi qua 1 điểm cố định (giúp mình 2 câu cuối)

 Bài 2: Cho tamgiác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Các tiếp tuyến của đường tròn tại B,C cắt nhau ở T. Đường thẳng AT cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D.

1) Chứng minh AB.CD=AC.BD
2) Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh góc BAD = góc CAM (giúp mình câu này)
 

cho 2 số dương x,y thoả mãn x+y = 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P

P = $\frac{4x+y}{xy}$ + $\frac{2x-y}{4}$