Đến nội dung

RoyalMadrid nội dung

Có 192 mục bởi RoyalMadrid (Tìm giới hạn từ 30-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#505152 Tìm min: $P=\frac{tan^5A+tan^5B+tan^5C}{tanA+tanB+ta...

Đã gửi bởi RoyalMadrid on 09-06-2014 - 10:16 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho tam giác nhọn ABC, tìm GTNN của $P=\frac{tan^5A+tan^5B+tan^5C}{tanA+tanB+tanC}$




#505150 $\begin{matrix} 2sin^7x+(m-1)sin^3x+(2m^3-2m-1)sinx=0...

Đã gửi bởi RoyalMadrid on 09-06-2014 - 10:10 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Tìm m để hai phương trình sau tương đương: 

$\begin{matrix} 2sin^7x+(m-1)sin^3x+(2m^3-2m-1)sinx=0& \\ 2sin^5x+(2-m)cos^2x+2m^3-m-2=0& \end{matrix}$




#504366 $\sqrt{2-x^2}sinx+\sqrt{2+x^2}cosx=\l...

Đã gửi bởi RoyalMadrid on 06-06-2014 - 08:55 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Biện luận số nghiệm của phương trình: $\sqrt{2-x^2}sinx+\sqrt{2+x^2}cosx=\left | a+1 \right |+\left | a-1 \right |$




#504204 $mx^2+2cosx = 2$

Đã gửi bởi RoyalMadrid on 05-06-2014 - 15:52 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm trên đoạn $\left [ 0; \frac{\pi}{2} \right ]$ :

$mx^2+2cosx = 2$




#504075 $1+ sin2x + 2cos3x (sinx + cosx) = 2sinx + 2cos3x + cos2x$

Đã gửi bởi RoyalMadrid on 04-06-2014 - 22:54 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Giải phương trình: $1+ sin2x + 2cos3x (sinx + cosx) = 2sinx + 2cos3x + cos2x$




#498485 Tìm min $A=a\sqrt{a}+b\sqrt{b}$

Đã gửi bởi RoyalMadrid on 11-05-2014 - 22:47 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho hai số thực dương a,b có $a\geq 3;2a+3b\geq 12$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=a\sqrt{a}+b\sqrt{b}$




#498483 $\sum \frac{x^{3}}{\sqrt{1+...

Đã gửi bởi RoyalMadrid on 11-05-2014 - 22:44 trong Bất đẳng thức và cực trị

$\frac{x^{3}}{\sqrt{1+y^{^{2}}}}+\frac{y^{3}}{\sqrt{1+z^{^{2}}}}+\frac{z^{3}}{\sqrt{1+x^{^{2}}}}=\frac{x^{4}}{x\sqrt{1+y^{^{2}}}}+\frac{y^{4}}{y\sqrt{1+z^{^{2}}}}+\frac{z^{4}}{z\sqrt{1+x^{^{2}}}}\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{x\sqrt{1+y^{^{2}}}+y\sqrt{1+z^{^{2}}}+z\sqrt{1+x^{^{2}}}}\geq \frac{3^{2}}{\sqrt{(x^{2}+y^{2}+z^{2})((x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}+3)}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Chỗ cuối áp dụng bđt nào vậy bạn?




#498482 $P=sin\frac{A}{2}\sqrt[3]{sin\fr...

Đã gửi bởi RoyalMadrid on 11-05-2014 - 22:42 trong Bất đẳng thức và cực trị

Áp dụng AM-GM ta có 

  $P\leqslant \frac{(\sin \frac{A}{2}+\sin \frac{C}{2})^2}{4}\sqrt[3]{\sin \frac{B}{2}}\leqslant \sin^2 \frac{A+C}{4}\sqrt[3]{\sin \frac{B}{3}}$

Đặt $\frac{A+C}{2}=x,\frac{B}{2}=y\Rightarrow x+y=90^0$

Khi đó $P \leqslant \sin ^2 \frac{x}{2}\sqrt[3]{\sin y}=\frac{1-\cos x}{2}\sqrt[3]{\cos x}=f(t),t=\sqrt[3]{\cos x}, x \in (0,90^0)$

P/S: Mình không có máy tính nên bạn chịu khó đạo hàm rồi lập bảng biến thiên nhé :D

Hix, có cách nào ko dùng đạo hàm ko bạn? Mình chưa học đạo hàm à:((




#498304 $P=sin\frac{A}{2}\sqrt[3]{sin\fr...

Đã gửi bởi RoyalMadrid on 10-05-2014 - 22:26 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho A,B,C là 3 góc của tam giác. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=sin\frac{A}{2}\sqrt[3]{sin\frac{B}{2}}sin\frac{C}{2}$




#498302 Tìm max của $A=\frac{a}{a+1}+\frac{b...

Đã gửi bởi RoyalMadrid on 10-05-2014 - 22:23 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn: a+b+c=2010. Tìm max biểu thức:

$A=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{4c}{c+1}$




#498299 Tìm min x+3y

Đã gửi bởi RoyalMadrid on 10-05-2014 - 22:20 trong Bất đẳng thức và cực trị

Trong các nghiệm (x,y) của bất phương trình: $5x^2+5y^2-5x-15y+8\leqslant 0$. Hãy tìm nghiệm có tổng x+3y nhỏ nhất.




#496665 $\left\{\begin{matrix} (2x+3)\sqrt{4x-1}+(2y-3)...

Đã gửi bởi RoyalMadrid on 02-05-2014 - 20:41 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Chỗ này phải là $2y+3$ chứ!

Từ PT (2) suy ra $\left\{\begin{matrix} 4x-1=\frac{x}{y} & & \\ 4y-1=\frac{y}{x} & & \end{matrix}\right.$

Thay vào PT (1): 

$VT=(2x+3)\sqrt{\frac{x}{y}}+(2y+3)\sqrt{\frac{y}{x}}\geqslant 2\sqrt{(2x+3)(2y+3)}=VP$

Suy ra $x=y=\frac{1}{2}$

Hì, mình gõ nhầm. Tks bạn nha




#496663 $\left\{\begin{matrix} \left | xy-18 \right |=1...

Đã gửi bởi RoyalMadrid on 02-05-2014 - 20:39 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải hệ:$\left\{\begin{matrix} \left | xy-18 \right |=12-x^2 & \\ xy=9+\frac{1}{3y^2}& \end{matrix}\right.$




#496661 Tìm min: $L=a+b+c+\frac{3}{a}+\frac{9...

Đã gửi bởi RoyalMadrid on 02-05-2014 - 20:34 trong Bất đẳng thức và cực trị

Xét các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a+2b+3c\geq 20$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$L=a+b+c+\frac{3}{a}+\frac{9}{2b}+\frac{4}{c}$




#496660 $\left\{\begin{matrix} (2x+3)\sqrt{4x-1}+(2y-3)...

Đã gửi bởi RoyalMadrid on 02-05-2014 - 20:32 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} (2x+3)\sqrt{4x-1}+(2y+3)\sqrt{4y-1}=2\sqrt{(2x+3)(2y+3)} & \\ y+x=4xy& \end{matrix}\right.$




#493936 Tìm min $P=(x^2+\frac{1}{y^2})(y^2+\frac...

Đã gửi bởi RoyalMadrid on 19-04-2014 - 19:42 trong Bất đẳng thức và cực trị

$P=\left ( x^2+\frac{1}{y^2} \right )\left ( y^2+\frac{1}{x^2} \right )=\frac{\left ( x^2y^2+1 \right )^2}{x^2y^2}$

Ta sẽ chứng minh $\frac{x^2y^2+1}{xy}\geq \frac{17}{4}$ (1)

Thật vậy ta có (1) $\Leftrightarrow x^2y^2-\frac{17}{4}xy+1\geq 0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} xy\geq 4& \\ xy\leq \frac{1}{4}& \end{bmatrix}$

Mặt khác $1=(x+y)^2\geq 4xy\Leftrightarrow xy\leq \frac{1}{4}$

Từ đó chứng minh được (1)

Suy ra $P\geq \left (\frac{17}{4} \right )^2$

Dấu $=$ xảy ra tại $x=y=\frac{1}{2}$

Tại sao lại đoán đk cho min =17/4 hả bạn




#493632 Chứng minh rằng: $\frac{1}{sinA}=\frac...

Đã gửi bởi RoyalMadrid on 17-04-2014 - 23:06 trong Hình học

Cho tam giác ABC , với BC=a, CA=b, AB=c thỏa mãn điều kiện: $\left\{\begin{matrix} a(a+c)=b^2 & \\ b(b+a)=c^2& \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng: $\frac{1}{sinA}=\frac{1}{sinB}+\frac{1}{sinC}$




#493630 Tìm min $P=(x^2+\frac{1}{y^2})(y^2+\frac...

Đã gửi bởi RoyalMadrid on 17-04-2014 - 22:59 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho x,y>0 và x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=(x^2+\frac{1}{y^2})(y^2+\frac{1}{x^2})$




#493629 Chứng minh tam giác ABC đều

Đã gửi bởi RoyalMadrid on 17-04-2014 - 22:56 trong Hình học

Cho tam giác ABC có các góc A,B thỏa điều kiện: $sin\frac{3A}{2}+sin\frac{3B}{2}=2cos\frac{A-B}{2}$. Chứng minh tam giác ABC đều




#492917 Tìm min $BK^{2}+CL^{2}+AM^{2}$

Đã gửi bởi RoyalMadrid on 14-04-2014 - 20:07 trong Bất đẳng thức và cực trị

  Cho tam giác ABC, P thuộc miền trong của tam giác. Gọi K,M,L lần lượt là hình chiếu vuông góc của P lên BC,CA,AB. Xác định P sao cho tổng $BK^{2}+CL^{2}+AM^{2}$ nhỏ nhất




#492790 $GTLN A=\frac{2}{1+x^2}+\frac{3}...

Đã gửi bởi RoyalMadrid on 13-04-2014 - 22:10 trong Bất đẳng thức và cực trị

Lời giải:
Từ giả thiết ta có: $y=\frac{z-x}{1+xz}$ thay vào ta có:$A=\frac{(z-x)(5z-x)}{(1+z^2)(1+x^2)}+3$
Áp dụng BDT AM-GM thì: $A=\frac{(z-x)(5z-x)}{(1+z^2)(1+x^2)}+3\leq \frac{(3z-3x+5x-z)}{12(1+z^2)(1+x^2)}+3\leq \frac{(x+z)^2}{3(x+z)^2}+3\leq \frac{10}{3}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:$x=\frac{1}{\sqrt{2}},y=\frac{\sqrt{2}}{4},z=\sqrt{2}$

Bạn xem lại phần biến đổi đoạn đầu, hình như nhầm lẫn thì phải???




#492739 $GTLN A=\frac{2}{1+x^2}+\frac{3}...

Đã gửi bởi RoyalMadrid on 13-04-2014 - 20:40 trong Bất đẳng thức và cực trị

Mình dùng lượng giác bạn tham khảo nhé:

 

 đặt x=tana,y=tanb.

$\Rightarrow a,b>0$

 

$z=\frac{tana+tanb}{1-tanatanb}=tan(a+b)\Rightarrow a+b<\frac{\Pi }{2}$

Biến đổi

$A=\frac{10}{3}-3[sinb-\frac{1}{3}sin(2a+b)]^{2}-\frac{1}{3}cos^{2}(2a+b)$

$\leq \frac{10}{3}$

Hix, làm sao để đặt được như vậy hả bạn? Chả có liên quan ji hết á :((




#492569 $GTLN A=\frac{2}{1+x^2}+\frac{3}...

Đã gửi bởi RoyalMadrid on 12-04-2014 - 23:00 trong Bất đẳng thức và cực trị

Lời giải:
Từ giả thiết ta có: $y=\frac{z-x}{1+xz}$ thay vào ta có:$A=\frac{(z-x)(5z-x)}{(1+z^2)(1+x^2)}+3$
Áp dụng BDT AM-GM thì: $A=\frac{(z-x)(5z-x)}{(1+z^2)(1+x^2)}+3\leq \frac{(3z-3x+5x-z)}{12(1+z^2)(1+x^2)}+3\leq \frac{(x+z)^2}{3(x+z)^2}+3\leq \frac{10}{3}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:$x=\frac{1}{\sqrt{2}},y=\frac{\sqrt{2}}{4},z=\sqrt{2}$

Bạn ơi, có thế nói rõ hướng suy nghĩ của nó được không. Bạn có thể đoán dấu bằng trước hả???




#492564 Tìm giá trị nhỏ nhất của $a^2+b^2$

Đã gửi bởi RoyalMadrid on 12-04-2014 - 22:22 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Cho phương trình: $x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0$ có ít nhất một nghiệm thực, với a,b là số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của $a^2+b^2$




#492563 Tìm giá trị nhỏ nhất của $a^2+b^2$

Đã gửi bởi RoyalMadrid on 12-04-2014 - 22:22 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Cho phương trình: $x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0$ có ít nhất một nghiệm thực, với a,b là số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của $a^2+b^2$