Cho tam giác nhọn ABC, tìm GTNN của $P=\frac{tan^5A+tan^5B+tan^5C}{tanA+tanB+tanC}$
RoyalMadrid nội dung
Có 192 mục bởi RoyalMadrid (Tìm giới hạn từ 30-03-2020)
#505152 Tìm min: $P=\frac{tan^5A+tan^5B+tan^5C}{tanA+tanB+ta...
Đã gửi bởi RoyalMadrid on 09-06-2014 - 10:16 trong Bất đẳng thức và cực trị
#505150 $\begin{matrix} 2sin^7x+(m-1)sin^3x+(2m^3-2m-1)sinx=0...
Đã gửi bởi RoyalMadrid on 09-06-2014 - 10:10 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác
Tìm m để hai phương trình sau tương đương:
$\begin{matrix} 2sin^7x+(m-1)sin^3x+(2m^3-2m-1)sinx=0& \\ 2sin^5x+(2-m)cos^2x+2m^3-m-2=0& \end{matrix}$
#504366 $\sqrt{2-x^2}sinx+\sqrt{2+x^2}cosx=\l...
Đã gửi bởi RoyalMadrid on 06-06-2014 - 08:55 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác
Biện luận số nghiệm của phương trình: $\sqrt{2-x^2}sinx+\sqrt{2+x^2}cosx=\left | a+1 \right |+\left | a-1 \right |$
#504204 $mx^2+2cosx = 2$
Đã gửi bởi RoyalMadrid on 05-06-2014 - 15:52 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác
Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm trên đoạn $\left [ 0; \frac{\pi}{2} \right ]$ :
$mx^2+2cosx = 2$
#504075 $1+ sin2x + 2cos3x (sinx + cosx) = 2sinx + 2cos3x + cos2x$
Đã gửi bởi RoyalMadrid on 04-06-2014 - 22:54 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác
Giải phương trình: $1+ sin2x + 2cos3x (sinx + cosx) = 2sinx + 2cos3x + cos2x$
#498485 Tìm min $A=a\sqrt{a}+b\sqrt{b}$
Đã gửi bởi RoyalMadrid on 11-05-2014 - 22:47 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho hai số thực dương a,b có $a\geq 3;2a+3b\geq 12$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=a\sqrt{a}+b\sqrt{b}$
#498483 $\sum \frac{x^{3}}{\sqrt{1+...
Đã gửi bởi RoyalMadrid on 11-05-2014 - 22:44 trong Bất đẳng thức và cực trị
$\frac{x^{3}}{\sqrt{1+y^{^{2}}}}+\frac{y^{3}}{\sqrt{1+z^{^{2}}}}+\frac{z^{3}}{\sqrt{1+x^{^{2}}}}=\frac{x^{4}}{x\sqrt{1+y^{^{2}}}}+\frac{y^{4}}{y\sqrt{1+z^{^{2}}}}+\frac{z^{4}}{z\sqrt{1+x^{^{2}}}}\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{x\sqrt{1+y^{^{2}}}+y\sqrt{1+z^{^{2}}}+z\sqrt{1+x^{^{2}}}}\geq \frac{3^{2}}{\sqrt{(x^{2}+y^{2}+z^{2})((x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}+3)}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$
Chỗ cuối áp dụng bđt nào vậy bạn?
#498482 $P=sin\frac{A}{2}\sqrt[3]{sin\fr...
Đã gửi bởi RoyalMadrid on 11-05-2014 - 22:42 trong Bất đẳng thức và cực trị
Áp dụng AM-GM ta có
$P\leqslant \frac{(\sin \frac{A}{2}+\sin \frac{C}{2})^2}{4}\sqrt[3]{\sin \frac{B}{2}}\leqslant \sin^2 \frac{A+C}{4}\sqrt[3]{\sin \frac{B}{3}}$
Đặt $\frac{A+C}{2}=x,\frac{B}{2}=y\Rightarrow x+y=90^0$
Khi đó $P \leqslant \sin ^2 \frac{x}{2}\sqrt[3]{\sin y}=\frac{1-\cos x}{2}\sqrt[3]{\cos x}=f(t),t=\sqrt[3]{\cos x}, x \in (0,90^0)$
P/S: Mình không có máy tính nên bạn chịu khó đạo hàm rồi lập bảng biến thiên nhé
Hix, có cách nào ko dùng đạo hàm ko bạn? Mình chưa học đạo hàm à(
#498304 $P=sin\frac{A}{2}\sqrt[3]{sin\fr...
Đã gửi bởi RoyalMadrid on 10-05-2014 - 22:26 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho A,B,C là 3 góc của tam giác. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=sin\frac{A}{2}\sqrt[3]{sin\frac{B}{2}}sin\frac{C}{2}$
#498302 Tìm max của $A=\frac{a}{a+1}+\frac{b...
Đã gửi bởi RoyalMadrid on 10-05-2014 - 22:23 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn: a+b+c=2010. Tìm max biểu thức:
$A=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{4c}{c+1}$
#498299 Tìm min x+3y
Đã gửi bởi RoyalMadrid on 10-05-2014 - 22:20 trong Bất đẳng thức và cực trị
Trong các nghiệm (x,y) của bất phương trình: $5x^2+5y^2-5x-15y+8\leqslant 0$. Hãy tìm nghiệm có tổng x+3y nhỏ nhất.
#496665 $\left\{\begin{matrix} (2x+3)\sqrt{4x-1}+(2y-3)...
Đã gửi bởi RoyalMadrid on 02-05-2014 - 20:41 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Chỗ này phải là $2y+3$ chứ!
Từ PT (2) suy ra $\left\{\begin{matrix} 4x-1=\frac{x}{y} & & \\ 4y-1=\frac{y}{x} & & \end{matrix}\right.$
Thay vào PT (1):
$VT=(2x+3)\sqrt{\frac{x}{y}}+(2y+3)\sqrt{\frac{y}{x}}\geqslant 2\sqrt{(2x+3)(2y+3)}=VP$
Suy ra $x=y=\frac{1}{2}$
Hì, mình gõ nhầm. Tks bạn nha
#496663 $\left\{\begin{matrix} \left | xy-18 \right |=1...
Đã gửi bởi RoyalMadrid on 02-05-2014 - 20:39 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Giải hệ:$\left\{\begin{matrix} \left | xy-18 \right |=12-x^2 & \\ xy=9+\frac{1}{3y^2}& \end{matrix}\right.$
#496661 Tìm min: $L=a+b+c+\frac{3}{a}+\frac{9...
Đã gửi bởi RoyalMadrid on 02-05-2014 - 20:34 trong Bất đẳng thức và cực trị
Xét các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a+2b+3c\geq 20$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$L=a+b+c+\frac{3}{a}+\frac{9}{2b}+\frac{4}{c}$
#496660 $\left\{\begin{matrix} (2x+3)\sqrt{4x-1}+(2y-3)...
Đã gửi bởi RoyalMadrid on 02-05-2014 - 20:32 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} (2x+3)\sqrt{4x-1}+(2y+3)\sqrt{4y-1}=2\sqrt{(2x+3)(2y+3)} & \\ y+x=4xy& \end{matrix}\right.$
#493936 Tìm min $P=(x^2+\frac{1}{y^2})(y^2+\frac...
Đã gửi bởi RoyalMadrid on 19-04-2014 - 19:42 trong Bất đẳng thức và cực trị
$P=\left ( x^2+\frac{1}{y^2} \right )\left ( y^2+\frac{1}{x^2} \right )=\frac{\left ( x^2y^2+1 \right )^2}{x^2y^2}$
Ta sẽ chứng minh $\frac{x^2y^2+1}{xy}\geq \frac{17}{4}$ (1)
Thật vậy ta có (1) $\Leftrightarrow x^2y^2-\frac{17}{4}xy+1\geq 0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} xy\geq 4& \\ xy\leq \frac{1}{4}& \end{bmatrix}$
Mặt khác $1=(x+y)^2\geq 4xy\Leftrightarrow xy\leq \frac{1}{4}$
Từ đó chứng minh được (1)
Suy ra $P\geq \left (\frac{17}{4} \right )^2$
Dấu $=$ xảy ra tại $x=y=\frac{1}{2}$
Tại sao lại đoán đk cho min =17/4 hả bạn
#493632 Chứng minh rằng: $\frac{1}{sinA}=\frac...
Đã gửi bởi RoyalMadrid on 17-04-2014 - 23:06 trong Hình học
Cho tam giác ABC , với BC=a, CA=b, AB=c thỏa mãn điều kiện: $\left\{\begin{matrix} a(a+c)=b^2 & \\ b(b+a)=c^2& \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng: $\frac{1}{sinA}=\frac{1}{sinB}+\frac{1}{sinC}$
#493630 Tìm min $P=(x^2+\frac{1}{y^2})(y^2+\frac...
Đã gửi bởi RoyalMadrid on 17-04-2014 - 22:59 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho x,y>0 và x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=(x^2+\frac{1}{y^2})(y^2+\frac{1}{x^2})$
#493629 Chứng minh tam giác ABC đều
Đã gửi bởi RoyalMadrid on 17-04-2014 - 22:56 trong Hình học
Cho tam giác ABC có các góc A,B thỏa điều kiện: $sin\frac{3A}{2}+sin\frac{3B}{2}=2cos\frac{A-B}{2}$. Chứng minh tam giác ABC đều
#492917 Tìm min $BK^{2}+CL^{2}+AM^{2}$
Đã gửi bởi RoyalMadrid on 14-04-2014 - 20:07 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho tam giác ABC, P thuộc miền trong của tam giác. Gọi K,M,L lần lượt là hình chiếu vuông góc của P lên BC,CA,AB. Xác định P sao cho tổng $BK^{2}+CL^{2}+AM^{2}$ nhỏ nhất
#492790 $GTLN A=\frac{2}{1+x^2}+\frac{3}...
Đã gửi bởi RoyalMadrid on 13-04-2014 - 22:10 trong Bất đẳng thức và cực trị
Lời giải:
Từ giả thiết ta có: $y=\frac{z-x}{1+xz}$ thay vào ta có:$A=\frac{(z-x)(5z-x)}{(1+z^2)(1+x^2)}+3$
Áp dụng BDT AM-GM thì: $A=\frac{(z-x)(5z-x)}{(1+z^2)(1+x^2)}+3\leq \frac{(3z-3x+5x-z)}{12(1+z^2)(1+x^2)}+3\leq \frac{(x+z)^2}{3(x+z)^2}+3\leq \frac{10}{3}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:$x=\frac{1}{\sqrt{2}},y=\frac{\sqrt{2}}{4},z=\sqrt{2}$
Bạn xem lại phần biến đổi đoạn đầu, hình như nhầm lẫn thì phải???
#492739 $GTLN A=\frac{2}{1+x^2}+\frac{3}...
Đã gửi bởi RoyalMadrid on 13-04-2014 - 20:40 trong Bất đẳng thức và cực trị
Mình dùng lượng giác bạn tham khảo nhé:
đặt x=tana,y=tanb.
$\Rightarrow a,b>0$
$z=\frac{tana+tanb}{1-tanatanb}=tan(a+b)\Rightarrow a+b<\frac{\Pi }{2}$
Biến đổi
$A=\frac{10}{3}-3[sinb-\frac{1}{3}sin(2a+b)]^{2}-\frac{1}{3}cos^{2}(2a+b)$
$\leq \frac{10}{3}$
Hix, làm sao để đặt được như vậy hả bạn? Chả có liên quan ji hết á (
#492569 $GTLN A=\frac{2}{1+x^2}+\frac{3}...
Đã gửi bởi RoyalMadrid on 12-04-2014 - 23:00 trong Bất đẳng thức và cực trị
Lời giải:
Từ giả thiết ta có: $y=\frac{z-x}{1+xz}$ thay vào ta có:$A=\frac{(z-x)(5z-x)}{(1+z^2)(1+x^2)}+3$
Áp dụng BDT AM-GM thì: $A=\frac{(z-x)(5z-x)}{(1+z^2)(1+x^2)}+3\leq \frac{(3z-3x+5x-z)}{12(1+z^2)(1+x^2)}+3\leq \frac{(x+z)^2}{3(x+z)^2}+3\leq \frac{10}{3}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:$x=\frac{1}{\sqrt{2}},y=\frac{\sqrt{2}}{4},z=\sqrt{2}$
Bạn ơi, có thế nói rõ hướng suy nghĩ của nó được không. Bạn có thể đoán dấu bằng trước hả???
#492564 Tìm giá trị nhỏ nhất của $a^2+b^2$
Đã gửi bởi RoyalMadrid on 12-04-2014 - 22:22 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Cho phương trình: $x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0$ có ít nhất một nghiệm thực, với a,b là số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của $a^2+b^2$
#492563 Tìm giá trị nhỏ nhất của $a^2+b^2$
Đã gửi bởi RoyalMadrid on 12-04-2014 - 22:22 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Cho phương trình: $x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0$ có ít nhất một nghiệm thực, với a,b là số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của $a^2+b^2$
- Diễn đàn Toán học
- → RoyalMadrid nội dung