Đến nội dung

Forgive Yourself nội dung

Có 461 mục bởi Forgive Yourself (Tìm giới hạn từ 30-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#539983 CMR : ​$cos(\frac{2\pi }{2013})+cos(...

Đã gửi bởi Forgive Yourself on 07-01-2015 - 17:32 trong Công thức lượng giác, hàm số lượng giác

Bài tổng quát:

$\forall k\epsilon N^*: 2\cos\frac{a}{2}\cos ka=\cos\frac{(2k-1)a}{2}+\cos\frac{(2k+1)a}{2}$
 

$\Rightarrow2\cos\frac{a}{2}\sum_{k=1}^{n}{(-1)^{k+1}\cos ka}=\sum_{k=1}^{n} {(-1)^{k+1}\cos\frac{(2k-1)a}{2}+(-1)^{k+1}\cos\frac{(2k+1)a}{2}}$
$=\cos\frac{a}{2}+(-1)^{n+1}\cos\frac{(2n+1)a}{2}$
$\Rightarrow\sum_{k=1}^{n}{(-1)^{k+1}\cos ka}=\frac{1}{2}+\frac{(-1)^{k+1}}{2}.\frac{\cos\frac{(2n+1)a}{2}}{cos\frac{a}{2}}$




#539982 CMR : ​$cos(\frac{2\pi }{2013})+cos(...

Đã gửi bởi Forgive Yourself on 07-01-2015 - 17:30 trong Công thức lượng giác, hàm số lượng giác

Chứng minh rằng : 
$cos(\frac{2\pi }{2013})+cos(\frac{4\pi }{2013})+...+cos(\frac{2010\pi }{2013})+cos(\frac{2012\pi }{2013})=\frac{-1}{2}$

 

Ta có:

 

$2\sin \frac{\pi}{2013}.S=\sin\frac{3\pi}{2013}-\sin\frac{\pi}{2013}+\sin\frac{5\pi}{2013}-\sin\frac{3\pi}{2013}+...+\sin\pi-\sin\frac{2011\pi}{2013}=-\sin\frac{\pi}{2013}\\ \Leftrightarrow S=\frac{-1}{2}$




#539981 Cho $\Delta ABC$, bán kính đường tròn bàng tiếp góc $A...

Đã gửi bởi Forgive Yourself on 07-01-2015 - 17:16 trong Công thức lượng giác, hàm số lượng giác

Cho $\Delta ABC$, bán kính đường tròn bàng tiếp góc $A$ là $r_{a}$, bán kính đường tròn nội tiếp r, bán kính đường tròn ngoại tiếp R.

a) Chứng minh rằng cos A + cos B + cos C = $\frac{R + r}{R}$

 

Ta có: $r=(p-a)tan\frac{A}{2}$

 

Suy ra:

 

$1+\frac{r}{R}=1+\frac{(p-a)tan\frac{A}{2}}{R}=1+\left ( \frac{b+c-a}{2R} \right )tan\frac{A}{2}$

 

$=1+(sinB+sinC-sinA)tan\frac{A}{2}=1+4sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}sin\frac{A}{2}\frac{sin\frac{A}{2}}{cos\frac{A}{2}}$

 

$=1+4sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}=cosA+cosB+cosC$




#539980 $|\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}...

Đã gửi bởi Forgive Yourself on 07-01-2015 - 17:12 trong Các bài toán Lượng giác khác

Co $a,b,c$ là $3$ cạnh của tam giác: cmr.

$|\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}|<\frac{1}{8}$

 

Ta có:

 

$T=\left | \frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a} \right |=\left | \frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-b+b-a}{c+a} \right |$

 

$=\left | \frac{a-b}{a+b}+\frac{b-a}{c+a}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-b}{c+a} \right |$

 

$=\left | (a-b)\left ( \frac{1}{a+b}-\frac{1}{c+a} \right )+(b-c)\left ( \frac{1}{b+c}-\frac{1}{c+a} \right ) \right |$

 

$=\left | (a-b)\frac{c+a-a-b}{(a+b)(c+a)}+(b-c)\frac{c+a-b-c}{(b+c)(c+a)} \right |$

 

$=\left | \frac{(a-b)(c-b)}{a+c}\left ( \frac{1}{a+b}-\frac{1}{b+c} \right ) \right |$

 

$=\left | \frac{(a-b)(c-b)}{a+c}.\frac{b+c-a-b}{(a+b)(b+c)} \right |$

 

$=\left | \frac{(a-b)(c-b)(c-a)}{(a+c)(a+b)(b+c)} \right |=\frac{|a-b||c-b||c-a|}{(a+b)(b+c)(c+a)}< \frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

 

Theo bất đẳng thức $Cauchy$ ta có:

 

$\left\{\begin{matrix} a+b\geq 2\sqrt{ab}\\ b+c\geq 2\sqrt{bc}\\ c+a\geq 2\sqrt{ca} \end{matrix}\right. \Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$

 

$\Rightarrow \frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{1}{8}\Rightarrow T< \frac{1}{8}$  ($đpcm$)




#539733 cot C = 2(cotA + cotB)

Đã gửi bởi Forgive Yourself on 05-01-2015 - 16:08 trong Công thức lượng giác, hàm số lượng giác

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng tam giác ABG vuông tại G khi và chỉ khi $cot C = 2(cot A + cot B)$
Ai có thể giúp em với cảm ơn nhiều !  :lol:

 

http://diendantoanho...t-c-2cota-cotb/




#539731 $\Sigma \frac{sinA}{cos\frac{B}...

Đã gửi bởi Forgive Yourself on 05-01-2015 - 16:02 trong Công thức lượng giác, hàm số lượng giác

2. Với mọi $\Delta ABC$, ta có: $\Sigma \frac{sinA}{cos\frac{B}{2}.cos\frac{C}{2}} = 2$

 

 

Hình như là $\sum \frac{sin\frac{A}{2}}{cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}}=2$ chứ nhỉ?

 

Ta có: 

 

$\frac{sin\frac{A}{2}}{cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}}+\frac{sin\frac{B}{2}}{cos\frac{C}{2}cos\frac{A}{2}}=\frac{\frac{1}{2}sinA+\frac{1}{2}sinB}{cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}}=\frac{sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}}{cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}}$

 

$=\frac{cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}+sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}}{cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}}=1+tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}$

 

Và $\frac{sin\frac{C}{2}}{cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}}=\frac{cos\frac{A+B}{2}}{cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}}=\frac{cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}-sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}}{cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}}=1-tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}$

 

Vậy $\sum \frac{sin\frac{A}{2}}{cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}}=2$




#539729 $\to a;a+b+c=2(a\cos A+b\cos B+c\cos C)$

Đã gửi bởi Forgive Yourself on 05-01-2015 - 15:46 trong Công thức lượng giác, hàm số lượng giác

$cmr:\Delta ABC$ $\text{đều:}$

$\to a;a+b+c=2(a\cos A+b\cos B+c\cos C)$

 

Cách 2:

 

Hệ thức tương đương $4sinAsinBsinC=4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}$

 

$\Leftrightarrow cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}=8sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}$

 

$\Leftrightarrow 1=8sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$

 

$\Leftrightarrow 1=4\left [ cos\frac{A-B}{2}-cos\frac{A+B}{2} \right ]cos\frac{A+B}{2}$

 

$\Leftrightarrow \left ( 2cos\frac{A+B}{2}-cos\frac{A-B}{2} \right )^2+sin^2\frac{A-B}{2}=0$

 

$\Leftrightarrow A=B=C\Leftrightarrow \Delta ABC$ đều




#539727 $\to a;a+b+c=2(a\cos A+b\cos B+c\cos C)$

Đã gửi bởi Forgive Yourself on 05-01-2015 - 15:37 trong Công thức lượng giác, hàm số lượng giác

$cmr:\Delta ABC$ $\text{đều:}$

$\to a;a+b+c=2(a\cos A+b\cos B+c\cos C)$

 

 

Hệ thức đã cho tương đương:

 

$2R(sinA+sinB+sinC)=2R.2sinAcosA+2R.2sinBcosB+2R.2sinCcosC$

 

$\Leftrightarrow sinA+sinB+sinC=sin2A+sin2B+sin2C$

 

Ta có:

 

$sin2A+sin2B+sin2C=\frac{1}{2}[(sin2A+sin2B)+(sin2B+sin2C)+(sin2C+sin2A)]$

 

$=\frac{1}{2}[2sin(A+B)cos(A-B)+2sin(B+C)cos(B-C)+2sin(C+A)(C-A)]$

 

$=sinCcos(A-B)+sinAcos(B-C)+sinBcos(C-A) \leq sinC+sinA+sinB$

 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $A=B=C$ hay $\Delta ABC$ đều




#539726 cot C = 2(cotA + cotB)

Đã gửi bởi Forgive Yourself on 05-01-2015 - 15:27 trong Công thức lượng giác, hàm số lượng giác

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng tam giác ABG vuông tại G khi và chỉ khi $cotC=2(cotA+cotB)$
Ai có thể giúp em với cảm ơn nhiều !   :lol:

 

 

Gọi $AM, BN$ là hai đường trung tuyến của $\Delta ABC$

 

Ta có:

 

$cotC=2(cotA+cotB)\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2-c^2}{4S}=2\left ( \frac{b^2+c^2-a^2}{4S}+\frac{a^2+c^2-b^2}{4S} \right )$

 

$\Leftrightarrow a^2+b^2=5c^2\Leftrightarrow 2(b^2+c^2)-a^2+2(a^2+c^2)-b^2=9c^2$

 

$\Leftrightarrow 4m_a^2+4m_b^2=9c^2\Leftrightarrow \left ( \frac{2}{3}m_a \right )^2+\left ( \frac{2}{3}m_b \right )^2=c^2$

 

$\Leftrightarrow AG^2+BG^2=CB^2\Leftrightarrow AG\perp BG$




#539280 Tìm GTNN của $P= cotA + cotB + cotC$

Đã gửi bởi Forgive Yourself on 03-01-2015 - 14:49 trong Công thức lượng giác, hàm số lượng giác

Cho tam giác ABC thoả: $Sin^2B + sin^2C + sinBsinC \geqslant sin^2A$

Tìm GTNN của $P=cotA + cotB + cotC$

Cám ơn!

 

$Sin^2B + sin^2C + sinBsinC \leq sin^2A$ chứ nhỉ?




#539278 $8cosAsinBsinC+4\sqrt{3}(sinA+cosB+cosC)-17=0$

Đã gửi bởi Forgive Yourself on 03-01-2015 - 14:42 trong Công thức lượng giác, hàm số lượng giác

Tính các góc của tam giác $ABC$ khi biết :

$8cosAsinBsinC+4\sqrt{3}(sinA+cosB+cosC)-17=0$   ($1$)

 

Áp dụng định lý cosin và sin trong tam giác có : $cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}, a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC$

 

Từ đó: $cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{sin^2B+sin^2C-sin^2A}{2sinBsinC}$

 

($1$) $\Leftrightarrow sin^2B+sin^2C-sin^2A+\sqrt{3}(sinA+cosB+cosC)=\frac{17}{4}$

 

$\Leftrightarrow 1-cos^2B+1-cos^2C-sin^2A+\sqrt{3}(sinA+cosB+cosC)=\frac{17}{4}$

 

$\Leftrightarrow \left ( cosB-\frac{\sqrt{3}}{2} \right )^2+\left ( cosC-\frac{\sqrt{3}}{2} \right )^2+\left ( sinA-\frac{\sqrt{3}}{2} \right )^2=0$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} cosB=cosC=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ sinA=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} B=C=30^o\\ A=120^o \end{matrix}\right.$




#536995 $\sqrt{C^1_n}+\sqrt[2]{2C^1_n}+...+\s...

Đã gửi bởi Forgive Yourself on 10-12-2014 - 11:44 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức

Cho $3<n\in \mathbb{Z}$. Chứng minh rằng:

$$\sqrt{C^1_n}+\sqrt[2]{2C^1_n}+\sqrt[3]{3C^1_n}+...+\sqrt[n]{nC^1_n}<n(n+1)2^{\frac{n-3}{2}}$$




#535996 $\left\{\begin{matrix} (x+5y-4)\sqrt...

Đã gửi bởi Forgive Yourself on 03-12-2014 - 11:43 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \left ( x+5y-4 \right )\sqrt{x-y^2}=2xy-2y\\ y\sqrt{x-1}+3\sqrt{x-y^2}=2x+y \end{matrix}\right.$

 




#532676 Tính $S=\sum_{n=1}^{400}\sqrt{n}...

Đã gửi bởi Forgive Yourself on 10-11-2014 - 14:27 trong Đại số

Tính tổng $S=\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{400}$




#530326 $cosxcos4x+cos2xcos3x+cos^24x=\frac{3}{2}$

Đã gửi bởi Forgive Yourself on 24-10-2014 - 17:12 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Giải phương trình lượng giác: $cosxcos4x+cos2xcos3x+cos^24x=\frac{3}{2}$




#530325 Tìm GTNN của $A=\frac{9}{4}(x^4+y^4)+\frac...

Đã gửi bởi Forgive Yourself on 24-10-2014 - 17:09 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho các số thực $x,y$ thay đổi thỏa mãn $(x+y)^3+4xy\geq 2$.

 

Tìm GTNN của $A=\frac{9}{4}(x^4+y^4)+\frac{9}{2}x^2y^2-2(x^2+y^2)+1$




#528171 $a_{0}+a_{2}+a_{4}+...+a_{4042110...

Đã gửi bởi Forgive Yourself on 10-10-2014 - 21:43 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức

Cho khai triển: $\left ( 1+x+x^{2}+...+x^{2010} \right )^{2011}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{4042110}x^{4042110}$

$a/$ Tính tổng $a_{0}+a_{2}+a_{4}+...+a_{4042110}$

$b/$ Chứng minh rằng: $C_{2011}^{0}a_{2011}-C_{2011}^{1}a_{2010}+C_{2011}^{2}a_{2009}-...+C_{2011}^{2010}a_{1}-C_{2011}^{2011}a_{0}=-2011$

a) Cho $x=-1,x=1$ rồi cộng từng vế của hai đẳng thức và chia hai vế cho $2$ ta được $S=\frac{2011^{2011}+1}{2}$




#525816 Viết pt đường tròn ($C$)

Đã gửi bởi Forgive Yourself on 23-09-2014 - 11:40 trong Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường thẳng $d:x-y=0$ , đường tròn ($C$) có bán kính $R=\sqrt{10}$ cắt $d$ tại $2$ điểm $A,B$ sao cho $AB=4\sqrt{2}$. Tiếp tuyến của ($C$) tại $A$ và $B$ cắt nhau tại $1$ điểm thuộc tia $Oy$. Viết pt đường tròn ($C$)




#525590 $\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2...

Đã gửi bởi Forgive Yourself on 21-09-2014 - 20:33 trong Bất đẳng thức và cực trị

Phải là $\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}= \frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{2-1}= \sqrt{2}-\sqrt{1}$ chứ

 

$\sqrt{1}$ và $1$ khác gì nhau ak bạn? Nhưng đề đã được sửa rồi nhé!




#525575 $\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2...

Đã gửi bởi Forgive Yourself on 21-09-2014 - 19:23 trong Bất đẳng thức và cực trị

Ta có:$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}=\frac{{2}-\sqrt{1}}{2-1}=\sqrt{2}-\sqrt{1}$

Tương tự có:$VT=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}=\sqrt{100}-1=10-1=9>\frac{9}{2}$ suy ra điều phải chứng minh

 

Xin lỗi, mk nhầm đề, đã fix!




#525571 lí do có thể đặt từ $a^2+b^2+c^2+abc=4$

Đã gửi bởi Forgive Yourself on 21-09-2014 - 19:09 trong Bất đẳng thức và cực trị

mọi người cho em hỏi từ giả thiết $a^2+b^2+c^2+abc=4$ với $a,b,c>0$ sao lại có thể đặt 

$a=\frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{(y+z)(x+z)}},b=\frac{2\sqrt{yz}}{\sqrt{(y+x)(z+x)}},c=\frac{2\sqrt{zx}}{\sqrt{(z+y)(x+y)}}$

hoặc $a=\frac{2x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}},b=\frac{2y}{\sqrt{(y+z)(y+x)}},c=\frac{2z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}$

ví dụ như từ giả thiết $ab+bc+ca+abc=4$ thì có thể đặt $x=\frac{2a}{b+c};y=\frac{2b}{c+a};z=\frac{2c}{a+b}$ thì cái đó em hiểu là từ $ab+bc+ca+abc=4$ thì ta biến đổi thành $\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=1$ và từ đó thì đơn giản

hay từ $ab+bc+ca+2abc=1$ thì ta có thể đặt $a=\frac{x}{y+z},b=\frac{y}{z+x},c=\frac{z}{x+y}$ do từ $ab+bc+ca+2abc=1$ thì ta biến đổi thành $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2$ và từ đó đơn giản

nhưng từ cái $a^2+b^2+c^2+abc=4$ đặt được như trên thì em không hiểu lí do

mong một lời giải thích

 

NTP

 

Quan trọng là ở từng bài toán, có thể từ giả thiết đó nhưng có nhiều cách đổi biến khác nhau tùy vào từng bài toán!




#525417 $\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2...

Đã gửi bởi Forgive Yourself on 20-09-2014 - 22:30 trong Bất đẳng thức và cực trị

CMR: $\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\geq \frac{9}{2}$




#520375 ba đường thẳng $AE,BF,CD$ có đồng quy không? CM?

Đã gửi bởi Forgive Yourself on 19-08-2014 - 20:06 trong Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Nhầm box rồi 

 

Nhầm box? Bài này sẽ phải dùng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng bạn nhé!




#518260 Tìm GTNN tuỳ theo m $A= \left | x-2y+1 \right | + \left |...

Đã gửi bởi Forgive Yourself on 07-08-2014 - 17:04 trong Bất đẳng thức và cực trị

Bài 1: Tìm GTNN tuỳ theo m

$A= \left | x-2y+1 \right | + \left | 2x+my+5 \right |$

 

Xét hệ $\left\{\begin{matrix} x-2y+1=0\\ 2x+my+5=0 \end{matrix}\right.$

 

$D=m+4, D_x=-m-10, D_y=-3$

 

TH1: $D\neq 0$, hệ có nghiệm duy nhất $\left\{\begin{matrix} x=\frac{-m-10}{m+4}\\ y=\frac{-3}{m+4}\\ \end{matrix}\right.$

 

$\Rightarrow Min_p=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{-m-10}{m+4}\\ y=\frac{-3}{m+4} \end{matrix}\right.$

 

TH2: $D=0 \Leftrightarrow m=-4$. Ta có:

 

$P=\left | x-2y+1 \right |+2\left | x-2y+\frac{5}{2} \right |$

 

Đặt $t=x-2y$, ta được $P=\left | t+1 \right |+2\left | t+\frac{5}{2} \right |$

 

$P=\left\{\begin{matrix} 3t+6(t\geq -1)\\ t+4(\frac{-5}{2}\leq t<-1)\\ -3t-6(t<\frac{-5}{2}) \end{matrix}\right.$

 

Xét bảng biến thiên ta sẽ có: $Min_P=\frac{3}{2}\Leftrightarrow t=\frac{-5}{2}$

 

Tóm lại:

 

- Nếu $a\neq -4$ thì $Min_p=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{-m-10}{m+4}\\ y=\frac{-3}{m+4} \end{matrix}\right.$

 

- Nếu $a=-4$ thì $Min_P=\frac{3}{2}\Leftrightarrow 2x-4y+5=0$




#518163 cho$x^2+(3-x)^2 \geq 5$.Tìm min của$P=x^4+(3-x)^4+6x^2(3-...

Đã gửi bởi Forgive Yourself on 07-08-2014 - 08:39 trong Bất đẳng thức và cực trị

cho $x^2+(3-x)^2 \geq 5$ . Tìm min của $P=x^4+(3-x)^4+6x^2(3-x)^2$

 

Lời giải có tại đây!

 

Hãy tìm kiếm trước khi hỏi... bạn sẽ giỏi hơn mỗi khi tìm!