Gợi ý:

Gọi E là trung điểm của AB. Đặt AE = x. Ta có: $OM \le OE + EM = x + \sqrt {{R^2} - {x^2}} \le R\sqrt 2 $

Chỗ này dùng Cauchy ngược dấu hả bạn? $x + \sqrt {{R^2} - {x^2}} \le R\sqrt 2 $
____________________________
Beautifulsunrise: Không, Bunhiacopsky

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O;R)$, $AC\perp BD$ tại $I$ ($I\neq O$). Tìm vị trí của $ABCD$ để $S_{ICD}$ lớn nhất

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn $(O;R)$, các đường thẳng $AO, BO, CO$ cắt $BC, AC, AB$ lần lượt tại $A', B', C'$. Tìm $GTNN$ của $OA'+OB'+OC'$ theo $R$

Cho $A$ là một điểm cố định trên đường tròn $(O;1)$. $M$ là điểm sao cho $\Delta AMB$ vuông ở $M$ ($AB$ là dây của $(O;1)$). Tính $GTLN$ của $OM$

Cho đường tròn $(O;R)$ tiếp xúc ngoài $(O';r)$ tại $A$. Vẽ hai tia $Ax\perp Ay$ cắt $(O;R)$ và $(O;r)$ lần lượt tại $B$ và $C$. Tính giá trị lớn nhất của $S_{ABC}$

Đặt $(x,y,z)\rightarrow (\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})$
$\Rightarrow xyz=1$
BĐt đã cho được viết lại thành $x^2+y^2+z^2+3\geq 2(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})$ với $xyz=1$
$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xyz+1\geq 2(xy+yz+xz)$
Nhưng trên là 1 bđt vô cùng cơ bản
$\Rightarrow$ đpcm
Dấu = xảy ra khi $x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c=1$ ?

Bạn chứng minh bất đẳng thức bạn gọi là cơ bản dùm mình được không?

Cho $f(x)$ thỏa mãn $f(x)+3-f(1-x)=x$. Tính $f(1)$

Vẽ đồ thị hàm số $f(x)=||x-1|-1|$

Cho hàm số $f(x)=\frac{1}{x}$. Tính $f(f(x))$ và $f(f(f(\frac{1}{3})))$

Cho $\Delta ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(O;r)$. Gọi đường tròn $(I;R)$ là đường tròn bàng tiếp góc $A$ của $\Delta ABC$. Đường tròn $(O;r)$ tiếp xúc với $BC$ tại $D$, đường tròn $(I;R)$ tiếp xúc với $BC$ tại $E$.
a) CMR: $BC\geq 2\sqrt{Rr}$
b) CMR: đường thẳng đi qua $O$ và trung điểm của $AD$ đi qua trung điểm của $DE$

Cho $a,b,c$ dương và $abc=1$. Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+3\geq 2(a+b+c)$$