Mình thử làm theo cách đấy nhưng mà chỉ chứng minh được nó lớn hơn 7.797958....thôi.

Bạn cho $n=\overline{1;24}$ hay $n=\overline{2;24}$ đấy? Chứng minh nó lớn hơn bao nhiêu cũng còn tùy thuộc vào cái đó nữa.

Cho đa thức bậc 5 có hệ số nguyên. Biết rằng $f(x)$ nhận giá trị 1975 với 4 giá trị nguyên khác nhau của $x$. Cmr : với mọi $x\in Z$ thì $f(x)$ không thể có giá trị bằng 1992.

Cmr : $(\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}})^8>3^6$

Cmr : tồn tại 2 số nguyên dương khác nhau $x,y$ sao cho $xy+x$ và $xy+y$ đều là SCP.

Tìm $k$ để pt $x^2+kx+a=0$ với $a$ khác 0 có 2 nghiệm thỏa mãn : $(\frac{x_1}{x_2})^3+(\frac{x_2}{x_1})^3\leq 52$

Với $a,b,c$ là các cạnh và $h_a;h_b;h_c$ là đường cao của 1 tam giác. Cmr : $(a+b+c)^2\geq 4(h_a^2+h_b^2+h_c^2)$

Tìm $a,b$ nguyên dương sao cho $\frac{a^2-2}{ab+2}$ là số nguyên.

Giải pt nghiệm nguyên :
$\frac{yz}{x}+\frac{xy}{z}+\frac{zx}{y}=3$

Cmr : với mọi $m,n\in N$ ta có $x^{3m+1}+x^{3n+2}+1$ $\vdots$ $x^2+x+1$

Cmr : với $x\geq 1;y\geq 1$ ta có :
$\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\geq \frac{2}{1+xy}$

Giải hệ pt :
$\left\{\begin{matrix}2x^2-y^2+xy+y-5x+2=0&&\\ x^2+y^2+x+y-4=0\end{matrix}\right.$

Xét $\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{2\sqrt{n}}>\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$ ...

Đổi các phương trình thành: $\left\{\begin{matrix}a_1x^2+b_1x+c_1=0 & & \\ a_2x^2+b_2x+c_2=0 & & \\ ............................. & & \\ a_nx^2+b_nx+c_n=0 & & \end{matrix}\right.$

Vậy thì đề là :
Cho hpt $\left\{\begin{matrix}a_1x^2+b_1x+c_1=0 & & \\ a_2x^2+b_2x+c_2=0 & & \\ ............................. & & \\ a_nx^2+b_nx+c_n=0 & & \end{matrix}\right.$
với $b_1.b_2...b_n\geq 2(a_1.c_1+a_2.c_2+...+a_n.c_n)$ à?

Bạn có thể tổng quát hệ số a lên được không?

Là sao hả cậu?

Cho $2$ pt bậc hai: $\left\{\begin{matrix} x^2+a_1x+b_1=0\\ x^2+a_2x+b_2=0 \end{matrix}\right.$
có các hệ số thỏa mãn điều kiện $a_1a_2\geq 2(b_1+b_2)$
CMR: ít nhất một trong hai pt trên có nghiệm

Giả sử cả 2 pt đều vô nghiệm suy ra $\Delta<0$
tức là $\left\{\begin{matrix}a_1^2-4b_1<0\\ a_2^2-4b_2<0\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow a_1^2.a_2^2<4(b_1.b_2)$
$\Rightarrow a_1.a_2<4\sqrt{b_1.b_2}$
Mà $4\sqrt{b_1.b_2}\leq 2(b_1+b_2)$ ( Cauchy )
Nên $a_1.a_2<2(b_1+b_2)$ (mâu thuẫn) ...

Cho $x,y,z>0$ và $x^{2011}+y^{2011}+z^{2011}=3$. Tìm max $x+y+z$

Đặt $a=3^x;b=3^y;c=3^z$
$a,b,c>0$
Ta có $a,b,c>0$
$\frac{a^2}{a+bc}=\frac{a^3}{a^2+abc}$
Từ giả thiết suy ra $abc=ab+bc+ca$
Suy ra $\frac{a^2}{a+bc}=\frac{a^3}{(a+c)(a+b)}$
Ta có $\frac{a^3}{(a+c)(a+b)}+\frac{a+c}{8}+\frac{a+b}{8}\geq \frac{3a}{4}$
Tương tự rồi cộng các bdt ta có dpcm

Ê! Xem lại từ dòng ba đến dòng bốn. Hình như sai thì phải!!

Mình sửa rồi, cậu xem còn sai sót gì không.

Tìm x,y thỏa mãn : $x^{2}+xy+y^{2}=3(x+y-1)$

$x^{2}+xy+y^{2}=3(x+y-1)$
$\leftrightarrow x^2+x(y-3)+(y^2-3y+3)=0$
Có : $\Delta=(y-3)^2-4(y^2-3y+3)\geq 0$
$\leftrightarrow -3(y-1)^2\geq 0$
$\leftrightarrow (y-1)^2=0...$

$f(x,y,z)=(xy+\frac{x}{y})+(yz+\frac{y}{z})+(zx+\frac{z}{x})-x-y-z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 6$

Sửa lại xem sao, như thế này ạ?

Dễ thấy BT đạt GTLN khi $x+y\leq 4$, đạt GTNN khi $x+y\geq 4$.
GTLN:Áp dụng BĐT AM-GM, ta có $x^2y\left [ 4-(x+y) \right ]=4.\frac{x}{2}.\frac{x}{2}.y.\left [ 4-(x+y) \right ]\leq 4.\left [ \frac{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+y+4-(x+y)}{4} \right ]^4=4$.
GTNN:$-x^2y\left [ 4-(x+y) \right ]=x^2y\left [ x+y-4 \right ]=4.\frac{x}{2}.\frac{x}{2}.(x+y-4)\leq 4.(\frac{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+y+x+y-4}{4})^4=4.\left [ \frac{2(x+y)-4}{4} \right ]^4\leq 4.\left ( \frac{2.6-4}{4} \right )^4=64\Rightarrow x^2y\left [ 4-(x+y) \right ]\geq -64$
Vậy GTLN của BT là 4, đạt được khi x=2, y=1; GTNN của BT là -64, đạt được khi x=4, y=2

Cậu đoán dấu "=" rồi mới làm hay có cách nào vậy?

Cái này k cần dấu bằng đâu vì nó k thể làm đc!

???

Ta có: $4(a_{1}+1)(a_{1}-\frac{1}{2})^2\geq 0\Rightarrow 4a_{1}^3-3a_{1}+1\geq 0$. Làm tương tự với $a_{2}, ..., a_{n}$; ta suy ra $4\sum a_{1}^3-3\sum a_{1}+n\geq 0\Rightarrow 3\sum a_{1}\leq n\Rightarrow \sum a_{1}\leq \frac{n}{3}$

Dấu "=" xảy ra khi nào vậy ?

Cho $x,y\geq 0$ và $x+y\leq 6$. Tìm min, max $x^2y[4-(x+y)]$

Giả sử $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ là một số hữu tỷ.
nên $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ = b ( b là một số hữu tỷ).
$\sqrt{2}+\sqrt{3}=b-\sqrt{5}$
$5+2\sqrt{6}=b^2+5-2b\sqrt{5}$
$b^2=2\sqrt{6}+2b\sqrt{5}$
$b^4=24+20b^2+8b\sqrt{30}$.
$\sqrt{30}=\frac{b^4-20b^2-24}{8b}$, là một số hữu tỷ (vô lý vì $30$ không phải số CP )
Vậy ...

Như này ạ?