ta có $0=t^8-4t^4+1=(t^6+t^5-t^3-5t^2-4t+1)(t^2-t+1)+5t$

<=>$t^6+t^3-t^3-5t^2-4t+1=\frac{-5t}{t^2-t+1}$

=> P=$\frac{5t^2}{\frac{-5t}{t^2-t+1}}$=$-t^3+t^2-t$

$\left ( m^{2}+5 \right )x^{2}-2mx-6m=0$

a, Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. CMR: Khi đó, tống 2 nghiệm không thể là số nguyên.

b, Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn: $\left ( x_{1}x_{2}-\sqrt{x_{1}+x_{2}}\right )^{4}=16$(1)

câu a dễ dàng cm được m >0

câu b theo vi-et ta có 

(1) <=> $(\frac{-6m}{m^2+5}+\sqrt{\frac{2m}{m^2+5}})^4=16$(2)

đến đây chỉ cần đặt $\sqrt{\frac{2m}{m^2+5}}=a$

rồi hạ bậc của (2) sẽ được 1 pt bậc 2 rùi giải

Tìm hằng số $k$ lớn nhất để bất đẳng thức

$\frac{ka}{a^{2}+1}+\frac{5(a^{2}+1)}{2a}\geq \frac{10+k}{2}$ đúng với mọi số dương a

P/s:em xin lỗi vì có chỉnh lại đề ạ

ta có bdt <=>$k(\frac{a}{a^2+1}-\frac{1}{2})+5(\frac{a^2+1}{2a}-1)\geq 0$

<=>$k\frac{2a-a^2-1}{2(a^2+1)}+5\frac{a^2+1-2a}{2a}=(a-1)^2(\frac{5}{2a}-\frac{k}{2(a^2+1)})\geq 0$

<=>$\frac{(a-1)^2}{2a(a^2+1)}(5a^2-ak+5)\geq 0$

ycbt <=> $(5a^2-ak+5)\geq 0$ (1)với $\forall a>0$

ta có 2 th TH1 (1)>0 với $\forall a\epsilon \mathbb{R}$ 

<=>$\Delta \leq 0$<=>$-10\leq $k$\leq 10$(*)

TH2(1) có 2 nghiệm $a_{1};a_{2}\leq 0$

$\left\{\begin{matrix} \Delta > 0\\ a_1+a_2<0 \\ a_1a_2\geq 0 \end{matrix}\right.$

<=>k<-10(**)

khi đó hiển nhiên a nằm ngoài khoảng 2 nghiệm nên (1)>0

từ (*)và (**) => k max = 10

Giải phương trình nghiệm nguyên $x^{y}+x^{z}+x^{t}=x^{2005}$(1)

không mất tính tổng quát ta giả sử $y\geq z\geq t$

(1)<=>$x^t(x^{y-t}+x^{z-t}+1)=x^{2015}$(2)

ta có 3 th

TH1 y=z=t

ta có (2)<=>$3x^t=x^{2015}$

                <=>$\left\{\begin{matrix} x=3\\ y=z=t=2014 \end{matrix}\right.$

TH2 y>z=t

khi đó ta có$x^t(x^{y-t}+2)=x^{2015}$=>$2\vdots x$

<=>x$\epsilon (1;-1;2;-2)$

*với x=1 ta có (2)<=>1(1+2)=1 loại

*với x=-1 ta có (2)<=>$(-1)^t((-1)^{y-t}+2)=-1$

do$(-1)^{y-t}+2>0$ nên $(-1)^t$<0 => t=2k+1($k\epsilon \mathbb{Z}$)

=>$(-1)^{y-t}+2=1\Leftrightarrow (-1)^{y-t}=-1$

<=>y-t lẻ => y chẵn hay y có dạng 2p($p\epsilon \mathbb{Z}$)

*với x=2 ta có (2)<=>$2^t(2^{y-t}+2)=2^{2015}<=>2^{t+1}(2^{y-t-1}+1)=2^{2015}$

<=>$\left\{\begin{matrix} y-t-1=0\\2^{t+2}=2^{2015} \end{matrix}\right.$<=>$\left\{\begin{matrix} t=z=2013\\ y=2014 \end{matrix}\right.$

*với x=-2 (2)<=>$(-2)^t((-2)^{y-z}+2)=(-2)^{2015}$

<=>$(-2)^{t+1}((-2)^{y-t-1}-1)$

loại vì $(-2)^{y-t-1}-1$luôn là số lẻ khác 1;-1

TH3y>z>t

=>x là ước  của 1

*x=1 (2)<=>3=1 loại

*x=-1 (2)<=>$(-1)^t((-1)^{y-t}+(-1)^{z-t}+1)=-1$

=> nếu t lẻ thì y chẵn;z lẻ hoặc ngược lại

nếu t chẵn thì y;z lẻ

KL vậy x=3 khi y=t=z=2014

          x=2 khi (y;z;t)=(2014;2013;2013)và hoán vị

                x=-1 khi 2 trong 3 số y,z,t chẵn ,số còn lại là số lẻ

Tham số a đâu nhất thiết phải nguyên, trong bài này mình tính được 0<a<1 thì tồn lại các giá trị của a để pt có nghiệm nguyên dương. Mình nghĩ bài này nên sử dụng đạo hàm nhưng mình chưa ra....

Chứng minh phương trình $2014^{x}+ax=2013$ có nghiệm với mọi số nguyên dương a

 

Chú ý: Cách gõ công thức Toán.

            Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

nếu như vậy thì luôn có nghiệm rùi vì chỉ với a=0 mới vô nghiệm

Chứng minh phương trình $ax+2014^{a}=2013$ có nghiệm nguyên dương với mọi a là tham số

 

Chú ý: Cách gõ công thức Toán.

            Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

đề sai thì có

xét a=0 hiển nhiên vô nghiệm

xét $a\neq 0$

=>x=$\frac{2013-2014^a}{a}$\

nếu a chẵn thì tử lẻ mẫu chẵn

a<0 thĩ làm gì dương...

Tính 

 $cos\frac{\Pi }{2015}.cos\frac{2\Pi }{2015}.cos\frac{3\Pi }{2015}....cos\Pi$

ta luôn có cos(a)=-cos($\pi$-a)

=> A=-$(cos(\frac{\pi}{2015})........cos(\frac{1007\pi}{2015}))^2.cos(\pi)$

mặt khác ta có

$cos(\frac{\pi}{2015}).cos(\frac{2013\pi}{4030})=\frac{1}{2}(cos(\frac{\pi}{2})+cos(\frac{2011\pi}{4030}))=\frac{1}{2}cos(\frac{2011\pi}{4030})$

tương tự ta có

$cos(\frac{2\pi}{2015})cos(\frac{2011\pi}{4030})=\frac{1}{2}cos(\frac{2009\pi}{4030})$

.

.

.

$cos(\frac{1007\pi}{2015})cos(\frac{\pi}{4030})=\frac{1}{2}cos(\frac{2013\pi}{4030})$

nhân vế theo vế rồi rút gọn ta được A=$\frac{-1}{2^{2014}}.cos(\pi)$=$\frac{1}{2^{2014}}$

$sin\frac{\pi}{2015}A=sin\frac{\pi}{2015}.cos\frac{\pi}{2015}.cos\frac{2\pi}{2015}...cos\pi=\left ( \frac{1}{2} \right )^{2015}.cos2\pi\\ \Rightarrow A=\left ( \frac{1}{2} \right )^{2015}\dfrac{cos2\pi}{sin\dfrac{\pi}{2015}}=\frac{1}{2^{2015}}.\frac{1}{sin\frac{\pi}{2015}}$

 

bạn nhầm rồi  đâu có ct nhân đôi như vậy

V&agrave;o l&uacute;c 02 Th&aacute;ng 5 2015 - 14:34, HatNangNgoaiThem đ&atilde; n&oacute;i:

T&igrave;m GTLN của biểu thức: P=$\left ( 4x-x^{2} \right )\left ( y-3y^{2} \right ) với 0\leq x\leq 4; 0\leq y\leq \frac{1}{3}$

P=$x(4-x)y(z-3y)\leq \frac{1}{48}(x+4-x)^2(3y+1-3y)^2=\frac{1}{3}$
do 4-x;1-3y$\geq$0 do gt
dấu = xảy ra <=> x=2;y=1/6

Để sai thì phải...bạn xem lại đề đi. 

$Max \sum \sqrt{2a^2+2a+9}=4\sqrt{13}$ 

bạn ơi cái này là cm bdt mà nếu có sai đề thì $4\sqrt{13}<16$ nên bdt đúng chỉ có ko xảy ra dấu = thôi bạn

ban anh1999 cho minh hỏi k chẵn s lại có dạng 3k, 3k+1, 3k+2

 

 

bạn hiểu nhầm rồi mình cm k chẵn là để cm k chia hết cho 2 thôi

còn xét k có dạng 3a;3a+1;3a+2 là xét các th của k cho 3 thôi loại trừ ra thì sẽ có k chia hết cho 3=> k chia hết cho 6

 mình đọc trên mạng thấy một số nguyên tố lớn hơn 3 thường có dạng 6n+1 hoặc 6n+5

còn dạng của nó thế nào là tùy người cm thôi bạn

vd như 2 th của bạn là xét th số nguyên tố đó chia cho 6 thôi mà 

loại các th 6k;6k+2;6k+4;6k+3 là hợp số thì còn lại 6k+1 vs 6k+5 thôi 

Bài 29: Tìm số $\overline{abc}$ thoả mãn $4c.(a+b)^{2}=\overline{abc}$(1)

ta có (1) <=>$c(4(a+b)^2-1)=\overline{ab0}$

xét thấy $\overline{ab0}$$\vdots$ 10

mà $4(a+b)^2-1$ là số lẻ nên $4(a+b)^2-1\vdots5$ và c$\vdots$2

 $4(a+b)^2-1\vdots5$=> 4(a+b)^2-1 tận cùng là 5 => (a+b)^2 tận cùng là 4 hay a+b tận cùng là 2

do $0\leq a,b\leq 9$nên a+b chỉ có thể là 2 hoặc 12

+ với a+b=2 

=> $c(4(a+b)^2-1)=\overline{ab0}$

<=> 15c=90a+10(a+b)=90a+20

loại vì 15c và 90a chia hết cho 3 còn 20 thì không

+voi a+b=12

=> 575c=90a+120

=> c chia hết cho 3 

mặt khác c chia hết cho 2 => c=6 

=>a=37 loại 

vậy ko tồn tại so tm ycbt

$A = {1 ; 4 ; 7 ; 10 ; 13 ; 14 ; 19}$

Tính chất: mỗi số hạng cách nhau $3$ đơn vị $(4 - 1 = 3)$

$B = {1 ; 8 ; 27 ; 64 ; 125}$

tính chất : lập phương của các số tự nhiên từ $ 1 \mapsto 5 $

$C = {2 ; 6 ; 12 ; 20 ; 30 ; 42}$

mình ko biết !

C quy luật không phải là n(n+1) ak

$k=1 \Rightarrow n=3$ chứ ????

ukm lúc trưa bận ăn cơm nên viết lộn đã sửa rùi         

tìm $n$ nguyên dương sao cho $\left [ \frac{n^3+8n^2+1}{3n} \right ]$ là số nguyên tố

Spoiler

$\left [ a \right ]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $a$

 

U-Th

đặt P=...

+xét n=3k$k\epsilon N$

ta có .$P\doteq \left [ 3k^2+8k+\frac{1}{9k} \right ]=3k^2+8k$

để P là snt =>k=1=>n=3

+xét n= 3k+1$(k\epsilon \mathbb{N})$$P=\left [ (3k+1)(k+1)+\frac{1}{3(3k+1)} \right ]=(3k+1)(k+1)$

P là snt <=>k=0=>n=1

+xét n=3k+2$(k\epsilon \mathbb{N})$

$P=\left [ 3k^2+12k+6 +\frac{2}{3}+\frac{1}{9k+6} \right ]= 3k^2+12k+6$ (do $\frac{2}{3}+\frac{1}{9k+6}\leq \frac{2}{3}+\frac{1}{6}<1$)

loại vì P $\vdots$3

tìm $n$ nguyên dương sao cho $\left [ \frac{n^3+8n^2+1}{n} \right ]$ là số nguyên tố

Spoiler

$\left [ a \right ]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $a$

d

đề<=>P=$\left [ n^2+8n+\frac{1}{n} \right ]$

do n nguyên dương nên n$\geq 1$hay $\frac{1}{n}\leq 1$

th1 n=1 thử trực tiếp được P=10 (loại)

th2 n>1=>P=n^2+8n luôn chia hết cho n vậy không tồn tại n thỏa mãn

tại sao $k\vdots 3=>k\vdots 6$

kết hợp vs k$\vdots$2 ở trên nữa kìa mà (3;2)=1 nên k$\vdots$2.3=6

Giải phương trình : 

$\sqrt[3]{x^{2}+4}=\sqrt{x-1}+2x-3$

dk x$\geq 1$

ta có

pt <=>$(\sqrt{x-1}-1)+(x-2)+(x-\sqrt[3]{x^2+4})=0$

<=>$\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}+(x-2)+\frac{(x-2)(x^2+x+2)}{\sqrt[3]{(x^2+4)^2}+x\sqrt[3]{x^2+4}+x^2}$=0

<=>$(x-2)(\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}+1+\frac{x^2+x+2}{\sqrt[3]{(x^2+4)^2}+x\sqrt[3]{x^2+4}+x^2})=0$

<=>x=2 (vì $\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}+1+\frac{x^2+x+2}{\sqrt[3]{(x^2+4)^2}+x\sqrt[3]{x^2+4}+x^2}> 0$ với $\forall x\geq 1$

tại sao có k là số chẵn vậy bạn và tại sao k có dạng 3p+1;3p+2 hoặc 3p 

vì nếu k lẻ thì a+k chẵn nên chia hết cho 2 ko phải là snt

còn k có dạng như vậy là do xét các th của k khi chia cho 3 thui

Giải phương trình : 

$\sqrt{2x^{2}-x+3}+x^{2}-x=\sqrt{21x-17}$

 dk $x\geq \frac{17}{21}$

ta có 

pt<=>$\sqrt{2x^2-x+3}-\sqrt{21x-17}+x^2-x=0$

<=>$\frac{(x-1)(2x-20)}{\sqrt{2x^2-x+3}+\sqrt{21x-17}}-x(x-1)$=0

<=>$(x-1)(\frac{x(\sqrt{2x^2-x+3}-3)+x(\sqrt{21x-17}-5)+10(x-2)}{\sqrt{2x^2-x+3}+\sqrt{21x-17}})=0$

<=>$(x-1)(x-2)(\frac{\frac{2x^2+3x}{\sqrt{2x^2-x+3}+3}+\frac{21x}{\sqrt{21x-17}+5}+10}{\sqrt{2x^2-x+3}+\sqrt{21x-17}})=0$

<=>x=1 hoặc x=2 

Chứng minh rằng nếu ba số $a,a+k$ và $a+2k$ đồng thời là ba số nguyên tố phân biệt lớn hơn $3$ thì $k\vdots 6$

từ bài toán => k là số chẵn => k$\vdots$2

mặt khác do a> 3 nên a có dạng 3x+1 hoặc 3x+2

k có dạng 3p+1;3p+2 hoặc 3p (x,k$\epsilon$ N*)

th1:k=3p+1

nếu a=3x+1 thì a+2k $\vdots$ 3

nếu a=3x+2 thì a+k $\vdots$ 3

=> k=3p+1 không tm ycbt

tương tự ta dc k=3p

hay k $\vdots$ 3

=>dpcm

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq \sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}+\sqrt{b^{2}-bc+c^{2}}+\sqrt{c^{2}-ca+a^{2}}$

 

ta có $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c

=>$2(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})\geq \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+a+b+c$

=$(\frac{a^2-ab+b^2}{b}+b)+(\frac{b^2-bc+c^2}{c}+c)+(\frac{c^2-ac+a^2}{a}+a)\geq 2*VP$

ta câng CM a.CosB+b.CosA=c (*)

thật vậy ta có VT*=$\frac{a^2+c^2-b^2}{2c}+\frac{b^2 +c^2-a^2}{2c}=c$

tương tự ta có a.CosC+c.CosA=b

                       b.Cos C+c.Cosb=a 

cộng vế theo vế => dpcm

cho n điểm A1,A2,...An và véc tơ a cố định tìm pt đường thẳng sao cho tổng bình phương khỏng cách từ Ai đến nó là nhỏ nhất

Xác định số nguyên dương n sao cho: $\left [ \sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{n} \right ]=n$

với n = 1 hiển nhiên đúng 

với n>1 ta có $[\sqrt{1}+\sqrt{2}+....+\sqrt{n}]>[1+1+..+1]=n$ vô lý 

=>>.

cho tam giác ABC và đường tròn nội tiếp I tiếp xúc với AB;AC;BC lần lượt tại E,F,D  DI cắt EF tại N chứng minh AN đi qua trung điểm của BC