cho pt $4mx^{2}-(2m+1)^{2}x+4m^{2}+1(1)$

a, gpt khi m=1

b, tìm m để pt(1) có 2 nghiệm đều <1

ta ta có 

$a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}$

=>$\left\{\begin{matrix} a^{100}(a-1)+b^{100}(b-1)=0(1)\\a^{101}(a-1)+b^{101}(b-1)=0(2) \end{matrix}\right.$

=>$b^{100}(b-1)^2+a^{100}(a-1)^2=0$

=> a=b=0 hoặc a=b=1

=> A=0;A=2 hoặc A=1

p/s mình nghĩ nếu thêm đk a,b$\neq$0 thì đúng hơn nó sẽ cho a=2 chứ ko phải 3 kết quả

Bạn có thể giải thích hộ mình tại sao lại ra được dòng (1)

Chỗ (2) thiếu $a=0,b=1$ và $a=1,b=0$ nhé

câu 1 lấy (2) trừ cho (1) là được

câu 2 đã fix

 

Cho $a^{100}+b^{100}=b^{101}+a^{101}=a^{102}+b^{102}$ 

Tính $A=a^{2014}+b^{2015}$

 

ta ta có 

$a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}$

=>$\left\{\begin{matrix} a^{100}(a-1)+b^{100}(b-1)=0\\a^{101}(a-1)+b^{101}(b-1)=0 \end{matrix}\right.$

=>$b^{100}(b-1)^2+a^{100}(a-1)^2=0$

=> a=b=0 hoặc a=b=1hoặc a=1;b=0 hoac a=0;b=1

=> A=0;A=2 hoặc A=1

p/s mình nghĩ nếu thêm đk a,b$\neq$0 thì đúng hơn nó sẽ cho a=2 chứ ko phải 3 kết quả

x=105 y=2940

biến đổi $y=\sqrt{8x^{3}+x^{2}}-x$                             quy trình A=A+1:B=$\sqrt{8A^{3}+A^{2}}-A$ CALC 100===

Đề là gì đây b????

hình như phân tích đa thức thành nhân tử thì phải

Cho tớ hỏi ở bước 2 $cos^3x=1-sin^23x$ có nhầm lẫn gì không?, tớ nghĩ nên sửa lại là $cos^23x=1-sin^23x$

 

sr mình nhầm tý hàng đầu tiên phải là $3sin2xcos^23x$

P/s :sao ko sửa được bài vậy nek

Giải phương trình sau:$3tan2x-4tan3x=tan^{2}3x.tan2x$(1)

Dk bạn tự giải nha

(1)<=>$3sin2x.cos^3x-4sin3x.cos3x.cos2x=sin^23x.sin2x$

<=>$3sin2x(1-sin^23x)-4sin3x.cos3x.cos2x=sin^23x.sin2x$

<=>$3sin2x=4sin3x(cos3x.cos2x+sin3x.sin2x)$

<=>$3sin2x=4sin3x.cos(3x-2x)$

<=>$6sinx.cosx=4sin3x.cosx$

<=>2cosx(3sinx-2sin3x)=0

đến đây thì dễ rồi

ta có <=>$xy=z^2-2017^{2017}$

chọn x=1 thì với pt trở thành $y=z^2-2017^{2017}$

có vô số nghiệm 

ai có thể giúp mình hiểu hơn về logarit được không? mình không hiểu lắm về cái này 

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn : $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$ . Tìm max của biểu thức :

 

$Q= a^{2}(b-c)+b^{2}(c-b)+c^{2}(1-c)$

có sai đề không ta

Bài toán: Cho $a,b,c$ thực dương chứng minh các bất đẳng thức sau.

 

 

$3.a^3+b^3+c^3\geq 2abc+\frac{a^2+b^2+c^2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$

 

Spoiler

Mấy bài AM-GM kinh điển.  

ta có BDT <=>$a^3+b^3+c^3\geq 2abc+\frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}{9}$

<=> $9a^3+9b^3+9c^3\geq 18abc+(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$

mặt khác ta có

$6(a^3+b^3+c^3)\geq18abc$(1)

và $\left\{\begin{matrix} a^3+b^3\geq ab^2+a^2b\\b^3+c^3\geq b^2c+bc^2 \\ a^3+c^3\geq ac^2+a^2c \end{matrix}\right.$

=> $2(a^3+b^3+c^3)\geq ab^2+cb^2+ac^2+bc^2+ba^2+ca^2$

=> $3(a^3+b^3+c^3)\geq a^3+b^3+c^3+ab^2+cb^2+ac^2+bc^2+ba^2+ca^2=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$(2)

(1)(2)=>

dpcm

Giải pt:

$$\sqrt{\frac{8(2+\sqrt{5})}{2x+1}}+1=3\sqrt{4}-8x$$

Không biết đề có sai không nữa

chắc đề sai rồi 

ko thì làm thế này 

dk...

Pt<=>$\sqrt{\frac{8(2+\sqrt{5})}{2x+1}}+4(2x+1)=9$

mặt khác ta có 

$\sqrt{\frac{8(2+\sqrt{5})}{2x+1}}+4(2x+1)=\frac{\sqrt{8(2+\sqrt{5})}}{2\sqrt{2x+1}}+\frac{\sqrt{8(2+\sqrt{5})}}{2\sqrt{2x+1}}+4(2x+1)$

$\geq 3\sqrt[3]{8(2+\sqrt{5})}>9$

đặt a=$\sqrt{\frac{5+2\sqrt{6}}{5-\sqrt{6}}}$ và b=$\sqrt{\frac{5-2\sqrt{6}}{5+\sqrt{6}}}$                                                                                                                                                                             => a+b=$\frac{74}{19}$                                                                                                                                                                                                                                                               ab=$\frac{1}{19}$                                                                                                                                                                                                                                         => $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}=a+b+2\sqrt{ab}=\frac{74}{19}+2\sqrt{\frac{1}{19}}$

Giải HPT:

 

1. $\left\{\begin{matrix} {x^2} + {y^2} + x - y = 4\\ x\left( {x - y + 1} \right) + y\left( {y - 1} \right) = 2 \end{matrix}\right.$

 

 

ta có 

$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+x-y=4(1)\\ x(x-y+1)+y(y-1)=2(2) \end{matrix}\right.$

<=>$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+x-y=4\\ (x^2+y^2+x-y)-xy=2 \end{matrix}\right.$

<=> xy=2(3)

từ (1)và (3) => $(x-y)^2+x-y=0$

<=> (x-y)(x-y+1)=0

thay vào (3) tìm x;y là đc

Tính các góc trong tam giác biết $\left\{\begin{matrix} b^{2}+c^{2}\leq a^{2}\\ SinA+SinB+SinC=1+\sqrt{2} \end{matrix}\right.$

theo ta có $b^2+c^2\leq a^2\Leftrightarrow sin^2B+sin^2C\leq sin^2A$

mặt khác ta có $1+\sqrt{2}=sinA+sinB+sinC\leq sinA+\sqrt{2(sin^2B+sin^2C)}\leq sinA+\sqrt{2sin^2A}=(1+\sqrt{2})sinA$

$\Leftrightarrow sinA\geq 1$

<=> sinA=1<=> A=90

B=C=45

 

Giải hệ phương trình:  

$\left\{\begin{matrix}3y\sqrt{x^{3}+4x}=x^{2}y+8xy^2+1\\(\sqrt{x^2+1}-4x^{2}y+x)(\sqrt{4y^{2}+1}+1)=8x^{2}y^{3} \end{matrix}\right.$

 

nhận thấy x=0 or y=0 ko là nghiệm của hệ 

xét $\left\{\begin{matrix} x\neq 0\\y\neq 0 \end{matrix}\right.$

ta có 

$(\sqrt{x^2+1}-4x^2y+x)(\sqrt{4y^2+1}+1)=8x^2y^3$

<=>$\frac{4y^2(\sqrt{x^2+1}-4x^2y+x)}{\sqrt{4y^2+1}-1}=8x^2y^3$

<=>$\sqrt{x^2+1}-4x^2y+x=2x^2y(\sqrt{4y^2+1}-1)$

<=>$\sqrt{x^2+1}+x=2x^2y(\sqrt{4y^2+1}+1)$

<=>$\frac{1}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{x}=2y\sqrt{(2y)^2+1}+2y$(*)

xét $f(t)=t\sqrt{t^2+1}+t$ trên R ta có

$f'(t)=\sqrt{t^2+1}+\frac{t^2}{\sqrt{t^2+1}}+1>0$

=> f(t) đồng biến trên R

từ (*) => $\frac{1}{x}=2y$

thế vào pt trên

Sao viết được vậy ạ,nó đâu phải giá trị tuyệt đối đâu ?

đó là độ dài vec-to mà ai bao gttd

Cho tam giác ABC cố định .Tìm quỹ tích M thỏa mãn

                                 $\left | \vec{MA}+2\vec{MB}+3\vec{MC} \right |=12$

mình làm ko píc có đúng ko mong các bạn góp ý

trong hệ trục tọa độ Oxy lấy A(a;0) ;B(0;b) ;C(0;c) (a,b,c cố định)

lấy M(x;y)

ta có $\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{MA}=(a-x;-y)\\2\overrightarrow{MB}=(-2x;2b-2y) \\3\overrightarrow{MC}= (-3x;-3c-3y) \end{matrix}\right.$

ycbt viết lại thành $|(a-6x;2b+3c-6y)|=12<=>(a-6x)^2+(2b+3c-6y)^2=144$

<=>$(x-\frac{a}{6})^2+(y-\frac{2b+3c}{6})^2=4$

vậy quỹ tích điểm M cần tìm là đường tròn tâm I$(\frac{a}{6};\frac{2b+3c}{6})$ bán kính r=2

Giải phương trình: $\left ( x+3 \right )\sqrt{\left ( 4-x \right )\left ( 12+x \right )}=28-x$

dk $-12\leq x\leq 4$

đặt x+3=a

     $\sqrt{(4-x)(12+x)}=b$(b$\geq$0)

pt trở thành $ab=\frac{a^2+b^2-1}{2}$

<=> $(a-b)^2=1$

<=>hoặc a-b=1 hoặc a-b=-1

đến đây xin nhường cho các bạn giải típ

 

$\frac{{4\sqrt x }}{{3x - 3\sqrt x  + 3}} = \frac{8}{9}$. Đặt $\sqrt x  = t$ ĐK $\left( {t \geqslant 0} \right)$.

 

PT $\Leftrightarrow \frac{{4t}}{{3{t^2} - 3t + 3}} = \frac{8}{9} \Leftrightarrow 2{t^2} - 5t + 2 = 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=\frac{1}{2}\\ t=2 \end{bmatrix}$ (Thỏa mãn)

 

$\mapsto \begin{bmatrix} x=\frac{1}{4}\\ x=4 \end{bmatrix}$

 

hihi đoạn đó viết nhanh nên nhầm dấu nên không ra nghiệm .mình xin lỗi               

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$\left ( x+y+z \right )\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}-3 \right )\geq \left ( x+y+z \right )\left ( \frac{x+y}{y+z}+\frac{y+z}{x+y}-2 \right )$

$\Leftrightarrow \sum \frac{x^{2}}{y}+\sum \frac{xy}{z}-2(x+y+z)\geq \frac{(x+y+z)(x-z)^{2}}{(x+y)(y+z)}$

Ta có: 

$\sum \frac{x^{2}}{y}-(x+y+z)=\sum \frac{(x-y)^{2}}{y}$

Và  $\sum \frac{xy}{z}-(x+y+z)=\frac{\sum x^{2}(y-z)^{2}}{2xyz}\geq 0$

Bài toán quy về chứng minh:

$\sum \frac{(x-y)^{2}}{y}\geq \frac{(x+y+z)(x-z)^{2}}{(x+y)(y+z)}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:

$\sum \frac{(x-y)^{2}}{y}\geq \left ( x-z \right )^{2}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y+z} \right )$

Việc cuối cùng ta duy nhất chỉ cần chứng minh:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y+z}\geq \frac{x+y+z}{(x+y)(y+z)}$

$\Leftrightarrow \frac{y(x+y+z)}{x(x+y)(y+z)}\geq 0$

Dấu ''='' xảy ra khi x = y = z.

$\square$

chỗ này dấu bằng đâu xảy ra tại x=y=z

Cho $a,b,c\geq 0$

Tìm min:$P=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\frac{abc}{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}$

nhận thấy ko có th cả 2 trong 3 số =0 hoặc cả 2 đều =0 

xét 1 trong 3 số=0 giả sử c=0

ta có P=$\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}\geq 2$

dấu = xảy ra khi a=b , c=0 và các hoán vị

th2 $a,b,c\neq 0$

ta có P$>\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}$

$=\frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}+\frac{b}{\sqrt{b(c+a)}}+\frac{c}{\sqrt{c(a+b)}}\geq \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=2$

dấu = ko xảy ra nên trong th này P>2

=> min P=2 <=> a=b, c=0 và các hoán vị

ta có $\sum \frac{a^{3}}{a+bc}+\sum \frac{a+bc}{4a}\geq a+b+c=3$

mặt khác $\sum \frac{a+bc}{4a}=\frac{3}{4}+\frac{bc}{4a}+\frac{ac}{4b}+\frac{ab}{4c}\geq \frac{3}{2}$ 

=> DPCM

P/S: cách này hình như ngược dấu ai có thể sửa giùm được ko???????????????

 

Gợi ý:

ĐK: $x\geq 1$

$BPT\Leftrightarrow \frac{6x^2(\sqrt{2x+1}-1)^2}{4x^2}\geq 2x+\sqrt{x-1}+1$

 

$\Leftrightarrow 3(\sqrt{2x+1}-1)^2\geq 4x+2\sqrt{x-1}+2$

$\Leftrightarrow x+2\geq 3\sqrt{2x+1}+\sqrt{x-1}$

Đặt $\sqrt{2x+1}=a$; $\sqrt{x-1}=b$ với $a>0;b\geq 0$
$BPT\Leftrightarrow a^2-b^2\geq 3a+b$

$\Leftrightarrow a(a-3)-b(b+1)\geq 0$

 

đề là $>$không phải $\geq$