Tìm tất cả các số nguyên tố $a,b$ sao cho $7a+b$ và $ab+11$ cũng là số nguyên tố

Cho $x+y+z=6$ ; $x;y;z>0$ chứng minh $8^x+8^y+8^z$ $\geq$ $4^{x+1}+4^{1+y}+4^{z+1}$

MOD.Chú ý tiêu đề.

Cho tam giác $ABC$ nhọn có $\widehat{A}$>$\widehat{B}$>$\widehat{C}$. $O$ nằm trong tam giác. Gọi $D,E,F$ là giao điểm của $AO,BO,CO$ với cạnh đối diện. CMR:$OD+OE+OF<BC$.

Cho $a^2+b^2+c^2=1$ ($a;b;c>0$)  . 
C/m $P=\frac{a^2}{b^2+c^2}$+$\frac{b^2}{a^2+c^2}$+$\frac{c^2}{a^2+b^2}$ $\geq$ $3$.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Cho $x+y+z \leq 1$ . Tìm GTNN của $M$=$\sqrt{x+\frac{1}{x^2}}$+$\sqrt{y+\frac{1}{y^2}}$+$\sqrt{z+\frac{1}{z^2}}$ ( $x;y;z$>$0$)

Cho $a.b.c$=1. C/m $\frac{1}{\sqrt{8a+1}}+\frac{1}{\sqrt{8b+1}}+\frac{1}{\sqrt{8c+1}}$ $\geq$ $1$

MOD.Chú ý tiêu đề

Giả sử $a;b;c$ là các số thực dương thoả mãn 
$a \leq b \leq 3 \leq c$ ; $c \geq b+1$; $a+b \geq c$. Tìm giá trị nhỏ nhất của. 
$Q=\frac{2.a.b+a+b+c.(a.b-1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}$

Giải phương trình nghiệm nguyên $4.x.y-x-y=z^2$     

http://diendantoanho...inh-m-vdots-20/ Đây nè 

Đề thiếu chứ nhỉ ?...................................................................................

1) So sánh  $P$=$\frac{3}{2}+\frac{7}{4}+\frac{11}{8}+...+\frac{4.n-1}{2^n}$ và $7$ 
2) Tìm a;b thuộc $N*$ sao cho $\frac{a+b}{a^2+b^2}$=$\frac{7}{25}$ và ƯCLN(a;b)=$1$

Cho $\triangle{ABC}$ vuông tại A kẻ AH $\perp$ BC và $HB-HC=AC$
a) Chứng minh $AB>AC$
b) Chứng minh $BC=AC.2$
c) Lấy $D$ sao cho $AB$ là trung trực của $DH$;$E$ sao cho $AC$ là trung trực của $HE$ tính $\widehat{DAE}$ và c/m $A$ là trung điểm của $DE$

Cho $\triangle{ABC}$ vuông tại A kẻ $AH$ $\perp$ $BC$ và $HB-HC$=$AC$
a) Chứng minh $AB>AC$
b) Chứng minh $BC$=$AC.2$
c) Lấy $D$ sao cho $AB$ là trung trực của $DH$; $E$ sao cho $AC$ là trung trực của $HE$ tính $\widehat{DAE}$ và c/m $A$ là trung điểm của $DE$

Xét x<0 khi đó 
2013=4-x+(-x)-10+101-x+999-x+100-x=1194-3.x <=> x=-273 
0<x<10 
2013=x+4+10-x+x+101+999+x+x+100=3.x+1214 <=> x không phù hợp 
x>10 => 2013=x.5+1194 <=> x không phù hợp 
Vậy x=-273

Giải phương trình:

$$\sqrt{x^2+x-6}+3\sqrt{x-1}=\sqrt{3x^2-6x+19}$$

Đề của 

vuminhhoang

Đến đây dễ dàng làm tiếp

Cho a;b>0 
Tìm Min P=$\frac{a^3}{a^6+b^3+a^3}$+$\frac{(a.b)^3}{b^6+a^3+a^{3}.b^2}$+$\frac{b^3}{(a.b)^3+b^3+1}$

Cho a;b>0 
Tìm Min P=$\frac{a^3}{a^6+b^3+a^3}$+$\frac{a^{3}.b^{3}}{b^6+a^3+a^3.b^{2}}$+$\frac{b^3}{a^3.b^{3}+b^{3}+1}$

P/s:Trang Luong: Lần sau chú ý đặt tiêu đề

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

Đề thi của l4lzTeoz

Cách 2:    ĐK: $x\ge 1$, bình phương 2 vế :

$$(2x^{2}+5x-1)^2=(7\sqrt{x^{3}-1})^2 \\ \iff 4x^4-29x^3+21x^2-10x+50=0 \\ \iff (x^2-8x+10)(4x^2+3x+5)=0 \\  \implies x=4\pm \sqrt{6}$$

Mở rộng:  Giải phương trình: $a. A(x)+b.B(x)=c.\sqrt{A(x).B(x)}$ với $a,b,c\in \mathbb{R}; \ A(x), \ B(x)$ là các đa thức.

Giải: Đặt $\begin{cases}\sqrt{A(x)}=m\ge 0\\\sqrt{B(x)}=n\ge 0\end{cases}$. Phương trình có dạng:

$$am^2+bn^2=cmn \ \ (*)$$

Nhận thấy $n=0$ không là nghiệm của phương trình , chia cả 2 vế phương trình $(*)$ cho $n^2\neq 0$ ta được:

$$a.\dfrac{m^2}{n^2}-c.\dfrac{m}{n}+b=0\iff at^2-ct+b=0\left(t=\dfrac{m}{n}\right) \implies t=\dfrac{c\pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$

Tìm được $t$ thay vào tìm tỉ số $m,n$ rồi tìm ra x. 

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

Đề thi của l4lzTeoz

ĐK: $x\geq 1$
Phương trình đã cho tương đương với: $$2(x^{2}+x+1)+3(x-1)=7\sqrt{(x-1)(x^{2}+x+1)}$$
Đặt $u=\sqrt{x^{2}+x+1},v=\sqrt{x-1}; \ u,v\ge 0 $ suy ra:

$$2u^{2}+3v^{2}=7uv \iff  (u-3v)(2u-v)=0 \\ \iff \begin{bmatrix} u=3v \\ 2u=v \end{bmatrix}  \iff \begin{bmatrix} \sqrt{x^2+x+1}=3\sqrt{x-1} \\ 2\sqrt{x^2+x+1}=\sqrt{x-1} \end{bmatrix} \\ \iff \begin{bmatrix} x^2-8x+10=0 \\ 4x^2+3x+5=0 (VN)\end{bmatrix} \iff \begin{bmatrix} x=4- \sqrt{6} \\ x=4+ \sqrt{6} \end{bmatrix}$$

Vậy Tập nghiệm của phương trình là: $S=\{ 4 \pm \sqrt{6} \}$

Cho các số tự nhiên thoã mãn hệ thức $2.x^2$+$x$=$3.y^2$+y 
Chứng minh rằng $2.x+2.y+1$;$x-y$;$3.x+3.y+1$ là các số chính phương.

6) P(x) có bậc là 15+a.3+3 
Mà muốn P(x) có bậc là 36 
Suy ra 18+a.3=36 chỉ khi a=6

5) Vì 7 là số nguyên tố nên muốn $\frac{7}{n+3}$ rút gọn được thì n+3=7 hay n=4

3) Đối với mọi x$\geq$1 thì VT  lẻ VP chẵn suy ra VT # VP 
Suy ra x=0 
4) VT=$4^n$.81 
VP=$9^n$.16 
Mà VT=VP suy ra $\frac{4^n}{9^n}$=$\frac{16}{81}$ . Vậy n=2

1) (-2)....$(-2)^x$=$2^{1+2+..+x}$=$2^36$ 
Suy ra 1+2+...+x=$\frac{x.(x+1)}{2}$=36 
Suy ra x.(x+1)=72 chỉ khi x=8