Xem tại đây : http://diendan.hocma...295#post2337295

Cho $a,b$ là các số thực thoả mãn $a+b\neq 0$

Chứng minh rằng: $a^2+b^2+\left(\frac{ab+1}{a+b}\right)^2\ge 2$

Cho $p;q$ là các số thực thây đổi, thoả mãn $p+q\ge 1$ và $p>0$.

Tìm GTNN của $C=\frac{8p^2+q}{4p}+q^2$

Cho $am^{3}=bn^{3}=cp^{3}$ và $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}=1$. Chứng minh rằng:

$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=\sqrt[3]{am^{2}+bn^{2}+cp^{2}}$

Đặt $am^{3}=bn^{3}=cp^{3}=k^3$ thì $a=\frac{k^3}{m^3} \ , \ b=\frac{k^3}{n^3} \ , \ c=\frac{k^3}{p^3}$

Ta có: $\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=\frac{k}{m}+\frac{k}{n}+\frac{k}{p}=k\left ( \frac{1}{m} +\frac{1}{n}+\frac{1}{p}\right )=k$

Mặt khác: $\sqrt[3]{am^2+bn^2+cp^2}=\sqrt[3]{\frac{am^3}{m}+\frac{bn^3}{n}+\frac{cp^3}{p}}=\sqrt[3]{\frac{k^3}{m}+\frac{k^3}{n}+\frac{k^3}{p}}=\sqrt[3]{k^3\left ( \frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p} \right )}=k$

Xem tại: http://k2pi.net/show...-15x-3-45x-27-0

http://diendantoanho...x5-15x345x-270/

Bình phương rồi rút gọn ta được:

$x^4+18x^3+121x^2+348x+360=0 \\ \Leftrightarrow (x+3)^2(x^2+12x+40)=0 \\ \Leftrightarrow x=-3$

Giải hệ phương trình :

$$\left\{\begin{matrix}x+\frac{x+3y}{x^2+y^2}=3 & \\ y+\frac{y-3x}{x^2+y^2}=0 & \end{matrix}\right.$$

 

Câu 5 (1 điểm). Cho phương trình: $x^2-(m+4)x+3m+3=0$. Tìm $m$ để phương trình có một nghiệm là $x=2$. Tìm nghiệm còn lại.

Câu 6 (1 điểm). Cho phương trình $2x^2-(3+m)x+1-4m=0$. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1+x_2=3$. Tìm hai nghiệm $x_1,x_2$ với giá trị $m$ vừa tìm được.

 

Câu 5: Thay $x=2$ vào pt tìm được m, rồi lại thay m vào pt tìm ra nghiệm còn lại

Câu 6: Theo định lí vi-et ta có: $x_1+x_2=\frac{m+3}{2} \to \frac{m+3}{2}=3 \to m=3 $

thay vào pt tìm ra $x_1;x_2$

 

 Bài 2 : (2 điểm)

Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

1/ Chứng minh $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+x+y=18\\ x(x+1).y(y+1)=72 \end{matrix}\right.$

2/ $\sqrt{x^{2}-16}=3\sqrt{x-4}$

1, $hpt\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x(x+1)+y(y+1)=18 & \\ x(x+1).y(y+1)=72 & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}x(x+1)=a & \\ y(y+1)=b & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}a+b=18 & \\ ab=72 & \end{matrix}\right.$

Tìm a,b rồi thay vào tìm x,y

2, $\left\{\begin{matrix}x-4\geq 0 & \\ x^2-16=3(x-4) & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x\geq 4 & \\ x^2-3x-4=0 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x\ge 4 & \\ \begin{bmatrix}x=-1 & \\ x=4 & \end{bmatrix} & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=4$

Bài 1   :  (2 điểm)

1/ Chứng minh $\sqrt{1+\frac{1}{(x-1)^{2}}+\frac{1}{x^{2}}} = 1 + \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}$ với x > 1

2/ Tính giá trị M = $\sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2012^{2}}+\frac{1}{2013^{2}}}$

 

Đặt $A=\sqrt{1+\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{1}{x^2}}$

Ta có:$A^2=1+\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{1}{x^2}=\frac{x^2(x-1)^2+x^2+(x-1)^2}{x^2(x-1)^2} \\ \ \ A^2=\frac{x^2(x^2-2x+1+1)+(x-1)^2}{x^2(x-1)^2} \\ A^2=\frac{x^4-2x(x-1)+(x-1)^2}{x^2(x-1)^2} \\ A^2=\left ( \frac{x^2-x+1}{x(x-1)} \right )^2$

Do $x>0 \Rightarrow A>0 \Rightarrow A=\frac{x^2-x+1}{x(x-1)}=1+\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}$

 

$\boxed{2}$

a) Giải phương trình $\Leftrightarrow x(x-5)(x^2+3x+12)$$\Leftrightarrow x(x-5)(x^2+3x+12)$

$$x^2-x-2\sqrt{1+16x}=2$$

 

Bình phương rồi rút gọn ta được:

$x^4-2x^3-3x^2-60x=0$

$\Leftrightarrow x(x-5)(x^2+3x+12)=0$