Đặt $y_1=x+2\sqrt{3x}$

$\sqrt{x+2\sqrt{x+2\sqrt{x+...+2\sqrt{x+2\sqrt{3x}}}}}=x\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y_1=x+2\sqrt{3x}\\y_2=x+2\sqrt{y_1}\\...\\y_{n-1}=x+2\sqrt{y_{n-2}}\\y_n=x+2\sqrt{y_{n-1}}=3x \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left \{\begin{matrix}y_1=y_2=...=y_{n-1}=y_n=3x \\3x=x+2\sqrt{3x}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x=0\\ x=3\end{matrix}\right.$

Bạn ơi giải thích giúp mình với $y_{1}=y_{2}=...=y_{n}$

sao lại ko ổn bạn bạn có thể nói kĩ hơn đc ko ?

Đề bài cho pt đầu của hệ là $2x^{2}+x-\frac{1}{y}=2$

sau đó bạn biến đổi tương đương thành $x(x+2)-\frac{1}{y}=2$

Có phải không ổn không bạn???

$ \left\{\begin{matrix} x(x+2) - \frac{1}{y} = 2 & \\ -y^2(x+2) + y = -2& \end{matrix}\right.$
Xét thấy x=0 và y= 0 không là nghiệm của hệ nên ta nhân pt (1) cho $y^2$ và pt(2) cho x, ta được:

Hệ $ \left\{\begin{matrix} xy^2(x+2) - y = 2y^2 & \\ -y^2x(x+2) + xy = -2x& \end{matrix}\right.$

Cộng 2 pt cho nhau ta được:

$ xy-y = 2y^2-2x$

$ (x-y)(y+2)=0$
.....
$ S = {(1;1) ; (-1;-1)} $

Hình như có chỗ này không ổn $ \left\{\begin{matrix} x(x+2) - \frac{1}{y} = 2 & \\ -y^2(x+2) + y = -2& \end{matrix}\right.$

1. $\sqrt[3]{x^{2}+ 4x + 3} + \sqrt[3]{4x^{2}-9x-3}=\sqrt[3]{3x^{2}-2x+2} + \sqrt[3]{2x^{2}-3x-2}$

2. $2x^{2}+3\sqrt[3]{x^{2}-9}=\frac{10}{x}$

3.$\left\{\begin{matrix} x^{2}y^{3}+y^{3}-x^{3}=x^{5}-9x^{2}-9\\ 2y^{2}+4y=x-x^{2} \end{matrix}\right.$

4.$3x^{4}-4x^{3}=1-\sqrt{(1+x^{2})^{3}}$

Giúp mình nhé

Bài 3:

Hệ pt tương đương với:

$\left\{\begin{matrix} (x^{2}+1)(y^{3}-x^{3}+9)=0(1)\\ 2y(y+2)=-x(x-1)(2) \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y^{3}+8=x^{3}-1\\ 6y(y+2)=-3x(x-1) \end{matrix}\right.$

Cộng vế với vế ta được $(y+2)^{3}=(x-1)^{3}\Leftrightarrow x=y+3$

Thay vào (2) ta được $3y^{2}+9y+6=0\Leftrightarrow [\begin{matrix} y=-1\\ y=-2 \end{matrix}$

Vậy hệ có 2 nghiệm (1;-2) và (2;-1)

Theo Cauchy Schwarz ta có

                               $A\leq \sqrt{3\sum (\frac{1}{a^{3}+2b^{3}+6})}\leq \sqrt{3\sum \frac{1}{3ab+3b+3}}=\sqrt{\sum \frac{1}{ab+b+1}}$

Do abc=1 nên ta có

                $\sum \frac{1}{ab+b+1}=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab+b+1}+\frac{b}{ab+b+1}=1$

            $\Rightarrow A\leq 1$

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

Bạn giải thích giúp mình với:

$\sqrt{3\sum (\frac{1}{a^{3}+2b^{3}+6})}\leq \sqrt{3\sum \frac{1}{3ab+3b+3}}$

$\sum \frac{1}{ab+b+1}=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab+b+1}+\frac{b}{ab+b+1}$

Làm sao mình có đk $4-(x+\frac{1}{x})<2\sqrt{2}$ vậy bạn???

ĐK: $\left\{\begin{matrix}2-x^2\geq0\\2-\frac{1}{x^2}\geq0\\4-( x+\frac{1}{x})<2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\:\epsilon \: [\frac{1}{\sqrt{2}};\sqrt{2}]$

Đặt $t=x+\frac{1}{x}\geq 2$

$4-t=\sqrt{2-x^2}+\sqrt{2-\frac{1}{x^2}}\leq \sqrt{2(4-(x^2+\frac{1}{x^2})}=\sqrt{2(6-t^2)}\Leftrightarrow \frac{2}{3}\leq t\leq 2\Leftrightarrow t=2\Leftrightarrow x=1$

Còn trong đoạn $x\epsilon \left [ -\sqrt{2};-\frac{1}{\sqrt{2}} \right ]$ thì sao hả bạn

Bài 2: Đặt $t=x-5,t\geqslant 0$

Phương trình trở thành:

$(t+3)^{2}-7=\sqrt{t}$

$\Leftrightarrow (t^{2}+6t+2)^{2}=t$

$\Leftrightarrow t^{4}+12t^{3}+40t^{2}+23t+4=0$

Phương trình này vô nghiệm với $t\geqslant 0$

Nếu x>y  (1)

$\Rightarrow x+\sqrt{x^{2}+1}> y+\sqrt{y^{2}+1}$

$\Leftrightarrow 3^{y}>3^{x}$

$\Leftrightarrow y>x$ trái với (1)

Nếu y>x tương tự như trên cũng loại

Vậy x=y

Đến đây thay vào dễ dàng rồi.

Bạn ơi $x>y$ không suy ra được $\sqrt{x^{2}+1}>\sqrt{y^{2}+1}$!!!

$x=y,x+\sqrt{x^2+1}=3^x\Leftrightarrow \sqrt{x^2+1}-x=3^{-x}$

Suy ra $3^x-3^{-x}-2x=0$

Xét $f(x)=3^x-3^{-x}-2x$ đồng biến nên PT có nghiệm duy nhất.Dễ thấy $x=0$ thỏa mãn.

Xét $f(x)=3^x-3^{-x}-2x$, làm sao suy ra $f'(x)>0$ vậy bạn ơi???

Lỗi đánh máy bạn ơi

ĐK: $[\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\leqslant x\leqslant \sqrt{2}\\ -\sqrt{2}\leqslant x\leqslant -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}$

Đặt $t=x+\frac{1}{x}$

Phương trình trở thành $4-(t^{2}-2)+2\sqrt{5-2(t^{2}-2)}=(4-t)^{2}; (t\leqslant 4)$

$\Leftrightarrow t^{4}-8t^{3}+28t^{2}-40t+16=0$

$\Leftrightarrow (t-2)(t^{3}-6t^{2}+16t-8)=0$

Đến đây các bạn giải tiếp giúp mình nhá, cái máy tính casio của mình bị mất tiêu rùi!

Lời giải. Điều kiện $\frac{3x+1}{x-1} \ge 0, \frac{y+1}{2y-1} \ge 0$.

Đặt $\sqrt{ \frac{3x+1}{x-1}}=a, \;\sqrt{ \frac{y+1}{2y-1}}=b, \; (a,b \ge 0)$. Khi đó $\frac{1}{x-1}= \frac{a^2-3}{4}$ và $\frac{1}{2y-1}= \frac{2b^2-1}{3}$.

Ta có hệ mới $\begin{cases} a+b=3 \\ 12a^2+32b^2=83 \end{cases}$. Hệ này thì thế vào rồi giải thôi. 

Làm sao minh có điều này vậy bạn $\frac{1}{x-1}= \frac{a^2-3}{4}$ và $\frac{1}{2y-1}= \frac{2b^2-1}{3}$ ?

Bạn  giải thích giúp mình với!!!

Bài 2: ĐK: $\left | x \right |\leq 1$

Đặt $x=cost,t\epsilon \left [ 0;\pi \right ]$

Phương trình trở thành

$2cos^{2}t+\sqrt{1-cost}+2cost\sqrt{1-cos^{2}t}-1=0$

$\Leftrightarrow cos2t+sin2t+\sqrt{2}sin\frac{t}{2}=0$

$\Leftrightarrow sin(2t+\frac{\pi }{4})=sin(-\frac{t}{2})$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} 2t+\frac{\pi }{4}=-\frac{t}{2}+k2\pi \\ 2t+\frac{\pi }{4}=\pi +\frac{t}{2}+k2\pi \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} t=\frac{\pi }{2}+\frac{k4\pi }{3}\\ t=-\frac{\pi }{10}+\frac{k4\pi }{5} \end{matrix}$

So với ĐK suy ra $t=\frac{\pi }{2},t=\frac{7\pi }{10}$

Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm $x=0,x=cos\frac{7\pi }{10}$

Bài 3

Giải

ĐK: $x \geq 0$

Phương trình tương đương:
$(\sqrt{x})^2 + (\sqrt{x})^3 = (\sqrt[6]{3x + 1})^2 + (\sqrt[6]{3x + 1})^3$

Đặt $a = \sqrt{x}; b = \sqrt[6]{3x +1} \, (a\geq 0, b > 0)$, ta được:
$a^2 + a^3 = b^2 + b^3 \Leftrightarrow (a - b)\left (a + b + a^2 + ab + b^2\right ) = 0 \Leftrightarrow a = b$
$\Rightarrow \sqrt{x} = \sqrt[6]{3x + 1} \Leftrightarrow x^3 = 3x + 1$

 

Đặt $x = 2\cos{\alpha}$. Phương trình nói trên có 3 nghiệm là: $x = 2\cos{\left (\dfrac{\pi}{9} \right )}$, $x = 2\cos{\left (\dfrac{5\pi}{9} \right )}$ và $x = 2\cos{\left (\dfrac{7\pi}{9} \right )}$

Do $x \geq 0$ nên $x = 2\cos{\left (\dfrac{\pi}{9} \right )}$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Bạn ơi Tập giá trị của x là $(0;+\infty )$, làm sao đặt $x=2cosa$ được?

Theo mình thì giải như sau:

+ Xét $x\epsilon \left [ -\sqrt{2};0 \right ]$, ta có:

$2^{x}\leqslant 1$

$2^{\sqrt{2-y^{2}}}\leqslant 2^{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow 2^{x}+2^{\sqrt{2-y^{2}}}\leqslant 1+2^{\sqrt{2}}<4$

Suy ra hệ vô nghiệm, tương tự ta có hệ vô nghiệm khi $y\epsilon \left [ -\sqrt{2};0 \right ]$

+ Xét $x,y\epsilon (0;\sqrt{2}]$

$\Rightarrow 2^{x}-2^{\sqrt{2-x^{2}}}=2^{y}-2^{\sqrt{2-y^{2}}}$

Xét hàm số $f(t)=2^{t}-2^{\sqrt{2-t^{2}}},t\epsilon (0;\sqrt{2}]$$f(t)=2^{t}-2^{\sqrt{2-t^{2}}},t\epsilon (0;\sqrt{2}]\Rightarrow f'(t)=2^{t}.ln2+2^{\sqrt{2-t^{2}}}.\frac{t}{\sqrt{2-t^{2}}}ln2>0$

$\Rightarrow x=y$

$\Rightarrow 2^{x}+2^{\sqrt{2-x^{2}}}=4$

xét hàm số $g(x)=2^{x}+2^{\sqrt{2-x^{2}}},x\epsilon (0;\sqrt{2}]$

$\Rightarrow maxg(x)=g(1)=4$

Suy ra hệ có nghiệm duy nhất $x=y=1$

$\left\{\begin{matrix} 2^x+2^{\sqrt{2-y^2}}=4
 &  & \\ 2^y+2^{\sqrt{2-x^2}}=4
 &  &
\end{matrix}\right.$

ĐK: $|x|\leq \sqrt{2},|y|\leq \sqrt{2}$

$\Rightarrow 2^x-2^{\sqrt{2-x^2}}=2^y+2^{\sqrt{2-y^2}}$       (*)

Xét hàm số $f(t)=2^t-2^{\sqrt{2-t^2}}$         với $t\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$

Mà $f'(t)=2^t.\ln2+2^{\sqrt{2-t^2}}.\ln2.\frac{t}{\sqrt{2-t^2}}>0$ với mọi $t\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$

$\Rightarrow f(t)$ đồng biến

 Do vậy$(*)\Leftrightarrow x=y$

Thay $x=y$ vào pt (1) ta được: $ 0=2^x-2^{\sqrt{2-x^2}}-4=g(x)$

Xét $$g'(x)=2^x.\ln2+2^{\sqrt{2-x^2}}.\ln2.\frac{x}{\sqrt{2-x^2}}>0$$

Suy ra $g(x)$ đồng biến. Mà $g(\sqrt{2})=2^{\sqrt{2}}+1<2^2+1=4$ nên hệ vô nghiệm

Bạn bị nhầm rùi, hệ có nghiệm x=y=1, và chưa chắc $f'(t)>0,\forall t\epsilon \left [ -\sqrt{2};\sqrt{2} \right ]$

Áp dụng BĐT : $abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)=(3-2c)(3-2a)(3-2b)=27-8abc-18(a+b+c)+12(ab+bc+ac)\Rightarrow abc\geq \frac{4}{3}(ab+bc+ac)-3$

Làm sao mới ra điều phải chứng minh hả bạn?

Câu 1:

Từ $xyz=8 \iff x+y+z \ge 6 \iff -6 \le -(x+y+z)$

Ta có:

$\frac{x-2}{x+1}\le \frac{x-2}{3} \iff \frac{-(x-2)^2}{3(x+1)} \le 0$ 

Tương tự 

$\frac{y-2}{y+1}\le \frac{y-2}{3(y+1)}$

$\frac{z-2}{z+1}\le \frac{z-2}{3(z+1)}$

Suy ra $P\le \frac{x+y+z-6}{3} \le \frac{x+y+z-x-y-z}{3} =0$

Câu 2:

Từ giả thiết $x+y+z=1$ suy ra

$P=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{x+y+z}{xyz}=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{y}z+\frac{1}{zx}$

$\ge \frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{9}{xy+yz+zx}=\ge \frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{7}{xy+yz+zx}$

$\ge \frac{9}{(x+y+z)^2} +\frac{7.3}{(x+y+z)^2}=30$

______________

Bạn giải thích giúp mình bước cuối $\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{7}{xy+yz+zx}\geqslant \frac{9}{(x+y+z)^{2}}+\frac{7.3}{(x+y+z)^{2}}$.

Mình chưa hiểu!

Sao bạn tìm được nghiệm a=-3/5 vậy?

Mình cũng làm đến đó nhưng bấm máy ra nghiệm tào lao không ah!

Chém câu 6 cái đã
Gọi số bông hoa hồng, lan, cúc, ly, huệ người đó mua là $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$
Xét phương trình nghiệm nguyên không âm sau:
$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=20$
Số cách chọn hoa cũng chính bằng số nghiệm của phương trình trên và bằng $C_{24}^{4}=10626$

Lời giải. Ta có $$A=\sum_{k=1}^{2013}a_{k}b_{k}=\sum_{k=1}^{2013}\left [ a_{1}+\left ( k-1 \right )d \right ]b_{1}q^{k-1}=a_{1}b_{1}\sum_{k=1}^{2013}q^{k-1}+b_{1}\sum_{k=1}^{2013}kq^{k-1}-db_{1}\sum_{k=1}^{2013}q^{k-1}$$
Tổng đầu và tổng cuối ta dùng cấp số cộng và cấp số nhân sẽ tính được còn tổng thứ hai dùng đạo hàm.

Mình down trên mạng xuống đó, Đề thi HSG tỉnh Thanh Hoá năm 2008-2009!!!!

Tìm GTLN của $P=13sinx+9\sqrt{cos^{2}x-4cosx+3}, x\epsilon \left [ 0;\pi \right ]$

Giải bất phương trình $\frac{1}{2}log_{2}x.log_{\frac{3}{4}}x+3>\frac{3}{2}log_{2}x+log_{\frac{3}{4}}x$

Giải phương trình $log_{3}2x+1+log_{5}4x+1+log_{7}6x+1=3x$