bài 1 thay x =7k +3 ta đc (7k+3)(7k+4)(14k+7) cái này hiển nhiên là chia hết cho 42

Xem tại đây

Áp dụng Cauchy -Schwazt ta có $x+y+z-xyz= x(1-yz)+(y+z)\leq (2+2yz)(y^{2}z^{2}-2yz+2)$

mà $(2+2yz)(y^{2}z^{2}-2yz+2)\leq 4$   (biến đổi tương đương )

do đó BĐT đc cm

cho x,y,z >$\frac{2}{3}$ và x+y+z =3 .CMR $x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}\geq xy+yz+zx$

dùng PP đổi biến p,q,r

BĐT cần chứng minh tương đương.$p^{3}-3pq +9 \geq p^{2}$

lại có $p^{3}+9 \geq 4pq$ do đó ta  phải chưng minh $p^{3}+9 \geq 4p^{2}$

áp dụng AM -GM ta có $3\frac{p^{3}}{3}+9 \geq 4\sqrt[4]{\frac{p^{9}}{3}}\geq 4\sqrt[4]{p^{8}}= 4p^{2}$

suy ra BĐT đc cm

do  -1 <= x ,y ,z <= 1 nên x^3 <= x^2 .

tương tự rồi cộng lại là đc.

viết 2 cái trong căn thành tổng 2 bình phương rồi dùng Mincowski là xong

mình có cách như thế này nhưng ko biết đúng hay ko

trước hết $x=1$ => $y=\sqrt[3]{3}$ nên loại

$y^3 = x^4 + x^2 +1 = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$

lại có $(x^2+x+1, x^2-x+1)=1 (*)$

nên ta chia ra 2 trường hợp

$\left\{\begin{matrix} x^2-x+1=1& & \\ x^2+x+1=y^3& & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x^2+x+1=1& & \\ x^2-x+1=y^3& & \end{matrix}\right.$

sẽ suy ra nghiệm $x=0$ và $y=1$

chứng minh $(*)$
Gọi $d$ là ƯCLN$(x^2+x+1, x^2-x+1)$
=> lập hiệu $x^2+x+1- x^2+x-1 = 2x$

=> $d$ là ước của $2x$

mà ta đều có $x^2 + x +1 =x(x+1)+1$ và $x^2- x +1 =x(x-1)+1$ đều là số lẻ nên ko chia hết cho 2 và đều chia x dư 1 => không chia hết cho $2x$
=> $d=1$
 

mình nghĩ không đúng bởi vì chẳng hạn  y = p.q với p,q là 2 số nguyên tố thì cái chữ đỏ đấy ko đúng

 giải hê sau $z^{3}-3z=4-x$

                   $x^{3}-3x=y$

                    $y^{3}-3y=z$

1 .   $x^{2}y+2y+x =4xy$

      $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{xy}+\frac{x}{y}=3$

2.    $\sqrt{x+y}+\sqrt{x+3}=\frac{y-3}{x}$

       $\sqrt{x+y}+\sqrt{x}= x +3$

3.    $x^{2}+y^{2}-xy-7y-4=0$

        $y(x-y)^{2}+6y+8 = 2x^{2}$

1:   dễ chứng minh ab là số xấu

giả sử tồn tại số xấu > ab

xét hệ H {1,2,.....,b} là hệ thặng dư đầy đủ thì {a,2a,.......ab} là hệ thặng dư đầy đủ

suy ra tòn tại x thỏa mãn ax đồng dư với n theo mod b hay n-ax =by (y là số nguyên)

do n>ab nên n-ax >n-ab >0 suy ra by > o

suy ra đpcm

Từ đề bài ta suy ra bc$\leq 1$

Ta có bổ đề sau  (mình dùng Cauchy -Schwazt )

$\frac{1}{(a+b)^{2}}+\frac{1}{(a+c)^{2}}\geq \frac{1}{a^{2}+bc}$

áp dụng bổ đề ta có P $\geq 2a^{2}-2a+5+ \frac{4}{a^{2}+bc}\geq a^{2}+4+\frac{4}{a^{2}+1}=3+\frac{4}{a^{2}+1}+a^{2}+1\geq 7$ (theo AM- GM )

Vậy min P =7 khi a=b=c=1

cho x ,y là  các số nguyên dương .tìm min $\left | 5x^{2}+11xy-5y^{2} \right |$

1.a,b,c >0 .CMR $\frac{6(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}+\frac{(a+b)^{2}(b+c)^{2}(c+a)^{2}}{abc(a+b+c)^{3}}\geq \frac{985}{108}$

2.x,y,z > 0 thỏa mãn xy+yz+zx =1.Tìm min  $\sum \frac{x^{2}}{1+x(x+\sqrt{1+x^{2}})}$

Cho a,b,c >0 .CMR $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \sqrt{\frac{a^{2}+1}{b^{2}+1}}+\sqrt{\frac{b^{2}+1}{c^{2}+1}}+\sqrt{\frac{c^{2}+1}{a^{2}+1}}$

 ta có $2(a+b+c)-abc=a(2-bc)+2(b+c)\leq \sqrt{(a^{2}+(b+c)^{2})((2-bc)^{2}+4)}= \sqrt{(9+2bc)(b^{2}c^{2}-4bc+8)}$.đến đây biến đổi tương đương là đc

bài này bình phương rồi dùng Cauchy-Schwazt

ta có :$x(9\sqrt{1+x^{2}}+13\sqrt{1-x^{2}})= 6\sqrt{\frac{9}{4}x^{2}(1+x^{2})}+\frac{13}{2}\sqrt{(4-4x^{2})x^{2}}\leq 3(\frac{13x^{2}}{4}+1)+\frac{13}{4}(4-3x^{2})= 16 (theo BDT AM-GM)$

cái đa thức đầu tiên là $\frac{x^{80}-1}{x-1}$ .cái thứ 2 là $\frac{x^{20}-1}{x-1}$ .cái đầu rõ ràng chia hết cho cái sau

Câu 1 b ; áp dụng Cauch- Schwazt ta có $(a^{2010}+b^{2010})(a^{2012}+b^{2012})\geq (a^{2011}+b^{2011})^{2}$

dấu bằng xảy ra khi a=b =1 nên M =3

Câu 2 :

a, đặt $\sqrt{x^{2}+x+1}=a;\sqrt{x-1}=b$ .Ta có phương trình $a^{2}-4ab +3b^{2}=0\Leftrightarrow (a-b)(a-3b)=0$

giải ra tìm x ,

b,Ta có $xy =2+\frac{z^{2}}{2};x+y =2-z$ mà để phương trình có nghiệm thì $(x+y)^{2}\geq 4xy$

Từ đây tính đc z =-2

thay vào tìm đc x,y

1, Tìm tất cả các số nguyên dương a,b,c đôi một khác nhau sao cho:

$A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$ nhận giá trị nguyên dương.

2 Chứng minh rằng:

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}\leq 2$

3.Cho x,y,z>0 và $x+y+z\geq 1$.Chứng minh:

$\frac{x^3}{y^2}+\frac{y^3}{z^2}+\frac{z^3}{x^2}\geq 1$

4.Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy 2 điểm M,N. Chứng minh rằng:

$\widehat{MAB}=\widehat{NAC}\Leftrightarrow \frac{MB.NB}{MC.NC}=(\frac{AB}{AC})^2$.

bà 1 : giả sử $a\geq b\geq c$ .nếu c$c\geq 3$ thì A < 1 nên c=1 hoặc c=2 .

c=1 .làm tương tự chặn đc a và b

c=2 cũng tương tự

xin lỗi mình đánh vội quá nên sai đề