chuyển vế rồi phân tích ta đc bđt cần chứng minh tương đương (y-z)(x-y)(x-z) $\leq$ 0 (luôn đúng theo giả thiết)
nam8298 nội dung
Có 158 mục bởi nam8298 (Tìm giới hạn từ 28-04-2020)
#476477 Cho x, y,z thoả mãn: $x\leq y\leq z$.CMR: $x^2y+y^2z...
Đã gửi bởi nam8298 on 10-01-2014 - 12:36 trong Bất đẳng thức và cực trị
#476666 Giải Phương trình :)
Đã gửi bởi nam8298 on 11-01-2014 - 13:23 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
dùng đánh giá Cauchy -Schwazt cho VT đc VT <= 2
VP >= 2
do đó.phương trình có nghiệm x=3
#477095 $\frac{x^2}{(ay+bz)(az+by)}+\frac{y^2...
Đã gửi bởi nam8298 on 13-01-2014 - 19:30 trong Bất đẳng thức và cực trị
ta chỉ cần chứng minh BĐT trong trường hợp a,b >0
áp dụng AM-GM ta có $4(ay+bz)(az+by)\leq (a+b)^{2}(y+z)^{2}$
BĐT cần chứng minh khi đó là $\sum \frac{x^{2}}{(y+z)^{2}}\geq \frac{3}{4}$ (luôn đúng do có BĐT $\sum \frac{x}{y+z}\geq \frac{3}{2}$
#477363 $\left\{\begin{matrix} x^{3}-8x=...
Đã gửi bởi nam8298 on 15-01-2014 - 15:06 trong Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình
giải phương trình : $\left\{\begin{matrix} x^{3}-8x=y^{3}+2y & \\ x^{2}-3=3y^{2}-1& \end{matrix}\right.$
#477414 Tìm GTNN của : A=$\frac{x+8}{\sqrt{x}...
Đã gửi bởi nam8298 on 15-01-2014 - 19:52 trong Bất đẳng thức và cực trị
A-4 =$\frac{(\sqrt{x}-2)^{2}}{\sqrt{x}+1}\geq 0$ nên GTNN A =4
#477583 Cho x, y, z là các số hữu tỉ dương thỏa mãn $x+\frac{1}...
Đã gửi bởi nam8298 on 16-01-2014 - 19:34 trong Bất đẳng thức và cực trị
Đặt xyz= t=$\frac{m}{n}$ với ( m,n ) =1
Ta có $\frac{t+1}{yz};\frac{t+1}{zx};\frac{t+1}{xy}$ là các số nguyên dương .suy ra $\frac{(t+1)^{3}}{t^{2}}$ là số nguyên dương.
hay $\frac{(m+n)^{3}}{m^{2}n}$ là số nguyên dương .
mà ( m,n ) =1 nên n =1 . do đó xyz =m là số nguyên dương .
$\frac{(m+1)^{3}}{m^{2}}$ là số nguyên nên m =1 .suy ra 2x ,2y ,2z là số nguyên dương
ta có 2x .2y .2z =8 .Từ đâytìm được các bộ (x,y,z )
thay vào biểu thức tìm max là được
#477589 x,y,z>0,x+y+z=1.CMR: $\frac{x}{x^2+1}+...
Đã gửi bởi nam8298 on 16-01-2014 - 19:47 trong Bất đẳng thức và cực trị
1. ta có $\frac{x}{x^{2}+1}\leq \frac{3}{10}+\frac{6}{25}(x-\frac{1}{3})$
tương tự cộng theo vế đc đpcm
#477591 x,y,z>0,x+y+z=1.CMR: $\frac{x}{x^2+1}+...
Đã gửi bởi nam8298 on 16-01-2014 - 19:52 trong Bất đẳng thức và cực trị
2. nếu đề yêu cầu chứng minh $\geq 3$ :
ta có $\frac{x+3}{(x+1)^{2}}\geq 1+\frac{3}{4}(x-1)$
chứng minh tương tự rồi cộng theo vế đc đpcm
#477703 Đề thi chọn đội tuyển HSG cấp tỉnh lần 2
Đã gửi bởi nam8298 on 17-01-2014 - 19:00 trong Tài liệu - Đề thi
Câu 1 b ; áp dụng Cauch- Schwazt ta có $(a^{2010}+b^{2010})(a^{2012}+b^{2012})\geq (a^{2011}+b^{2011})^{2}$
dấu bằng xảy ra khi a=b =1 nên M =3
#477704 Đề thi chọn đội tuyển HSG cấp tỉnh lần 2
Đã gửi bởi nam8298 on 17-01-2014 - 19:11 trong Tài liệu - Đề thi
Câu 2 :
a, đặt $\sqrt{x^{2}+x+1}=a;\sqrt{x-1}=b$ .Ta có phương trình $a^{2}-4ab +3b^{2}=0\Leftrightarrow (a-b)(a-3b)=0$
giải ra tìm x ,
b,Ta có $xy =2+\frac{z^{2}}{2};x+y =2-z$ mà để phương trình có nghiệm thì $(x+y)^{2}\geq 4xy$
Từ đây tính đc z =-2
thay vào tìm đc x,y
#478086 Cho a,b,c không âm thoả mãn
Đã gửi bởi nam8298 on 19-01-2014 - 19:48 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài 2; Đặt $\frac{1}{x}=a ;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c$
BĐT càn chứng minh tương đương với $a+b+c +\sum \sqrt{(a+b)(a+c)}\leq \frac{1}{abc}\Leftrightarrow abc(a+b+c)+abc \sum \sqrt{(a+b)(a+c)}\leq 1$
Áp dụng AM-GM ta có $abc\sum \sqrt{(a+b)(a+c)}\leq 2(a+b+c)abc$
nên BĐT cần chứng minh tương đương 3abc(a+b+c)$\leq 1$ (luôn đúng do ab+bc+ca=1)
#478366 Giải phương trình sau $$\dfrac{2x}{2x^2-5x+3...
Đã gửi bởi nam8298 on 21-01-2014 - 19:22 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
theo mình cách 2 là quy đồng hết lên vì sau khi quy đồng được phương trình bậc 4 mà có nghiệm là 2 và 0,75
#478376 $\sum \sqrt{a+(b-c)^{2}}\geq \sq...
Đã gửi bởi nam8298 on 21-01-2014 - 19:51 trong Bất đẳng thức - Cực trị
bình phương hai vế ta đc BĐT cần chứng minh tương đương với $3(ab+bc+ca)\leq \sum \sqrt{a^{2}+ab+ac+(b-c)^{2}}\sqrt{b^{2}+ba+bc+(c-a)^{2}}$
áp dụng Cauchy -Schwazt ta có X= $\sqrt{a^{2}+ab+ac+(b-c)^{2}}\sqrt{b^{2}+ba+bc+(c-a)^{2}}= \sqrt{\sqrt{a(a+b+c)}^{2}+(b-c)^{2}}\sqrt{\sqrt{b(b+a+c)}^{2}+(c-a)^{2}}$ $\geq \left | (b-c)(c-a) \right |+\sqrt{ab}(a+b+c)$
làm tương tự rồi cộng lại ta cần chứng minh $\sum \left | (b-c)(c-a) \right |\geq 3(ab+bc+ca)-(a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$
do $\sum \left | (b-c)(c-a) \right |\geq (\sum a^{2})-ab-bc-ca$ nên ta cần chứng minh $(\sum a^{2})+(a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})\geq 4(ab+bc+ca)$
có thể viết dưới dạng $\sum (x-y)^{2}xy+\sum x^{4}+xyz(x+y+z)\geq 2\sum x^{2}y^{2}$ (luôn đúng theo Schur )
Vậy BĐT đc chứng minh
#478489 $x+y+z\leqslant 2+xyz$
Đã gửi bởi nam8298 on 22-01-2014 - 19:16 trong Bất đẳng thức và cực trị
Áp dụng Cauchy -Schwazt ta có $x+y+z-xyz= x(1-yz)+(y+z)\leq (2+2yz)(y^{2}z^{2}-2yz+2)$
mà $(2+2yz)(y^{2}z^{2}-2yz+2)\leq 4$ (biến đổi tương đương )
do đó BĐT đc cm
#478491 Bài 96:Cho a,b,c dương tm"$(a-1)^{2}+(3bc+1)(bc-1)=0$...
Đã gửi bởi nam8298 on 22-01-2014 - 19:29 trong Bất đẳng thức và cực trị
Từ đề bài ta suy ra bc$\leq 1$
Ta có bổ đề sau (mình dùng Cauchy -Schwazt )
$\frac{1}{(a+b)^{2}}+\frac{1}{(a+c)^{2}}\geq \frac{1}{a^{2}+bc}$
áp dụng bổ đề ta có P $\geq 2a^{2}-2a+5+ \frac{4}{a^{2}+bc}\geq a^{2}+4+\frac{4}{a^{2}+1}=3+\frac{4}{a^{2}+1}+a^{2}+1\geq 7$ (theo AM- GM )
Vậy min P =7 khi a=b=c=1
#478947 CMR: $\sum \frac{(a+b)^{3}}{\sqr...
Đã gửi bởi nam8298 on 25-01-2014 - 12:28 trong Bất đẳng thức - Cực trị
áp dụng AM-GM ta có P =$\sum \frac{(a+b)^{3}}{\sqrt[3]{2(a+b)(a^{2}+b^{2})}}= \sum \frac{(a+b)^{4}}{\sqrt[3]{(2a^{2}+2b^{2})(a^{2}+2ab+b^{2})(a^{2}+2ab+b^{2})}}\geq \sum \frac{3(a+b)^{4}}{4(a^{2}+ab+b^{2})}=9+\sum \frac{3(a^{2}+b^{2})^{2}} {4(a^{2}+ab+b^{2})}\geq 9+3\doteq 12$
(do $(a^{2}+b^{2})^{2}\geq \frac{4}{9}(a^{2}+ab+b^{2})^{2}$ nên BĐT cuối đúng )
vậy BĐT đc cm
#480018 Tìm GTLN của P=$\mid (x-y)(y-z)(z-x)\mid$
Đã gửi bởi nam8298 on 30-01-2014 - 11:40 trong Bất đẳng thức - Cực trị
ta có P$P^{2}= 108-27x^{2}y^{2}z^{2}\leq 108 \Rightarrow P\leq 6\sqrt{3}$
dấu bằng xảy ra khi (x,y,z ) =( căn 3 ,- căn 3 ,o ) và các hoán vị
#480024 CMR: $\sum \sqrt[4]{\frac{\sqrt{3...
Đã gửi bởi nam8298 on 30-01-2014 - 11:44 trong Bất đẳng thức - Cực trị
mình có cách khác như sau BĐT cần chứng minh tương đương với $\sum \sqrt[4]{a^{3}b^{4}c^{4}(\sqrt{3}+6\sqrt{3}ab)}\leq 1$
dùng AM- GM cho 4 số 9abc ,9abc,9abc và $\sqrt{3}bc+6\sqrt{3}ab^{2}c$ thì đc BĐT cần chứng minh
#480025 CMR : $\sum x^{4}+17\sum x^{2}y^{2...
Đã gửi bởi nam8298 on 30-01-2014 - 11:46 trong Bất đẳng thức - Cực trị
bạn cứ nhân bung hết cái vế phải ra
dùng cả Schur bậc 2 nữa là đc
#481150 CMR: $\sum \frac{1}{(a+b)^{3}}+...
Đã gửi bởi nam8298 on 05-02-2014 - 16:29 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Cho a, b, c là các số thực dương . CMR: $\sum \frac{1}{(a+b)^{3}}+\frac{3}{32}\sum ab\geqslant \frac{21}{32}$
hình như bạn gõ sai đề
#481154 CMR: $\sum \frac{1}{(a+b)^{3}}+...
Đã gửi bởi nam8298 on 05-02-2014 - 16:32 trong Bất đẳng thức - Cực trị
dưới mẫu không phải là a+b mà là 1+ a
#481157 3 bài pt hay
Đã gửi bởi nam8298 on 05-02-2014 - 16:42 trong Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình
1 . $x^{2}y+2y+x =4xy$
$\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{xy}+\frac{x}{y}=3$
2. $\sqrt{x+y}+\sqrt{x+3}=\frac{y-3}{x}$
$\sqrt{x+y}+\sqrt{x}= x +3$
3. $x^{2}+y^{2}-xy-7y-4=0$
$y(x-y)^{2}+6y+8 = 2x^{2}$
#481187 $y^{3}-1=x^{4}+x^{2}$
Đã gửi bởi nam8298 on 05-02-2014 - 19:27 trong Số học
mình có cách như thế này nhưng ko biết đúng hay ko
trước hết $x=1$ => $y=\sqrt[3]{3}$ nên loại
$y^3 = x^4 + x^2 +1 = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$
lại có $(x^2+x+1, x^2-x+1)=1 (*)$
nên ta chia ra 2 trường hợp
$\left\{\begin{matrix} x^2-x+1=1& & \\ x^2+x+1=y^3& & \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} x^2+x+1=1& & \\ x^2-x+1=y^3& & \end{matrix}\right.$
sẽ suy ra nghiệm $x=0$ và $y=1$
chứng minh $(*)$
Gọi $d$ là ƯCLN$(x^2+x+1, x^2-x+1)$
=> lập hiệu $x^2+x+1- x^2+x-1 = 2x$=> $d$ là ước của $2x$
mà ta đều có $x^2 + x +1 =x(x+1)+1$ và $x^2- x +1 =x(x-1)+1$ đều là số lẻ nên ko chia hết cho 2 và đều chia x dư 1 => không chia hết cho $2x$
=> $d=1$
mình nghĩ không đúng bởi vì chẳng hạn y = p.q với p,q là 2 số nguyên tố thì cái chữ đỏ đấy ko đúng
- Diễn đàn Toán học
- → nam8298 nội dung