P = 2 (b+c) +(bc-2) a .sau đó dùng Cauchy - Schwazt

dùng quy nạp bạn ạ

xét các trường hợp số dư của a và b khi chia cho 5 thì S chia hết cho 5 khi a và b chia 5 dư 4 hay (a-b) chia 5 dư 0

ta có (1-a)(1-b)(1-c) >= 0 tương đương a+b+c-ab-bc-ca <= 1- abc <= 1

dấu bằng bạn tự tìm nhá

3 số (a+b)/c ; (b+c)/a ; (c+a)/b không thể cùng lớn hơn 2 .

bạn xét các trường hợp ra là đc

viết A= 4$\frac{10^{2n}-1}{9}$ và B= 8$\frac{10^{n}-1}{9}$ .

khi đó A + 2B +4 = $\frac{(2.10^{n}+4)^{2}}{9}$ là số chính phương do $(2.10^{n}+4)$ chia hết cho 3

viết thành $2y^{4}+ y^{2}(x^{2}+7)- (x^{4}-4x^{2}-5)= 0$

tính đenta thì đenta là SCP .từ đó tìm được x suy ra y

đặt $\sqrt{2x^{2}-1}= a$

viết VP = $2a^{2}+x^{2}+\frac{3x}{2}-1$

sau đó phân tích nhân tử đc (2a-x-2)(2a-2x+1) =0

đến đây bạn giải tiếp đc

mình phân tích thế này đặt $\sqrt{2x^{2}-1}=t$ .sau đó  viết thành $at^{2}-2(3x+1)t+10x^{2}+3x-6-a(2x^{2}-1)$

tính đenta rồi viết lại cái đenta đấy

sau đó tính thêm 1 lần đenta nữa rồi chọn a để đenta đẹp đẹp

đây cũng là may thôi.còn tùy bài

cho x ,y là  các số nguyên dương .tìm min $\left | 5x^{2}+11xy-5y^{2} \right |$

Cho $a,b,c>0$. CMR:

$\sum \frac{a}{b}\geq (\sum \frac{1}{a})(\sum a)$

bạn xem lại đề hộ mình với

nhân bung hết ra rồi rút gọn đi

cái $\sum \frac{a^{2}}{b^{2}}\geq 3$ còn $\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

nên BĐT đc cm

bạn tìm min max của biểu thức $\frac{x^{2}-xy-3y^{2}}{x^{2}+xy+y^{2}}$

khi đó tìm đc max và min của P

quy đồng ta đc bđt cần chứng minh tương đương với $3(a+b)^{2}\leq 2ab(a+b+1)+3(a+b)$ (1)

lại có (a-1)(b-1) >= 0 nên ab >= a+b-1 

thay vào (1) ,rút gọn rồi phân tích nhân tử đc đpcm ( do 1 <= 1+b <= 2)

ta có cos B = $\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$  (1)

do AA` cắt CC` tại trọng tâm tam giác .dùng công thức tính đường trung tuyến trong tam giác và dùng Py-ta-go thì điều kiện AA` vuông góc với CC` thì ta có $a^{2}+c^{2} = 5b^{2}$

thay vào (1) .áp dụng 2ac <= a^2 +c^2 thì tìm đc min cos B

dùng PP đổi biến p,q,r

BĐT cần chứng minh tương đương.$p^{3}-3pq +9 \geq p^{2}$

lại có $p^{3}+9 \geq 4pq$ do đó ta  phải chưng minh $p^{3}+9 \geq 4p^{2}$

áp dụng AM -GM ta có $3\frac{p^{3}}{3}+9 \geq 4\sqrt[4]{\frac{p^{9}}{3}}\geq 4\sqrt[4]{p^{8}}= 4p^{2}$

suy ra BĐT đc cm

bài này  bình phương xong dùng Cauchy-Schwazt .

pp làm là cách nâng lũy thừa và điều chỉnh hệ số.

nó tương tự bài bđt thi chọn đôi tuyển Vĩnh Phúc năm 2013-2014.  lời giải hơi dài nên giờ mình ko kịp đánh ra

dùng phương pháp đổi biến p ,q, r

ta chứng minh P $\geq \frac{1}{4}$

viết $\frac{1}{4}= \frac{(x+y+z)^{3}}{4}$

nhân hết lên ta đc bđt Schur

do  -1 <= x ,y ,z <= 1 nên x^3 <= x^2 .

tương tự rồi cộng lại là đc.

đổi biến p ,q, r

ta có q^2 >= 3pr >= 9r^2 .

suy ra q >= 3r

mà a^2 + b^2 +c^2 >= q >= 3r

vậy bđt đc cm

do x ,y ,z nguyên dương nên x=y=z =1

bđt luôn đúng

mình làm thế này viết P = $\frac{7x^{4}+7y^{4}+4x^{2}y^{2}}{(2x^{2}+2y^{2}-xy)^{2}}$

sau đó chia cả tử và mẫu cho  y^4 .

đặt x/y  = t .sau đó dùng pp miền giá trị .không biết có ra không.

đặt a-1 =x

      b-1 =y

      c-1 =z

       d-1 =t

sau đó thay vào đk.nhân bung ra. rút gọn 1 và xyzt đc A chia hết cho xyzt. đặt A = k .xyzt

chia 2 vế cho xyzt rồi chặn.tìm đc k rồi tìm x,y,z,t

chắcđề yêu cầu tìm min của M

xét $(x+1)(x-2)^{2}\geq 0$

nhân bung ra .

tương tự cho y và z rồi cộng vế

đặt  x = a^2 -ab + b^2 = c^2 -cd + d^2

giả sử ab >=  cd

(a+b)^2 = x +3ab

(c+d)^2 = x + 3cd

ta chứng minh (x+3ab)(x+3cd) >= 4. (ab+cd)^2

do x >= ab nên (x+3ab)(x+3cd) - 4. (ab+cd)^2  >=  4ab( ab+3cd ) ^2 - 4. (ab+cd)^2 = 4cd (ab-cd) >= 0

vậy bđt đc cm