giải hê sau $2x^{2}y^{2}+x^{2}=2+2x$

                    $2x^{2}y-x^{2}y^{2}=1+2xy$

1.a,b,c >0 .CMR $\frac{6(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}+\frac{(a+b)^{2}(b+c)^{2}(c+a)^{2}}{abc(a+b+c)^{3}}\geq \frac{985}{108}$

2.x,y,z > 0 thỏa mãn xy+yz+zx =1.Tìm min  $\sum \frac{x^{2}}{1+x(x+\sqrt{1+x^{2}})}$

cái x ở mẫu cho nó vào trong

cái đa thức đầu tiên là $\frac{x^{80}-1}{x-1}$ .cái thứ 2 là $\frac{x^{20}-1}{x-1}$ .cái đầu rõ ràng chia hết cho cái sau

mình nhớ là bài này sau khi bung hết ra sẽ đc 1 cái phương trình tích .sau đó giải đc x,y

áp dụng Cauchy-Schwazt ta có A =$\sum (y+z)\sqrt{(1+\frac{y}{x})(1+\frac{z}{x})}\geq \sum (y+z)(1+\frac{\sqrt{yz}}{x})\geq \sum (y+z)+\sum \frac{2yz}{x}\geq 3(x+y+z)= 3\sqrt{2}$

bài 2  :áp dụng AM-Gm ta có $\sqrt{\frac{x}{2}}\leq \frac{2x+1}{2}$

tương tự cho y

ta chứng minh $\frac{2x+1}{1+y}+\frac{2y+1}{1+x}\leq \frac{8}{3}$

tương đương $\frac{2x^{2}+2y^{2}+3x+3y+2}{1+xy+x+y}\leq \frac{8}{3}$

ta có (x-0,5)(y-0,5)$\geq 0$ tương đương 4xy+1$\geq$ 2(x+y)

mà $2x^{2}\leq x;2y^{2}\leq y$ .từ đó biến đổi ra đpcm

cho $x\geq y\geq z$ và  $F(x,y,z)= \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+\frac{25(xy+yz+xz)}{(x+y+z)^{2}}$

CMR F (x,y,z) $\geq 8$

Ta đi cm 2 bbđt phụ sau:  Với a,b,c thuộc [1,2] thì  $\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\leq 10$  và $9\left ( a+b+c \right )\geq 4\left ( 3a+2b+c \right )$

 chứng minh ý 2 kiểu gì vậy bạn

Cho $a,b,c \in [1;2] .CMR (3a+2b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq \frac{45}{2}$

đặt $F(a,b,c)= a+b+c-2-abc$

 xét $F(a,b,c) - F(a,\sqrt{\frac{b^{2}+c^{2}}{2}},\sqrt{\frac{b^{2}+c^{2}}{2}})\geq 0$

 lại có $F(a,\sqrt{\frac{b^{2}+c^{2}}{2}},\sqrt{\frac{b^{2}+c^{2}}{2}})\geq 0$

suy ra đpcm

với n =2 ( đúng )

giả sử đíng với n=k .ta chứng minh đúng với n=k+1

thật vậy ta có $2^{n}+2^{2n+1}= 4.2^{n-1}+4.2^{2n-1}> 4.3^{n}> 3^{n+1}$

vậy ta đc đpcm

cho x,y,z >$\frac{2}{3}$ và x+y+z =3 .CMR $x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}\geq xy+yz+zx$

nếu a khác c

sau khi quy đồng ta đc ac =$b^{2}$

$b^{2}+a^{2}+c^{2}= a^{2}+c^{2}-ac= (a+c)^{2}-ac= (a+c)^{2}-b^{2}= (a+b+c)(a+c-b)$

nếu a+c-b =1 suy ra $ac=b^{2}=(a+c-1)^{2}$ hay $a^{2}+c^{2}+ac-2a-2c+1=0$ hay $(a-1)^{2}+(c-1)^{2}+ac-1=0$ suy ra ac =1 suy ra a=c=1 ( vô lí do a khác c)

bài 2 : nếu n chẵn thì A=$n^{4}+4^{n}$ chẵn nên là hợp số

           nếu n lẻ . đặt n=2k+1. khi đó A = ........={$(n-2^{k})^{2}+2^{2k}$}{$(n+2^{k})^{2}+2^{2k}$} nên là hợp số

1:   dễ chứng minh ab là số xấu

giả sử tồn tại số xấu > ab

xét hệ H {1,2,.....,b} là hệ thặng dư đầy đủ thì {a,2a,.......ab} là hệ thặng dư đầy đủ

suy ra tòn tại x thỏa mãn ax đồng dư với n theo mod b hay n-ax =by (y là số nguyên)

do n>ab nên n-ax >n-ab >0 suy ra by > o

suy ra đpcm

đặt n =$3^{k}m$ ( m không chia hết cho 3 )

nếu m =3l+1   suy ra $1+2^{n}+4^{n}$ =$a(a^{3l}-1)+a^{2}(a^{6l-1})+a^{2}+a+1$ chia hết cho a^{2}+a+1$ nên không là số nguyên tố

nếu m=3l+2    .làm tương tự ta đc $1+2^{n}+4^{n}$ chia hết cho a^{2}+a+1$ nên không là số nguyên tố

vậy n=$3^{k}$

bài 1 :giả sử 13p+1 =$n^{3}$ 

ta có 13p= (n-1)($n^{2}+n+1$)

do 13 và p là số nguyên tố nên n-1 =p hoặc n-1 =13

n-1=13 thì p =211

n-1=p thì $n^{2}+n+1$ =13 suy ra n=3 suy ra p=2

vậy p=2 hoặc 211

Bài này hình như đâu chuân hoá dc đâu

 bài này chuẩn hóa đc mà bạn

bài 4 : nếu n =3 ( thỏa mãn )

           nếu n khác 3 thì $n^{2}+2$ chia hết cho 3 suy ra n =1 ( vô lí )

vậy nếu n và $n^{2}+2$ là số nguyên tố thì $n^{3}+2$ là số nguyên tố

bài 3 : trong a và b có 1 số chẵn (nếu cả 2 số lẻ thì c chẵn ,không là số nguyên tố)

giả sử a=2 .ta có c=$2^{b}+b^{2}$ .nếu b khác 3 thì c chia hết cho 3 ( vô lí )

suy ra b =3 suy ra c=17

bài 2 : phải có a khác c .nếu a=c thì có bộ thỏa mãn như a=c=2 .b=3 thì $a^{2}+b^{2}+c^{2}= 17$ là số nguyên tố

1, Tìm tất cả các số nguyên dương a,b,c đôi một khác nhau sao cho:

$A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$ nhận giá trị nguyên dương.

2 Chứng minh rằng:

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}\leq 2$

3.Cho x,y,z>0 và $x+y+z\geq 1$.Chứng minh:

$\frac{x^3}{y^2}+\frac{y^3}{z^2}+\frac{z^3}{x^2}\geq 1$

4.Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy 2 điểm M,N. Chứng minh rằng:

$\widehat{MAB}=\widehat{NAC}\Leftrightarrow \frac{MB.NB}{MC.NC}=(\frac{AB}{AC})^2$.

bà 1 : giả sử $a\geq b\geq c$ .nếu c$c\geq 3$ thì A < 1 nên c=1 hoặc c=2 .

c=1 .làm tương tự chặn đc a và b

c=2 cũng tương tự

chuẩn hóa a+b+c =3 .ta chứng minh $\frac{a^{2}}{5a^{2}+(3-a)^{2}}\leq \frac{1}{3}+\frac{4}{9}(a-1)$ ( biến đổi tương đương )

tương tự cọng theo vế đc đpcm

đặt P=VT.

ta có P+(x+y)+(y+z)+(z+x) = $\frac{1}{2}[(a+b)+(b+c)+(c+a)][\frac{x+y}{a+b}+\frac{y+z}{b+c}+\frac{z+x}{c+a}]\geq \frac{1}{2}(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})^{2}$ =Q

ta chứng minh Q $-2(x+y+z)\geq 3\frac{xy+yz+zx}{x+y+z}$

$\Leftrightarrow  $\sum \sqrt{(x+y)(y+z)}\geq 3\frac{xy+yz+zx}{x+y+z}+(x+y+z)$

lại có $\sum \sqrt{(x+y)(y+z)}$ $\geq \sqrt{(x+y+z^{2})+9(xy+yz+zx)}$ =R

ta chứng minh R $\geq x+y+z+3\frac{xy+yz+zx}{x+y+z}$ (luôn đúng bằng cách bình phương)

Vậy BĐT đc cm