Bài 4 chia phương trình ban đầu cho $x^{2}$ đặt ẩn phụ rồi dùng Cauchy-Chwazt

Bài 5 phân tích $x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz =(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)$ .bình phương rồi dùng AM-GM

Bài 6 ax+by+cz $\leq \sqrt{(x^{2}+y^{2}+z^{2})(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$ sau đó dùng Cauchy-Chwazt là đc

Bài7 nhân a+b+c lên rồi dùng nesbit

mấy bài còn lại để tối lên mình làm nốt cho

 giải phương trình sau $\sqrt{2(4x^{3}-1)}-2x=\sqrt[3]{4x^{2}-1}$

cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c =3.CMR $8(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+9\geq 10(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Cho $a,b,c>0$. CMR:

$\sum \frac{a}{b}\geq (\sum \frac{1}{a})(\sum a)$

bạn xem lại đề hộ mình với

Đề chắc chắn đúng!

nghiệm nguyên dương mà bắt chứng minh xy = 0 ???

Câu 1 b ; áp dụng Cauch- Schwazt ta có $(a^{2010}+b^{2010})(a^{2012}+b^{2012})\geq (a^{2011}+b^{2011})^{2}$

dấu bằng xảy ra khi a=b =1 nên M =3

Câu 2 :

a, đặt $\sqrt{x^{2}+x+1}=a;\sqrt{x-1}=b$ .Ta có phương trình $a^{2}-4ab +3b^{2}=0\Leftrightarrow (a-b)(a-3b)=0$

giải ra tìm x ,

b,Ta có $xy =2+\frac{z^{2}}{2};x+y =2-z$ mà để phương trình có nghiệm thì $(x+y)^{2}\geq 4xy$

Từ đây tính đc z =-2

thay vào tìm đc x,y

chứng minh $\frac{1}{2a+b+c}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})\leq \frac{1}{16}(\frac{1}{2a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

tương tự cộng vế

dùng phương pháp đổi biến p ,q, r

ta chứng minh P $\geq \frac{1}{4}$

viết $\frac{1}{4}= \frac{(x+y+z)^{3}}{4}$

nhân hết lên ta đc bđt Schur

mình dùng dồn biến  Giả sử a$a\leq b\leq c$

đặt F(x) =$12(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})-4(a^{3}+b^{3}+c^{3})-21$$F(a;b;c)-F(\frac{a+b}{2};\frac{a+b}{2};c)= (a-b)^{2}(\frac{4}{(a+b)ab}-(a+b))\geq 0$  

$F(\frac{a+b}{2};\frac{a+b}{2};c)= (c-2)^{2}(c^{3}+4c^{2}-6c+3)\geq 0$

do đó suy ra điều phải chứng minh

cho x,y,z >$\frac{2}{3}$ và x+y+z =3 .CMR $x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}\geq xy+yz+zx$

viết 2 cái trong căn thành tổng 2 bình phương rồi dùng Mincowski là xong

mình có cách như thế này nhưng ko biết đúng hay ko

trước hết $x=1$ => $y=\sqrt[3]{3}$ nên loại

$y^3 = x^4 + x^2 +1 = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$

lại có $(x^2+x+1, x^2-x+1)=1 (*)$

nên ta chia ra 2 trường hợp

$\left\{\begin{matrix} x^2-x+1=1& & \\ x^2+x+1=y^3& & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x^2+x+1=1& & \\ x^2-x+1=y^3& & \end{matrix}\right.$

sẽ suy ra nghiệm $x=0$ và $y=1$

chứng minh $(*)$
Gọi $d$ là ƯCLN$(x^2+x+1, x^2-x+1)$
=> lập hiệu $x^2+x+1- x^2+x-1 = 2x$

=> $d$ là ước của $2x$

mà ta đều có $x^2 + x +1 =x(x+1)+1$ và $x^2- x +1 =x(x-1)+1$ đều là số lẻ nên ko chia hết cho 2 và đều chia x dư 1 => không chia hết cho $2x$
=> $d=1$
 

mình nghĩ không đúng bởi vì chẳng hạn  y = p.q với p,q là 2 số nguyên tố thì cái chữ đỏ đấy ko đúng

đặt P=VT.

ta có P+(x+y)+(y+z)+(z+x) = $\frac{1}{2}[(a+b)+(b+c)+(c+a)][\frac{x+y}{a+b}+\frac{y+z}{b+c}+\frac{z+x}{c+a}]\geq \frac{1}{2}(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})^{2}$ =Q

ta chứng minh Q $-2(x+y+z)\geq 3\frac{xy+yz+zx}{x+y+z}$

$\Leftrightarrow  $\sum \sqrt{(x+y)(y+z)}\geq 3\frac{xy+yz+zx}{x+y+z}+(x+y+z)$

lại có $\sum \sqrt{(x+y)(y+z)}$ $\geq \sqrt{(x+y+z^{2})+9(xy+yz+zx)}$ =R

ta chứng minh R $\geq x+y+z+3\frac{xy+yz+zx}{x+y+z}$ (luôn đúng bằng cách bình phương)

Vậy BĐT đc cm

cho 0 < t $\leq 3$ .CMR với mọi a ,b,c không âm thì ta có $(3-t)+ t ( abc)^{\frac{2}{t}} + a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 2(ab+bc+ca)$

3 số (a+b)/c ; (b+c)/a ; (c+a)/b không thể cùng lớn hơn 2 .

bạn xét các trường hợp ra là đc

nhân bung hết ra rồi rút gọn đi

cái $\sum \frac{a^{2}}{b^{2}}\geq 3$ còn $\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

nên BĐT đc cm

áp dụng AM-GM ta có P =$\sum \frac{(a+b)^{3}}{\sqrt[3]{2(a+b)(a^{2}+b^{2})}}= \sum \frac{(a+b)^{4}}{\sqrt[3]{(2a^{2}+2b^{2})(a^{2}+2ab+b^{2})(a^{2}+2ab+b^{2})}}\geq \sum \frac{3(a+b)^{4}}{4(a^{2}+ab+b^{2})}=9+\sum \frac{3(a^{2}+b^{2})^{2}} {4(a^{2}+ab+b^{2})}\geq 9+3\doteq 12$

 (do $(a^{2}+b^{2})^{2}\geq \frac{4}{9}(a^{2}+ab+b^{2})^{2}$ nên BĐT cuối đúng )

vậy BĐT đc cm

Xem tại đây

ta có (1-a)(1-b)(1-c) >= 0 tương đương a+b+c-ab-bc-ca <= 1- abc <= 1

dấu bằng bạn tự tìm nhá

do x ,y ,z nguyên dương nên x=y=z =1

bđt luôn đúng

1... $\sum \frac{bc}{\sqrt{a+bc}}= \sum \frac{bc}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{1}{2}\sum (\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c})\leq \frac{1}{2}$

....3....$\frac{1}{\sqrt{1+a^{3}}}= \frac{1}{\sqrt{(1+a)(a^{2}-a+1)}} \geq \frac{2}{2+a^{2}}$

đến đây quy đồng là đc

2....a..$\frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}+\frac{1+b}{4}+\frac{1+c}{4}\geq 3a$

tương tự cộng theo vế suy ra ĐPCM

......b...$\sum \frac{1}{a^{3}(b+c)}= \sum \frac{(bc)^{2}}{ab+ac}\geq \frac{3}{2}$

giải hệ $2y(7x^{2}+6)+x(12y^{3}+4y^{2}+3)=37xy$

            $\sqrt{x-1}+\sqrt{2y-1}=2$