Bài $2$: Giải hệ:

 

$\left\{\begin{matrix} x^3(y^2+3y+3)=3y^2\\ y^3(z^2+3z+3)=3z^2\\ z^3(x^2+3x+3)=3x^2 \end{matrix}\right.$

TH1 $x=y=z=0$

TH2 $x,y,z\neq0$ 

Chia các pt lần lượt cho $x^{3}y^{2},y^{3}z^{2},z^{3}x^{2}$ ta được

$\left\{\begin{matrix}3(\frac{1}{x})^{3}=3(\frac{1}{y})^{3}+3(\frac{1}{y})+1 &  & \\ 3(\frac{1}{y})^{3}=3(\frac{1}{z})^{3}+3(\frac{1}{z})+1 &  & \\ 3(\frac{1}{z})^{3}=3(\frac{1}{x})^{3}+3(\frac{1}{x})+1 &  & \end{matrix}\right.$

Vậy $u=v=t=\frac{1}{\sqrt[3]{4}-1}\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt[3]{4}-1$

Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho 3 số dương ta có

$\frac{1}{a^{2}}+8a+8a\geq 12$

$\frac{1}{b^{2}}+8b+8b\geq 12$

$\frac{1}{c^{2}}+8c+8c\geq 12$

Cộng từng vế 3 bdt trên ta có Min A=13.5 đẳng thức sảy ra khi a=b=c=1/2

Đây thực chất là hàm đồng biến bạn ạ .Khi gặp 1 hàm đơn điệu thì nó luôn luôn chỉ có 1 nghiệm duy nhất , vấn đề là mò ra nghiệm đấy thôi

Bài $1$:

                      $1.$ Rút gọn biểu thức:

                                        $A=\sqrt[3]{2\sqrt{3}-4\sqrt{2}}.\sqrt[6]{44+16\sqrt{6}}$

 

Bài $1$

$(1)$ Rút gọn biểu thức:

                                        $A=\sqrt[3]{2\sqrt{3}-4\sqrt{2}}.\sqrt[6]{44+16\sqrt{6}}$

Ta có :

$\sqrt[6]{44+16\sqrt{6}}=\sqrt[6]{12-16\sqrt{6}+32}=\sqrt[6]{(2\sqrt{3}+4\sqrt{2})^{2}}=\sqrt[3]{2\sqrt{3}+4\sqrt{2}}$

Vậy $A=\sqrt[3]{(2\sqrt{3}-4\sqrt{2})(2\sqrt{3}+4\sqrt{2})}=\sqrt[3]{12-32}=-\sqrt[3]{20}$

---------------------------------------------------------

Spoiler

Lần sau làm nhớ trích lại đề cho dễ nhìn nhé  

2) Giải phương trình $\sqrt{\frac{42}{5-x}}+\sqrt{\frac{60}{7-x}}=6$

2,
TH1,
$5> x> \frac{1}{3}\Rightarrow VT> 6$
TH2,
$x< \frac{1}{3}$  $\Rightarrow VT< 6$
TH3

$x=\frac{1}{3}$
Thử lại T/M
Vậy $x=\frac{1}{3}$ là nghiệm duy nhất của pt

Bài 1

1,CMR

$\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2014}}< 2\sqrt{2014}$
2,Tìm tất cả các số nghuyên x,y thoả mãn

$x^{3}-xy+2x+2y+1=0$

Bài 2

1,GPT
$\sqrt{2x-1}+\sqrt{x}=3x-3+2\sqrt{2x^{2}-x}$

2,Cho các số thực x,y,z thoả mãn $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3xyz$

Tìm $P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}$

Bài 3

Cho điểm A thuộc nửa đường tròn đường kính BC, H là hình chiếu của A lên BC.Gọi I và J lần lượt là tâm đường tròn nội tiệp ABH và ACH. Đườg thẳng IJ cắt AB AC tại E và F

1,CMR AEF là tam giác cân

2,CMR BIJC nội tiếp

3,Tìm vị trí điểm A để CV HIJ Max

Bài 4

Cho m,n là 2 số tự nhiên thoả mãn $3m^{2}+m=4n^{2}+n$
CMR $m-n$ và $4m+4n+1$ là SCP

Bài 5 (dễ nhất bài)
cho 3 số dương x,y,z.CMR

$\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{z+x}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}> 2$

Bài 1

1,CMR

$\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2014}}< 2\sqrt{2014}$
2,Tìm tất cả các số nghuyên x,y thoả mãn

$x^{3}-xy+2x+2y+1=0$

Bài 2

1,GPT
$\sqrt{2x-1}+\sqrt{x}=3x-3+2\sqrt{2x^{2}-x}$

2,Cho các số thực x,y,z thoả mãn $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3xyz$

Tìm $P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}$

Bài 3

Cho điểm A thuộc nửa đường tròn đường kính BC, H là hình chiếu của A lên BC.Gọi I và J lần lượt là tâm đường tròn nội tiệp ABH và ACH. Đườg thẳng IJ cắt AB AC tại E và F

1,CMR AEF là tam giác cân

2,CMR BIJC nội tiếp

3,Tìm vị trí điểm A để CV HIJ Max

Bài 4

Cho m,n là 2 số tự nhiên thoả mãn $3m^{2}+m=4n^{2}+n$
CMR $m-n$ và $4m+4n+1$ là SCP

Bài 5 (dễ nhất bài)
cho 3 số dương x,y,z.CMR

$\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{z+x}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}> 2$

Đề thi Nguyễn Huệ hả 

BDT thì thiếu vp rồi bạn

$x= \sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{6-3\sqrt{2+\sqrt{3}}}\Rightarrow x^{2}=8-2\sqrt{2+\sqrt{3}}-2\sqrt{3(2-\sqrt{3})}$

$\Rightarrow (\frac{8-x}{2})^{2}=2+\sqrt{3}+3(2-\sqrt{3})+2\sqrt{3}=8$

$\Rightarrow x^{4}-16x^{2}+32=0$ (dpcm)

Cần cù bù thông minh bình phương thôi

 

Bài tập:

$4/$ Cho tam giác $ABC$ cạnh $a;b;c$. $M\in AB; N\in AC$

Cmr:

a) $S_{ABC}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}acsinB$

b) $\frac{S_{ABC}}{S_{AMN}}=\frac{AB.AC}{AM.AN}$

a,Kẻ đường cao BH ta có sin$\widehat{A}$=$\frac{BH}{AB}$

Mặt khác ta có S$\Delta$ABC=$\frac{BH.AC}{2}=\frac{HB}{AB}.\frac{1}{2}.AB.AC=\frac{1}{2}Sin\widehat{A}.bc$
tương tự ta có $S\Delta ABC=\frac{1}{2}Sin\widehat{A}.bc=\frac{1}{2}Sin\widehat{B}.ac=\frac{1}{2}Sin\widehat{C}.ab$

b,Áp dụng câu a ta có

$\frac{S\Delta ABC}{S\Delta AMN}=\frac{\frac{1}{2}Sin\widehat{A}.AB.AC}{\frac{1}{2}Sin\widehat{A}.AM.AN}=\frac{AB.AC}{AM.AN}$
(dpcm)

Bài tập:

$1/$ Cho hình thang $ABCD$ có $BC//AD$; $BC<AD$, kéo dài $AC$ về phía $C$ và lấy $P$ tùy ý. Gọi $K;L$ là trung điểm $BC;AD$. $PK\cap AB\equiv M$; $PL\cap CD\equiv N$

Cmr: $MN//BC$

 

 

Áp dụng định lý Menelauyt cho 2 tam giác CAD và tam giác ABC (có 2 cát tuyến PKM và PNL) ta có

$\frac{NC}{ND}\frac{LD}{LA}\frac{AP}{PC}=1$ (1)

và

$\frac{MB}{MA}\frac{AP}{PC}\frac{KC}{BK}=1$  (2)

K là trung điểm BC

L là trung điểm AD

$\frac{BK}{KC}=\frac{AL}{LD}=1$

Nên từ 1 và 2 ta có

$\frac{NC}{ND}\frac{AP}{PC}=1=\frac{MB}{MA}\frac{AP}{PC}\Rightarrow \frac{NC}{ND}=\frac{MB}{MA}$

nên ta có MN song song BC (dpcm)

p/s vẽ hình mệt thế

thôi cứ thử giải hẳn ra TH2 xem sao @@   
$\left\{\begin{matrix}x+y=-2-z & & \\ xy=1-yz-zx & & \end{matrix}\right.$

vậy x,y là nghiệm của pt

$X^{2}+(z+2)X+1-z(x+y)=0\Leftrightarrow X^{2}+(z+2)X+1-z(-2-z)=0$

$\Leftrightarrow X^{2}+(z+2)X+z^{2}+2z+1=0$
Xet $\Delta$

$\Delta =(z+2)^{2}-4(z^{2}+2z+1)=z^{2}+4z+4-4z^{2}-8z-4=-3z^{2}-4z$
DK de pt co nghiem la $\Delta$ $\geq 0$ $\Leftrightarrow 3z^{2}+4z\leq 0\Leftrightarrow -\frac{4}{3}\leq x\leq 0$

Nên $-\frac{4}{3}\leq z< \frac{4}{3}$ (dấu đẳng thức 2 không sảy ra nên ta có dpcm)

9.(chưa đọc xong chuyên đề nhưng thôi thấy bài nào làm được thì làm )

$\sqrt{x^{2}-x+19}\doteq \sqrt{(x-\frac{1}{2})^{2}+18\frac{3}{4}}$$\geq 18\frac{3}{4}$

$7x^{2}+8x+13=(2x-1)^{2}+3(x+2)^{2}\geq 3(x+2)^{2}$

$13x^{2}+17x+7= \frac{(2x-1)^{2}}{4}+\frac{3(4x+3)^{2}}{4}\geq 3\frac{(4x+3^{2})}{4}$

​Thay vào pt ban đầu ta có VP$\geq$ VT nen VT=VP $\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$

nhưng nếu z $< 0$ thì $\Delta$ âm vậy không tồn tại x,y nên chắc  bdt không có dấu bằng sảy ra

Ở TH1 của bạn mình làm ra $\Delta = -3z^{2}+4z$ 

$\Delta \geq 0 \Leftrightarrow 0\leq z\leq \frac{4}{3}$

Vậy còn $\frac{-4}{3}$

bản thử th 2 chưa x+y+z=-2 ấy,mình làm vội nên cũng chưa thử

Bài 3: Giả sử (x,y,z) là nghiệm của hệ phương trình 

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+z^{2} = 2\\ xy+yz+zx = 1 \geq 0 \end{matrix}\right.$

CMR: $\frac{-4}{3}\leq x,y,z\leq \frac{4}{3}$

Giúp mình nhé! Tks       

Nhân 2 pt 2 rồi cộng vs pt 1 ta đc

$(x+y+z)^2=4$
TH1 x+y+z=2

do vai trò của x y z như nhau ta chỉ cần cm trường hợp đối vs x các trường hợp khác tương tự
x+y+z=2
nên x+y=2-z (1)
mà từ pt 2 ta suy ra 
$xy=1-(x+y)z\Leftrightarrow xy=1-(2-z)z$ (2)

Từ 1 và 2 ta suy ra x,y là 2 nghiệm của pt 

$X^{2}+(z-2)X+z^{2}-2z+1$
ĐK để pt có nghiệm là $\Delta \geq 0$
đến đây $\Delta$ suy ra dpcm
TH2 tương tự

44) Tam giác $ABC$ có $\widehat{B}=60^o$; $BC=8cm$; $AB+AC=12cm$. Tính $AB$

kẻ đường cao AH ta có

$AB=2BH(\widehat{B}=60^{\circ})$

Dat BH =x suy ra AB=2x
CH=8-x

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có

$AB^{2}-BH^{2}=AH^{2}=CH^{2}-AC^{2}$
$\Leftrightarrow 4x^{2}-x^{2}=(12-2x)^{2}-(8-x)^{2}$

Đến đây giải phương trình bậc 2 ẩn x rồi nhân 2 tìm ra AB

45) Tìm $x$ biết $x^2+\frac{4x^2}{(x+2)^2}=5$

Ta có 
$x^{2}+\frac{4x^{2}}{(x+2)^{2}}=5$

$\Leftrightarrow (x-\frac{2x}{x+2})^{2}+2\frac{2x^{2}}{(x+2)^{2}}=5$

$\Leftrightarrow (\frac{2x^{2}}{x+2})^{2}-2\frac{2x^{2}}{x+2}=5$

Đặt $\frac{2x^{2}}{x+2}=a$

Thay lại giải pt bậc 2 rồi tìm ra x

xét trường hợp
TH1 x>3 suy ra VT>1 vô lý

TH2 x<2 suy ra VT>1 vô lý

TH3 x$\epsilon$[2;3]

Suy ra $\left | x-2 \right |=x-2$
            $\left | x-3 \right |=3-x$

Đặt x-2=a 

       3-x=b

Ta có:

$\left\{\begin{matrix}a+b=1 & & \\ a^{2013}+b^{2013}=1 & & \end{matrix}\right.$
Vi a,b$\geq 0$

Nên dễ dàng suy ra hệ có nghiệm a=0 b=1 hoac a=1 b=0
 

42.

c) $\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+1}+\sqrt{y}=1  &  & \\ \sqrt{x}+\sqrt{y+1}=1  &  &  \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+1}+\sqrt{y}=\sqrt{y+1}+\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+1}-\sqrt{y+1}=\sqrt{x}-\sqrt{y}$

$\Leftrightarrow \frac{x-y}{\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}}=\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$

Dễ thấy
$\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{y}+1}< \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$
Suy ra x=y
Thay lại vào pt ban đầu dễ dàng tìm ra x,y

Dễ thấy nếu a không phải là số chính phương thì  $\sqrt{a}$ vô tỉ

Ta có sqrt{m^{2}+m+23}$ hữu tỉ

nên

$m^{2}+m+23=k^{2}(k\epsilon Z )$

$\Leftrightarrow 4m^{2}+4m+1+91=(2k)^{2}$

$\Leftrightarrow (2m+1)^{2}-(2k)^{2}=-91$

$\Leftrightarrow (2m-2k+1)(2m+2k+1)=-91$

Đến đây để rồi giải pt nghiệm nguyên

 

38) Một xe máy đi từ $A$ đến $B$ trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm $14km/h$ thì đến sớm $2h$, nếu vận tốc giảm $4km/h$ thì đến muộn $1h$. Tính vận tốc và thời gian dự định.

Gọi vân tốc ban đầu của xe máy là x km/h (x>4)

Thời gian dự định của xe máy để đi hết quãng đường AB là y (h) (y>2)

Nên chiều dài quãng đường AB là xy (km)

Nếu tăng vt thêm 14 km thì đến sớm 2h

Giảm vt đi 4 km thì đến muôn 1 h ta có hpt

$\left\{\begin{matrix}(x+14)(y-2)=xy & & \\ (x-4)(y+1)=xy & & \end{matrix}\right.$

Nhân ra ta triệt tiêu được xy giải hpt ta tìm đuợc x

Áp dụng BĐT Buniacopski ta có:

$(x^{2}+\frac{1}{y^{2}})(y^{2}+\frac{1}{x^{2}})\geqslant (xy+\frac{1}{xy})^{2}\geqslant (2\sqrt{xy.\frac{1}{xy}})^{2}=4$

Dấu bằng sai rồi bạn nhé

Cách làm

$(x^{2}+\frac{1}{y^{2}})(y^{2}+\frac{1}{x^{2}})=x^{2}y^{2}+\frac{1}{x^{2}y^{2}}+2$

Áp dụng bdt cauchy ta có

$x^{2}y^{2}+\frac{1}{256x^{2}y^{2}}\geq 2\sqrt{\frac{1}{256}}=\frac{1}{8}$

$\frac{255}{256x^{2}y^{2}}\geq \frac{255}{16}$

vậy $P\geq \frac{1}{8}+\frac{255}{16}+2$$=18.0625$

Dấu bằng sảy ra khi x=y=1/2