$147$: $\left\{\begin{matrix} x^4+y^2\leq 1\\ x^5+y^3\geq 1 \end{matrix}\right.$

Ta có:

$x^{4}+y^{2}\leq 1\rightarrow x;y\epsilon [-1;1]$

Mặt khác vì $x^{5}+y^{3}\geq 1$

         x thuộc [-1;1] nên suy ra y không âm

         y thuộc [-1;1] nên suy ra x không âm

Từ đó ta có $x^{5}\leq x^{4}$

                   $y^{3}\leq y^{2}$

suy ra $1\leq x^{5}+y^{3}\leq x^{4}+y^{2}\leq 1$

suy ra $x^{5}+y^{3}=x^{4}+y^{2}$

Kết luận $(x;y)=(1;0)(0;1)$

Đây là hàm đồng biến nên suy ra nếu pt có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất
dễ thấy x=1/2 là 1 nghiệm của pt suy ra  x=1/2 là nghiệm duy nhất
Bạn có thể giải bằng cách giả sử x>1/2 và x<1/2 suy ra vô lý

106)

$(2)\Leftrightarrow y^2-5x^2=4$ (*)

Thay vào $(1)$ được: $x^3+(y^2-5x^2)y=y^3+16x\Leftrightarrow 25y^2=x^2-32+\frac{16^2}{x^2}$
Có: $25y^2=100+125x^2$ (do (*))

Vậy $x^2-32+\frac{256}{x^2}=100+125x^2$
Nhân thêm với $x^2$ để giải

C2 (bằng pp đẳng cấp)

$x^{3}-y^{3}=16x-4y$
TH1 y=0 suy ra vô lý
TH2 y$\neq$0
Đặt x=ty ta có

$\left\{\begin{matrix}t^{3}y^{3}-y^{3}=16ty-4y & & \\ y^{2}-5t^{2}y^{2}=4 & & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}t^{3}y^{2}-y^{2}=16t-4 & & \\ y^{2}-5t^{2}y^{2}=4 & & \end{matrix}\right.$

Đến đây làm tương tự pp đẳng cấp
 

Thôi chém bài 105 cho nhanh rồi off
$\left\{\begin{matrix}\frac{2x^2}{x^2+1}=y & & \\ \frac{2y^2}{y^2+1}=z & & \\ \frac{2z^2}{z^2+1}=x \end{matrix}\right.$

Từ pt suy ra x,y,z$\geq$0

Áp dụng bdt cauchy ta có $x^{2}+1\geq 2x$ Suy ra $\frac{2x^{2}}{x^{2}+1}\leq x$
Suy ra $y\leq x$

Tương tự $z\leq y$

$x\leq z$
Suy ra x=y=z=1(Dấu bằng cauchy)

Đề đúng đó bạn ạ
96
Đặt $\sqrt[3]{7x+8}$=a  $\sqrt{\frac{7-2x}{6}}$=b
ta có hệ pt
$\left\{\begin{matrix}a+b=x \\ a^{3}-8=7x \\ 6b^{2}+2x^{2}=7 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}b=x-a \\ a^{3}-8=7.x \\ 6b^{2}+2x^{2}=7 \end{matrix}\right.$

Thay 7 ở pt thứ 3 vào pt thứ 2 thay b=x-a ta được hpt mới

$\left\{\begin{matrix}b=x-a \\ x.[2x^{2}+6(x-a)^{2}]=a^{3}-8 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-a=b \\ 8x^{3}-12x^{2}a+6a^{2}x-a^{3}=-8 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(2x-a)^{3}=-8 \\ x-a=b \end{matrix}\right.$
Từ đó suy ra 2x-a=-2
suy ra $2x+2=\sqrt[3]{7x+8}$

Bài 96:GPT

$\sqrt[3]{7x-8}+\sqrt{\frac{7-2x^{2}}{6}}=x$

Chú ý STT

 

Cách 1:
$\sqrt[3]{3x^2-3x+3}-\sqrt{\frac{x^3}{3}-\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \sqrt[3]{3x^2-3x+3}-x+x-\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{x^3}{3}-\frac{3}{4}}=0\Leftrightarrow \frac{-x^3+3x^2-3x+3}{A^2+xA+x^2}+\frac{x^2-x+\frac{1}{4}-\frac{x^3}{3}+\frac{3}{4}}{x-\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{x^3}{3}-\frac{3}{4}}}=0\Leftrightarrow (x^3-3x^2+3x-3)(\frac{-1}{A^2+xA+x^2}-\frac{1}{3(x-\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{x^3}{3}-\frac{3}{4}})})=0$

Cách 2:

$\sqrt[3]{3x^2-3x+3}=\sqrt{\frac{x^3}{3}-\frac{3}{4}}+\frac{1}{2}=y\Rightarrow \left\{\begin{matrix}3x^3-3x+3=y^3 & & \\ \frac{x^3}{3}-\frac{3}{4}=y^2-y+\frac{1}{4} & & \end{matrix}\right.$

 

Hệ đối xứng

 

90) cách 3 mặc dù cũng tương tự cách 2 của bạn và cũng phức tạp hơn
Đặt u=$\sqrt[3]{3x^{2}-3x+3}$ $\rightarrow u^{3}=3x^{2}-3x+3$
v=$\sqrt{\frac{x^{3}}{3}-\frac{3}{4}}$ $\rightarrow v^{2}=\frac{x^{3}}{3}-\frac{3}{4}$
Ta có hệ pt 

$\left\{\begin{matrix}u-v=\frac{1}{2} \\ u^{3}=3x^{2}-3x+3 \\ v^{2}=\frac{x^{3}}{3}-\frac{3}{4} \end{matrix}\right.$

Thay $v=u-\frac{1}{2}$

ta được hệ 
$\left\{\begin{matrix} u^{3} =3x^{2}-3x+3\\x^{3}=3u^{2}-3u+3 \end{matrix}\right.$
Khá phức tạp nhỉ chắc cách bạn Hoàng vẫn hay hơn

Chà topic sôi động quá nhỉ.Đóng góp thêm 1 bài rồi off.Bài này rất hay ,phải chuyển về dx2 để giải
Bài 90
$\sqrt[3]{3x^{2}-3x+3}-\sqrt{\frac{x^{3}}{3}-\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}$

Giải pt:

66) $\frac{2013x^4+x^4\sqrt{x^2+2013}+x^2}{2012}=2013$

Thôi chém nốt bài 66 
pt $\Leftrightarrow 2013x^{4}+x^{4}\sqrt{x^{2}+2013}+x^{2}=2013.2012$

$\Leftrightarrow x^{2}+2013+x^{4}\sqrt{x^{2}+2013}=2013^{2}-2013x^{4}$

$\Leftrightarrow x^{2}+2013+x^{4}\sqrt{x^{2}+2013}+\frac{x^{8}}{4}=\frac{x^{8}}{4}+2013^{2}-2013x^{4}$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x^{2}+2013}+\frac{x^{4}}{2})^{2}=(\frac{x^{4}}{2}-2013)^{2}$
Đến đây giải tương tự câu 65
 

Giải pt:

64) $\sqrt[3]{x^2-2}=\sqrt{2-x^3}$

$\sqrt[3]{x^2-2}-\sqrt{2-x^3}=0$

Đặt $\sqrt[3]{x^2-2}=a\rightarrow x^{2}=a^{3}+2$ (1)

Mà từ pt ban đầu ta suy ra $\sqrt[3]{x^2-2}=\sqrt{2-x^3}$
$\Leftrightarrow a^{2}=2-x^{3}$ (2)
Đến đây từ 1 và 2 giải hệ phương trình đối xứng loại 2 với 2 ẩn a và -x thi ta được a=-x từ đó suy ra $-x=\sqrt[3]{x^{2}-2}\Leftrightarrow x^{3}+x^{2}-2=0$ 

Giải pt:

65) $x^4+\sqrt{x^2+2}=2$

 

65.$x^{4}+\sqrt{x^{2}+2}=2$

$\Leftrightarrow$$x^{4}=-\sqrt{x^{2}+2}+2 \Leftrightarrow x^{4}+x^{2}+\frac{1}{4}=x^{2}+2-\sqrt{x^2+2}+\frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow (x^{2}+\frac{1}{2})^{2}=(\sqrt{x^{2}+2}-\frac{1}{2})^{2}$
tới đây dễ rồi

Cho đường tròn (O; R). Dây BC < 2R cố định và A thuộc cung lớn BC (A khác B, C và không trùng điểm chính giữa của cung). Gọi H là hình chiếu của A trên BC; E, F thứ tự là hình chiếu của B, C trên đường kính AA’.
a. Chứng minh: HE vuông AC.
b. Chứng minh: ∆HEF ~ ∆ABC.
c. Khi A di chuyển, chứng minh: Tâm đường tròn ngoại tiếp ∆HEF cố định.

b,kéo dài EH cắt AC tại K ta có $\widehat{HEF}=\widehat{AEK}$.
mà $\widehat{AEK}=\widehat{AA'C}$ (song song vì cùng vuông góc vs AC
$\widehat{AA'C}=\widehat{ABC}$(chắn cung AC) 
nên suy ra $\widehat{FEH}=\widehat{ABC}$ (1) 
Ta có $\widehat{AFH}=\widehat{ACB}$( tứ giác nội tiếp ) (2)

Từ 1 và 2 ta có dpcm
 

câu c trông khó thế

ok nhưng có thể sẽ khá lâu

Cho đường tròn (O;R). Từ một điểm A trên đường tròn kẻ tiếp tuyến d với đường tròn. Trên d lấy M (M khác A), kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC vuông góc MB, BD vuông góc MA. Gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.

a) CMR AMBO là tứ giác nội tiếp.

b) CMR O, K, A, M, B cùng thuộc một đường tròn.

c) CMR $OI.OM=R^2$; $OI.IM=IA^2$.

d) CMR OAHB là hình thoi.

e) CMR O, H, M thẳng hàng.

g) Tìm quỹ tích điểm H khi M chuyển động trên d.

P/s: Giúp mình câu cuối nhé, nghĩ mãi chưa ra!!!

theo mình bài này không nói rõ yếu tố thay đổi là gì và cũng không nói rõ yếu tố cố định.Nếu A cố định thì từ câu d ta suy ra luôn AH=AO suy ra H thuộc đường tròn tâm A bán kính R

chào mọi người đây là bài tập tớ tổng hợp được từ topic.Tuy nhiên do thời gian có hạn nên chưa có lời giải và nhận xét của các anh,chị .Đây cũng là lần đầu tiên tớ làm cái này nên còn cần nhiều chỉnh sửa.Mong mọi người góp ý.

Cho tam giác ABC nhọn. Tìm điểm M trong tam giác ABC để $MA+MB+MC$ đạt giá trị lớn nhất

bạn ơi lâu rồi mà không ai trả lời post lời giải đi bạn

$KD= \frac{1}{2}EF$ nên $EF = \frac{1}{4}AB$
Mà  tam giác ABH đồng dạng tam giác tam giác FEH nên $\frac{AB}{EF}= \frac{BH}{EH}$

$BH = BE
HE = 2DE$
nên BH/HE =BE/2DE=1/4
suy ra BE=2DE
suy ra $\widehat{BEA}= 60$

kéo dài  AO cắt O tại K suy ra AKB =60 đến đây tính được AB theo R nhờ có góc 60 thì dễ rồi

tam giác ABC nhọn đường cao AD BE CF trực tâm H, K là trung điểm AH EF giao AD tại I.
CMR I là trực tâm tam giác KBC
p/s tớ là mem mới mong được mọi người ủng hộ

vang em cam on a

vs ca ro rang bdt nho hon khi x = y =3

ban gi oi bai day lam the nao de lua chon dau bang dep the ha ban lam the nao ban biet cach tach ghep hop li?