đa thức

1. ABC nội tiếp (O). I chính giữa cung BC kg chứa A. Vẽ đường tròn $(O_1)$ đi qua I và tiếp xức vs AB tại B. $(O_2)$ đi qua I tiếp xúc vs AC tại C. K là giao điểm của $(O_1);(O_2)$. a/ B,K,C thẳng hàng. b/ D thuộc AB. E tia đối CA: BD=CE. CM đường tròn ngoại tiếp tg ADE đi qua 1 điểm khác A.
2. Tứ giác ABCD nội tiếp (O). I,J trđiểm AC,BD. CMR: I,O,J thằng hàng.

1/  Cho dãy: $n\in {0;1;2;..} .U_n=\frac{(2+\sqrt{3})^n-(2-\sqrt{3})^n}{2\sqrt{3}}$

 

CM $U_n$ luôn nguyên.

Tìm n nguyên để $U_n$ chia hết 3.

2/

$a_0=2;a_{n+1}=4.a_n+\sqrt{15a^2-60};n\in N^*$

Xác định Công thức tổng quát $U_n$.

CMR: $\frac{1}{5}(a_{2n}+8)$ biểu diễn đc dưới dạng bình phương 3 số nguyên 

 

Chú ý đọc kĩ đề câu 1 nha!!!

Trên tử mình đã fix

Bài 7, cho $f(x)=x^{2n}+a_{2n-1}x^{2n-1}+...+a_1x+a_0$

n thuộc N*, a_i thuộc R

C/m rằng : $f(x)=(p(x))^2+ r(x)$ với p(x), r(x) thuộc R[x]và bậc deg(x) <n

Bài 8, cho $\alpha \epsilon R$ sao cho $\alpha \neq 0$:

C/m rằng mọi $x\geqslant 2$ thì:  $p(x)= x^nsin\alpha -x(sin(n\alpha))+sin(n-1)\alpha \vdots x^2-2xcos\alpha+1$

Bài 9, P(x), Q(x),R(x),S(x) thuộc R[x]sao cho:

$P(x^5)+xQ(x^5)+x^2 R(x^5)= (x^4+x^3+x^2+x+1)S(x)$

C/m: $p(x)\vdots (x-1)$

1/ Tìm GTLN của: $A=x(2006-x^{2005})$

2/ Cho a,b,c: $\sum a^2=2;\sum ab=1.$. Tìm Max, min của a,b,c

1, cho $f(x)=x^{2n}+a_{2n-1}x^{2n-1}+...+a_1x+a_0$

n thuộc N*, a_i thuộc R

C/m rằng : $f(x)=(p(x))^2+ r(x)$ với p(x), r(x) thuộc R[x]và bậc deg(x) <n

2, cho $\alpha \epsilon R$ sao cho $\alpha \neq 0$:

C/m rằng mọi $x\geqslant 2$ thì:  $p(x)= x^nsin\alpha -x(sin(n\alpha))+sin(n-1)\alpha \vdots x^2-2xcos\alpha+1$

3, P(x), Q(x),R(x),S(x) thuộc R[x]sao cho:

$P(x^5)+xQ(x^5)+x^2 R(x^5)= (x^4+x^3+x^2+x+1)S(x)$

C/m: $p(x)\vdots (x-1)$

đề thi cấp tỉnh nè mn

Bài 3: Cho dãy số $u_{n}$ xác định

 $\left\{\begin{matrix}u_{1}=1 \\ u_{n+1}=5u_{n}+\sqrt{Ku_{n}^{2}-8} \end{matrix}\right.$
Tìm K nguyên dương sao cho mọi số hạng của dãy $u_{n}$ đềulà số nguyên

$U_2=5+ \sqrt{k-8}$

$\sqrt{k-8}=t^2$

$u_3= 25+5t +\sqrt{(t^2+8)(t+5)^2-8)} \Rightarrow (t^2+8)(t+5)^2-8$ la so chinh phuong

rồi ((t^2+8)(t+5)^2-8 chặn giữa 2 số chính phương là (t^2 +5t +4)^2 và (t^2+5t+14)^2

t=4

k=24

thử lại vs k=24 thi $U_n = 10U_n-1 - U_n-2 là 1 số nguyên

Oh, có sự trùng hợp ngẫu nhiên.Thầy mình cũng ra bài tập này nè.

C/m : P,O,I thẳng hàng và IO= PO/2= R/2

P/s : Bạn học trường nào vậy.Mình cũng ở Huế nè

Đây là đề thi hsg lớp 9 cấp tỉnh Quảng Bình năm nào đó mình ko nhớ nữa

Cho hình chóp S.ABC. M thuộc SA, N thuộc BC. K trdiem AN. X=SK giao MN. c/m X di động trên đt cố định

2/ 

28159=29* 971

Câu $2b$

Hệ pt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{12x^2}{9x^2+4}=y & & \\ \frac{12y^2}{9y^2+4}=z & & \\ \frac{12z^2}{9z^2+4}=x & & \end{matrix}\right.$

ĐK: $x,y,z>0$

Xét hàm $f_{(t)}=\frac{12t^2}{9t^2+4}$ với $t>0$

Lấy $t_1;t_2 \in (0;+\infty )$, $t_1 \neq t_2$

Xét thương $\frac{f(t_2)-f(t_1)}{t_2-t_1}=\frac{48(t_1+t_2)}{(9t_1^2+4)(9t_2^2+4)}>0$

$\Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$

Hệ trên $\left\{\begin{matrix} f(x)=y & & \\ f(y)=z & & \\ f(z)=x & & \end{matrix}\right.$

Không mất tính tổng quát. Giả sử $x \geq y \geq z$. Ta có

$y\geq z\Rightarrow f(y) \geq f(z)\Leftrightarrow z\geq x \Rightarrow x=z$

$x\geq z\Rightarrow f(x)\geq f(z)\Leftrightarrow y\geq x\Rightarrow x=y$

Vậy ta có $x=y=z$

Thay vào cần giải pt $12x^2=x(4+9x^2)\Leftrightarrow 9x^2-12x+4=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$ (tmđk)

Kết luận:

Vậy hệ pt đã cho có nghiệm $(x;y;z)=(\frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{3}{2})$

Bài 2: Tìm các chữ số $a, b$ và $n \epsilon N$ , biết $\overline{a7b} . n = 2819$

 

2819 là số nguyên tố vì vậy không tìm đc a,b thỏa mãn bài toán

đề thi hsg

Tam giác ABC,AB>AC, M,N là 2 điểm thuộc đường p/g trong, ngoài của góc  A.

CMR: a/ MB-MC<AB-AC

b/ NB+NC>AB+AC

Bài 2/

Theo gt, có: $\left\{\begin{matrix} x-1+9\vdots 3\\ x-6+14\vdots 7 \end{matrix}\right.\rightarrow x=21k-8=42h-8$

Đến đây thì dễ!!!

có cách khác nữa nè :v

Ta có (2;3) =(2;7)= (3,7)=1 nên hệ có nghiệm duy nhất

m= 2*3*7=42

m_1= 3*7=21            m_2=2*7 =14       m_3=2*3=6

$21 y\equiv 1 (mod2)$

$y\equiv 1 (mod2) chọn y_1 =1$

$14y\equiv 1 (mod 3)$

$y\equiv 2 ( mod 3 ) chọn y_2 =2$

6$y\equiv 1 (mod 7)$

y\$equiv 6 (mod 7)  chọn y_3 =6$

Vậy hệ có nghiệm là

$21* 0* 1 +14*2*1 +6*6* (-1)  \equiv 34 (mod 42)$

tìm lim

Chứng minh: $\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\geq \frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{b+2c+a}+\frac{1}{c+2a+b}$

$\frac{1}{a+3b}+frac{1}{a+2c+b} \geq \frac{2}{a+2b+c}

$\frac{1}{b+3c}+frac{1}{b+2a+c} \geq \frac{2}{b+2c+a}

$\frac{1}{c+3a}+frac{1}{c+2b+a} \geq \frac{2}{c+2a+b}

Cộng vế theo vế ->> đpcm    

Lần áp dụng BĐT schwarz và côsi ta có :

$\sum x+\sum \frac{1}{x}\geq \sum x+\frac{9}{\sum x}= (\sum x+\frac{9}{4\sum x})+\frac{27}{4\sum x}\geq 3+\frac{9}{2}=\frac{15}{2}$

 

Vậy ta được đpcm . Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

1/2 chứ???

Thưa ban quản trị, 

cho em hỏi bạn em là Huong TH Phan trả lời cái topic này, sao lại bị ĐHV nhắc nhở ạ!

Mong BQT xem xét.

Nguồn: http://diendantoanho...-2/#entry522891

Em và bạn ấy cám ơn,

Cho a,b,c>0. 

CMR: $\sum \frac{a+b}{ab+c^2}\geq 4.\sqrt{1+\frac{3abc}{\sum (a+b)^3}}$

Mình lập topic này để dành cho các bạn sinh năm 2000 có thể có tài liệu đề thi HSG, và tuyển sinh 10 chuyên và không chuyên.

Lưu ý: Mỗi bài các bạn phải đánh số thứ tự, trình bày rõ ràng, mạch lạc.

Mỗi tuần, mình sẽ đăng 1 để, các bạn vào làm.

Mong là topic sẽ được đông đảo các bạn ủng hộ.

Chúc các bạn thành công.

Đề số 1: Thời gian: 150 phút

1. Cho biểu thức:

P=$\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}:\frac{1}{x^2-\sqrt{x}}$

Q=$x^4-7x^2+15$ với x>0, x khác 1.

1) Rút gọn P.

2) Với giá trị nào của x thì Q-4P đạt GTNN.

2. Cho các số x,y thỏa mãn: $x^4+x^2.y^2+y^4=4; x^8+x^4y^4+y^8=8$

Tính: $A=x^{12}+x^2.y^2+y^{12}$

3. 1) Tìm các số nguyên dương x,y thỏa mãn: $2(x+y)+xy=x^2+y^2$.

2) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a,b,c thỏa mãn: $a^2+b^2>5.c^2$. CMR: $c<a; c<b$.

4. Cho tam giác ABC cân ở A. Một đường tròn (O) có tâm O nằm trong tam giác, tiếp xúc vs AB,AC lần lượt là X,Y và cắt BC tại 2 điểm, một trong 2 điểm này kí hiệu là Z. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AZ. CMR:

1) Tứ giác HXBZ, HYCZ nội tiếp.

2) HB, HC theo thứ tự đi qua trung điểm XZ, YZ.

5. Giải phương trình: $\frac{x^2}{(x+2)^2}=3x^2-6x-3$

Gpt nghiệm nguyên:

$(2.b^2+ab+a^2)(2b-a)+b+13=0$

Các bài toán tổ hợp

1,có bao nhiêu số có 3 c/số # tạo thành từ các c/ số 1,2,3,4,6,7,9 thỏa mãn là số chẵn và lớn hơn 345
2. Tính số các stn chẵn có 3 c/số và chia hết cho 9
3. Tính số các stn có 3 c/số và chia hết cho 4