Chứng minh định lý Simson mở rộng của hai tác giả Nguyễn Lê Phước và Nguyễn Chương Chí

 Chung_minh_dinh_ly_mo_rong_duong_thang_Sim_Son.pdf   429.42K   711 Số lần tải

Thấy có bài báo này trên trang web của trường đại học Princeton, mọi người cho ý kiến nhé

http://www.princeton.edu/~aloo/fermat

Mở rộng định lý Napoleon kết hợp với một lục giác:

Cho $ABCDEF$ là một lục giác bất kỳ, dựng ba tam giác đều $AGB$, $CHD$, $EIF$ cùng ra ngoài hoặc cùng vào trong(hình vẽ đính kèm là dựng ra ngoài). Ta gọi $A_1,B_1,C_1$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $FGC, BHE, DIA$ và $A_2,B_2,C_2$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $EGD, AHF, CIB$. Khi đó hai tam giác $A_1B_1C_1$ và $A_2B_2C_2$ là các tam giác đều và chúng thấu xạ.

Định lý Gossard và một phiên bản mở rộng đẹp. 

http://tube.geogebra...student/m645553

 Xét tam giác $ABC$ , đường thẳng $L$ cắt đt Euler của $ABC$ ở $D$ và $L$ cắt $BC$ , $CA$ , $AB$ lần lượt ở $A_0 , B_0 , C_0$ . Gọi $(H_a,O_a) , (H_b,O_b) , (H_c,O_c)$ lần lượt là trực tâm, tâm ngt của $AB_0C_0,BC_0A_0,CA_0B_0$. Gọi $D_a , D_b , D_c$  nằm trên đt Euler  $AB_0C_0,BC_0A_0,CA_0B_0$ thỏa mãn: 

\[ \frac{\overline{D_aH_a}}{\overline{DaOa}}=\frac{\overline{D_bH_b}}{\overline{D_bO_b}}=\frac{\overline{D_cH_c}}{\overline{D_cO_c}} \space=\frac{\overline{DH}}{\overline{DO}}=t  \].

Tam giác $A_1B_1C_1$ tạo bởi 3 đường thẳng qua $D_a,D_b,D_c$ song song $BC , CA , AB$

Chứng minh:

1-$A_1B_1C_1$ vị tự và đối xứng với $ABC$ qua một điểm nằm trên đường thẳng $L$. Khi $t=\infty$  hoặc đường thẳng $L$ trùng với đường thẳng Euler vấn đề này suy biến thành định lý Zeeman-Gossard.

2-Đường thẳng Newton của bốn tứ giác tạo bởi các đường thẳng $(AB,BC,CA,L)$, $(AB,AC,B_1C_1,L)$, $(BC,BA,C_1A_1,L)$ và $(CA,CB,A_1B_1,L)$ cũng đi qua tâm vị tự của hai tam giác $ABC$ và $A_1B_1C_1$

(Phạm Khoa Bằng dịch từ Geogebratube)

Một mở rộng rất đẹp của định lý đường thẳng Simson. 

Cho tam giác ABC, và đường thẳng L đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của ABC. Cho một điểm P trên đường tròn ngoại tiếp. Cho đường thẳng AP,BP,CP cắt đường thẳng L tại Ap,Bp,Cp. A0,B0,C0 là chân đường cao của các điểm Ap,Bp,Cp lần lượt lên ba cạnh BC,CA,AB tạo thành các điểm thẳng hàng. Đường thẳng này chia đôi trực tâm và P. Khi P nằm trên đường thẳng L thì đường thẳng A0B0C0 là đường thẳng Simson nổi tiếng.

Hình động: http://tube.geogebra...student/m527653

Mở rộng định lý Napoleon liên hệ với đường Kieppert hyperbola.

Cho $ABC$ là một tam giác, $F$ là điểm Fermat(thứ nhất hoặc thứ 2). $K$ là điểm nằm trên đường hyperbol Kiepert, $P$ là điểm nằm trên đường thẳng $FK$. $A_0$ là giao điểm của đường thẳng qua $P$ vuông góc với $BC$ và đường thẳng $AK$, định nghĩa $B_0,C_0$ tương tự. Chứng minh rằng $A_0B_0C_0$ là tam giác đều vị tự của tam giác Napoleon (ngoài hoặc trong)