Thầy giáo Hoàng Ngọc Thế do giàu quá không biết để tiền đâu cho hết nên bỏ tiền ra mua $2$ CHIẾC BPHONE của anh Quảng nổ. Sau khi xài xong thì mới biết là chất lượng quá chán nên quyết định chơi trò chơi sau.

Thầy đặt vé vào TP HCM, sau đó đến toà nhà BITEXCO $163$ tầng, sau đó thầy thử leo lên $1$ tầng bất kỳ và ném cái BPHONE xuống. Thầy thắc mắc không biết ném thấp nhất từ tầng nào trở lên thì cái BPHONE đó sẽ bể.
(Giả xử tầng $20$ là tầng nhỏ nhất để cái BPHONE bể, thì từ tầng $21$ trở lên chắc chắn cái BPHONE đó cũng sẽ bể nếu ném xuống)

Theo bạn, với $2$ cái BPHONE đó, thầy Thế cần ít nhất bao nhiêu lần ném để biết chính xác cái tầng tối thiểu mà BPHONE khi ném từ tầng đó chắc chắn bể. Coi là sức chịu đựng của $2$ cái BPHONE là như nhau.

mới làm đc bài bước nên up tạm, có time giải tiếp , nếu f(0) khác 0 thay y=0 x bởi f(0) suy ra f(0).f(f(0))=f(f0)/f(0) +f(0)   đặt f(0)=a suy ra a^2.f(a)=f(a)^2  +a^2 
suy ra a^2.(f(a)-1)= f(a)^2 suy ra a^2=f(a)^2/f(a)-1 thuộc Z suy ra f(a)-1 /f(a)^2 giải ra suy ra f(a)=0 hoặc 2
nếu f(a)=0 suy ra ngay a=0 vậy f(a)=2 suy ra a^2=4.............
 

cho x=y=0 suy ra không tồn tại hàm thỏa mãn 

bài 1 có liên quan đến hàm phần nguyên , mình cũng ko nhớ rõ nhưng chỉ cần biết hàm còn bước quy nạp đơn giản

cần gì nhân tử lagrange , bài này dùng sơ cấp được 

Bài này không cần quá phức tạp gọi p là ước nguyên tố bé nhất của n
Suy ra p/a^n-1 đặt h =ord_a(p)
Nếu (a;p) khác 1 thì suy ra p/a suy ra ngay vô lý nên (a;p)=1
Suy ra h/(p-1)
h/n
Vậy h=1 suy ra p/ a-1 suy ra p=2 vô lý suy ra đpcm

Đề sai mà :v

Cho x1=1 và x2=0 thì có ngay f(1)=1, f(0)=0 hoặc f(1)=0, f(0)=1 xét 2 trường hợp
Th1 f(1)=1 thì f(0)=0 thì trong đề thay x2=0 thì có ngay f(x)>=x
Cũng trong đề thay x1=1 x2 bởi x thì có 1-f(x)>=1-x suy ra f(x) <=x vậy f(x)=x
Trường hợpp còn lại tương tự nhé , f(x)=1-x

Cho x=y=1 có f(1)=1
Cho y=1 thì có 2x.f(x)>=x^2+f(x^2) (1)
Cho x=y=0 có f(0)=0 ta xét x khác 0 ,
Cho y=x ta có x.f(x^2)+x^2.f(x) >=f(x).f(x^2) +x^3 suy ra x^2.(f(x)-x)>=f(x^2)(f(x)-x) (2)
Nếu tồn tại x để f(x^2)<0 thì từ (2 )suy ra f(x)>=x với mọi x
Nếu tồn tại x để f(x)>x thì từ (2) ta cũng có ngay f(x^2)<x^2 vô lí suy ra f(x)=x nên f(x^2)=x^2 vô lý do ta gs tồn tại f(x^2)<0
Vậy f(x^2)>=0 với mọi x nên từ 1 ta có f(x) >=x/2 với mọi x >0 suy ra f(x^2)>=x^2/2 suy ra 2xf(x)>=(3/2 ).x^2 từ đây lại có f(x) >=3/4 x với mọi x cứ làm tương tự (thực ra xét dãy số ) thì có ngay f(x)>=x với mọi x >0
Bây giờ trong(2) gs tồn tại x để f(x) >x thì suy ra f(x^2)<x^2 vô lý vậy f(x)=x với mọi x >0
Tương tự với x<0 ta có ngay f(x)<=x từ (1)
Sau đó làm tương tự như trên cũng có ngay f(x)=x với mọi x<0
Kết luận f(x)=x với mọi x thuộc R

A cũng cơ biết đâu , đề bài e đăng mà

bài này dùng phương pháp kẹp
f(1)=1 f(2^n)=4^n
chú ý với mọi m và k thì tồn tại l để 4^l<=m^(2k)<=4^(l+1) suy ra 2^l<=m^k<=2^(l+1)
do tính tăng suy ra f(2)^l<=f(m^k)<=f(2)^(l+1) chia cả hai vế cho m^2k thì 
ta có 1/4 <=f(2)^l/m^(2k)<=(f(m).m^2)^k <=f(2)^(l+1)/m^2k <=4
nếu f(m)>m^2 thì cho k đủ lớn suy ra ngay vô lý 
nếu f(m)<m^2 cũng chọn k đủ lớn suy ra 0>=1/4 cũng vô lý nên f(m)=m^2

thanh niên viết nhầm đề rồi

bài 1 thực ra rất dễ , thay y bởi x thì 2xf(x)=2xf(x)^2 suy ra f(x)= 0 hoặc bằng 2 với mọi x khác 0 

cho x=0 vào bài thì có ngay f(0)=0 hoặc 1
néu f(1)=1 thay y=1 thì có x+f(x)=(x+1)f(x) suy ra f(x)=1 với mọi x khác 0
và f(0)=0 hay 1 đều ok , thử lại thấy đung
nếu f(1)=0 cho x=1 thì được f(y)=0 với mọi y 

phương trình trên có quá nhiều nghiệm nguyên mà 

cho y=1 thì f(xf(1))=f(2x) do hàm đon điệu nên xf(1)=2x

dễ thấy f(1)=2 khi thay y=1 
nếu f(1/2)=t >1 thay y=1/2 thì ta có f(tx)=1/2f(2x) do t>1 nên f(tx)>f(x) suy ra 2f(x)<f(2x) thay x=1/2 ta có f(1)>2f(1/2) suy ra 2>2t suy ra t<1 vô lý

nếu t<1 cũng tương tự ta có f(x) >1/2f(2x)  suy ra 2t>2 vô lý vậy f(1/2)=1 chú ý do f(0)=0 mà f(1)=2 nên f(x) >0 với mọi x>0

đến đây dễ rồi cho y=1/2 ta có 2f(x)=f(2x)
có ngay f(2)=4 cho x=1 thì có f(f(y)=4y 
thay y bới f(y) vào đầu bài được f(x.4y)=2f(y).f(2x)

đặt f(x)=2.g(x) thì có g(xy)=g(x).g(y) hàm cơ bản đơn điệu thì có ngay g(x)=x suy ra f(x)=2x với mọi x thuộc R

Câu tổ hợp ngày 2 quy nạp đơn giản , ngày 1 để ý chút quy luật là xong ,

Câu bđt 2 ngày

thực ra với mọi k >=(căn3-1)/2 thì dấu bằng xảy ra khi  hai biến bằng nhau và 1 số lại bằng 0 , chứng minh bằng dùng hàm số đơn giản thôi

bài toán trên mà là tổng quát ? tìm gtnn theo k mới là bài toán tổng quát , ở trên k là 16/5 đã lớn hơn (căn3-1)/2 khá nhiều 

phần b có cách khác như sau ta chỉ cần cm đc $(a+b+c)^6>=81(abc)(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$ do $3abc(a+b+c)\leq (ab+bc+ca)^2$ nên ta cm 
$27(ab+bc+ca)^2(a^2+b^2+c^2) \leq (a+b+c)^6$ , hiển nhiên đúng do nếu đặt $a^2+b^2+c^2=x$; $ab+bc+ca=y$ thì bđt tương đương $(x+y+y)^3\geq 27x.y.y$ theo am gm đúng 

phần a thì nhìn có vẻ khó nhưng thực chất ko quá khó như mình nghĩ 

bài trên sử dụng dồn biến về biên  dấu bằng khi 1 số bằng 0 ,2 số còn lại bằng nhau g/s a>=b>=c>=0

 chuẩn hóa a+b+c=2 thì ta cần cm (a+b+c) (1/(a+b) +1/(b+c)+1/(c+a))+8(a+b+c)^2/5(a^2+b^2+c^2)>=41/5

dồn biến f(a;b;c)>=f(a;b+c;0) bằng nhóm đơn giản tương đương với bc [64/(5(a^2+b^2+c^2)(a^2+(b+c)^2))- ((2a+b+c)/(2(a+b)(a^2+ac))]>=0

do bc >=0 rồi nên chỉ cần cm 128(a+b)(a^2+ac)>=5(a^2+b^2+c^2)(a^2+(b+c)^2)(2a+b+c)  trông có vẻ lằng nhằng nhưng cái này đánh giá bừa cũng đc

chú ý a^2+b^2+c^2 <=2(a^2+ac) và 2(a+b)=(a+b+c)(a+b)>=a^2+(b+c)^2  nên ta chỉ cần cm 32 >=5(2a+b+c) hiển nhiên đúng do 2a+b+c<=4 

còn lại thì đơn giản rồi

lg  của huy  thiếu trường hợp f(2)=0