Một số kiến thức nâng cao hơn nữa:

   Daniel Alpay-An Advanced Complex Analysis Problem Book_ Topological Vector Spaces, Functional Analysis, and Hilbert Spaces of Analytic Functions-Birkhäuser (2015).pdf   4.35MB   128 Số lần tải

   John_Wermer__(auth.)_Banach_Algebras_and_Several(BookZZ.org).pdf   3.52MB   45 Số lần tải

Hai tài liệu này chưa hoàn thiện lắm nhưng coi cũng được :

 Hilbert space operators_ a problem solving approach.rar   2.11MB   42 Số lần tải

 Hilbert space operators_ a problem solving approach.rar   2.11MB   42 Số lần tải

Mở rộng sơ bộ mảnh lý thuyết toán tử trên không gian hilbert và banach + đại số các toán tử :

 Richard_V._Kadison,__John_R._Ringrose__(auth.)_F(BookZZ.org).pdf   9.93MB   71 Số lần tải  Richard_V._Kadison_and_John_R._Ringrose_(Eds.)_F(BookZZ.org).pdf   8.56MB   69 Số lần tải  (Graduate Studies in Mathematics, V. 51) Y. A. Abramovich, Charalambos D. Aliprantis-Problems in Operator Theory-Amer Mathematical Society (2002).pdf   11.3MB   102 Số lần tải

Một tài liệu bổ sung thêm :

   giải tích hàm ( đại cương )+ giải tích thực :  (Graduate Studies in Mathematics) Alberto Torchinsky-Problems in Real and Functional Analysis-American Mathematical Society (2015).pdf   19.43MB   33 Số lần tải

giải tích hàm + ứng dụng trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng ( sơ bộ):  Functional Analysis Sobolev Spaces and Partial DifferentialEquationsH Brezis (1).pdf   2.72MB   57 Số lần tải

giải tích hàm đại cương phần này nâng cao hơn so với chương trình đang hiện hành:  Yuli_Eidelman,_Vitali_Milman,_Antonis_Tsolomitis(BookZZ.org).pdf   16.72MB   48 Số lần tải

lý thuyết về các không gian hibert :  Halmos P. A Hilbert space problem book (2ed., Springer, 1982)(T)(387s)(KA)_MCf_.pdf   15.37MB   55 Số lần tải

Giai tich ham dai cuong: Quyển :Exercises in functional analysis vượt quá giới hạn tải : các bạn có thể tra trên google trên trang web bookzzorg .

Giai tich hàm chuyên sâu và chi tiết + phi tuyến : Quyển Exercises in Analysis part 1 ,part2 : cũng có thể kiếm trên trang bookzzorg.

           Mong các bạn nào quan tâm đến lĩnh vực này hãy cùng chia sẻ một số tài liệu mà bạn có lên diễn đàn ( các sách bài tập hoặc các file đề thi )

Đây là một số file tài liệu về giải tích hiện đại rất cần thết cho các bạn sinh viên năm 3 và năm 4 của hệ sư phạm toán học , mong rằng nó sẽ giúp ích phần nò trong quá trình học tập và ngiên cứu của các bạn.

Lý thuyết tô pô:  Mohammed_Hichem_Mortad_Introductory_topology__e(BookZZ.org) (1).pdf   1.47MB   246 Số lần tải

Lý thuyết độ đo+topo:  Charalambos_D._Aliprantis,_Owen_Burkinshaw_Probl(BookZZ.org).pdf   19.99MB   51 Số lần tải

Đây là một số file tài liệu về giải tích hiện đại rất cần thết cho các bạn sinh viên năm 3 và năm 4 của hệ sư phạm toán học , mong rằng nó sẽ giúp ích phần nò trong quá trình học tập và ngiên cứu của các bạn.

Lý thuyết tô pô:  Mohammed_Hichem_Mortad_Introductory_topology__e(BookZZ.org) (1).pdf   1.47MB   246 Số lần tải

Lý thuyết độ đo+topo:  Mohammed_Hichem_Mortad_Introductory_topology__e(BookZZ.org) (1).pdf   1.47MB   246 Số lần tải

l

 ta chứng minh được $det(A^{2}+E)=\left | det(A-iB) \right |^{2}$ .

ta chứng minh được dễ dàng $(A-B)^{3}=(A-B)\Rightarrow det(A-B)$ có thể bằng 0 ,1 ,-1 . Phần sau mình lấy ví dụ là xong , phần này nhường cho các bạn tìm

nếu ta xét ma trận gốc đề bài cho ở dạng A+I  thì dễ dàng nhận thấy rank A=1 nên 0 là một giá trị riêng của A với số bội là n-1 giá trị riêng còn lại sẽ là $a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$ từ đó suy ra đa thức đặc trưng  rồi suy ra det A . Em có thể tham khảo cách này sau khi đã hiểu rõ về giá trị riêng của ma trận

bài này mình nghĩ là ra đề chắc đánh máy bị lộn rồi phải là $det(A+xI_{n})$ mới có cái hay ho để làm. Ta dễ dàng nhận thấy rankA=1 suy ra 0 là một giá trị riêng của A nên số bội của 0 trong đa thức đặc trưng của A là n-1 .Gọi x là giá trị riêng còn lại thì ta có trA=x=$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ ta suy ra $det(A-xI_{n})=(-x)^{^{n-1}}(x-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6})$ . Phần còn lại ai siêng tính là ra thôi . Đề gốc làm tương tự nhưng giá trị riêng còn lại thay bằng $\frac{xn(n+1)(2n+1)}{6}$ lập luận phần sau y xì

Đây là một bộ tài liệu đầy đủ về giải tích hiện đại dành riêng cho sinh viên ngành toán do dung lượng lớn nên mình chia sẻ trên google drive , các bạn có thể tìm theo từ khóa " Treatise in analysis ". Bộ sách này mình kiếm còn thiếu hai chương cuối bạn nào có có thể cho mình xin .

Cho mình hỏi ai có file cuốn " Exercises in Functional Analysis" của tác giả Dumitro Popa cho mình xin . Rất cảm ơn các bạn.

Đây là một bài toán về tính giới hạn hàm số do mình đề xuất 

Bài toán. Tính giới hạn

$lim_{x\rightarrow \infty }\left \{ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}sin\frac{(2k-1)}{2n}arctan\frac{x-cos\frac{(2k-1)\pi }{2n}}{sin\frac{(2k-1)\pi }{2n}}-\frac{1}{2n}cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}ln(x^{2}-2xcos\frac{(2k-1)\pi }{2n}+1)\right \}$

Còn đây là đáp số :$\frac{\pi }{2nsin\frac{\pi }{2n}}+\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}sin\frac{(2k-1)\pi }{2n}arctancot\frac{(2k-1)}{2n}$.  

ngày thứ nhất   imc2015-day1-solutions.pdf   195.86K   468 Số lần tải

ngày thứ hai   imc2015-day2-solutions.pdf   184.21K   294 Số lần tải

 Mong đây sẽ là những tài liệu có ích với các bạn đam mê toán học

Mình xin giới thiệu dưới đây một số bài toán tích phân một biến phức tạp + file hướng dẫn giải đính kèm.

Bài toán(AMM-11148). Tính tích phân

I=$\int_{0}^{\infty }\frac{x^{8}-4x^{6}+9x^{4}-5x^{2}+1}{x^{12}-10x^{10}+37x^{8}-42x^{6}+26x^{4}-8x^{2}+1}dx$

Đáp số: $I=\frac{\pi }{2}$

File lới giải: ( Phương pháp thặng dư trong giải tích phức )  AMM11148.pdf   77.26K   104 Số lần tải

Bài toán ( Belarus-2009) Tính tích phân

$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{cosxdx}{e^{x}+cosx-sinx}$

Đáp số:$I=\frac{1}{2}ln2$

File lời giải:( Một biến đổi đơn giản + một chút tinh tế)  2009.pdf   143.24K   120 Số lần tải

Bài toán (Asymmetry - ?) Tính các tính phân sau:

   $I=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}xln(1-cosx)dx$  và $J=\int_{0}^{\infty }\frac{ln(cos^{2}x)}{1+e^{2x}}dx$

Đáp số : $I=\frac{35}{16}\zeta (3)-\frac{\pi ^{2}ln2}{8}-\pi G$, trong đó $\zeta$ kí hiệu cho hàm zeta Riemann còn G là hằng số Catalan

              $J=-\frac{(ln2)^{2}}{2}$

File lời giải: (tích phân thứ nhất có liên quan đến Khai triển chuỗi+ Lý thuyết chuỗi lượng giác  còn tích phân thứ hai có liên đề cập thêm đến chuỗi bội )

 AsymmetryV4Nov2013(Kouba).pdf   101.3K   184 Số lần tải

Mình xin bổ sung thêm một chứng minh ngắn sử dụng các kiến thức về ma trận + số phức

  Cho A,B,C đôi một giao hoán nên ở đây các tính toán trên ma trận tương tự như các tính toán đại số thông thường .

  Ta lưu ý đến đẳng thức sau: $a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca=(a+\varepsilon b+\varepsilon ^{2}c)(a+\varepsilon ^{2}b+\varepsilon c),\varepsilon =e^{\frac{2\pi i}{3}}$.

  Thay a, b,c bằng các ma trận A,B,C $\in M_{2}(\mathbb{R})$ta được

$det(A^{2}+B^{2}+C^{2}-AB-BC-CA)=det(A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C)det(A+\varepsilon ^{2}B+\varepsilon C)$

        $=det(A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C)det(\overline{A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C})=det(A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C)\overline{det(A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C)}$

 $=\left | det(A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C) \right |^{2}\geqslant 0$

Bài toán (AMM11270) Gọi $S_{n}$ là ma trận vuông cấp n có các phần tử thuộc tập $\left \{ 1,2,...,n^{2} \right \}$ .Các phần tử được sắp xếp theo hình xoắn ốc theo chiều tăng của các giá trị.

Tính $detS_{n}$.

Đáp số: $detS_{n}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}4^{n-1}\frac{3n-1}{2}\prod_{k=0}^{n-2}\left ( k+\frac{1}{2} \right )$

File lời giải:

   AMM11270.pdf   63.73K   142 Số lần tải

Tiếp theo chúng ta sẽ ôn tập lại phương pháp giá trị riêng thông qua một ví dụ nhỏ.

Bài toán ( Saint Peterburg -2007) Cho ma trận $M=(m_{ij})_{n\times n},$ trong đó $m_{ij}=\begin{cases} a_{i}a_{j} & \text{ }i\neq j \\ a_{i}^{2}+k& \text{ if } i= j \end{cases}$.

Tính detM.

Lời giải. 

Đặt: $A=\begin{pmatrix} a_{1}^{2} &a_{1} a_{2} & ... & a_{1}a_{n}\\ a_{2}a_{a} &a_{2}^{2} &... & a_{2}a_{n}\\ ...& ... &... &... \\a_{n}a_{1} &a_{n}a_{2} & ... &a_{n}^{2} \\ & & & \end{pmatrix}$

thì khi đó detM=det(A+kE), trong đó E là ma trận đơn vị cấp n.

  Dễ dàng nhận thấy rankA=1 do đó 0 là một giá trị riêng của ma trận A và có số bội là n-1 nên giá trị riêng còn lại sẽ là $a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}$ nên ta suy ra đẳng thức bên dưới đây

              $det(A-\lambda E)=(-1)^{n}\lambda ^{n-1}(\lambda -(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}))$.

Thay $\lambda =-k$ ta sẽ thu được đáp án cho câu hỏi ban đầu là $k^{n-1}(k+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})$.

 Bên dưới đây là một file đề thi bằng tiếng Nga dành cho các bạn nghiên cứu thêm

   2007.pdf   172.63K   183 Số lần tải

Mấy bài này mình giới thiệu thêm cho các bạn chứ các bài này có tính thách đố cao chẳng thua các bài toán olympc ở Phổ thông

Bài toán ( BELARUS 2006) Tất cả các hàm số $f,g: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn

$\begin{cases} (f(x))^{3} -3f(x)(g(x))^{2}=cos3x& \\ 3(f(x))^{2}g(x)-(g(x))^{3}=sin3x& \end{cases}$

với mọi x.

 Đáp số : $f(x)=cos(x+j\frac{2\pi }{3})$ và $g(x)=sin(x+j\frac{2\pi }{3})$, trong đó j$\in \left \{ 0,1,2 \right \}$

  File bên dưới đây sẽ gợi ý cho các bạn cách giải quyết bài toán này. Lưu ý là ở đây ta đặt bài toán là tìm tất cả các hàm số có thể nên lời giải trong file chỉ mang tính tham khảo.

 2006-B.pdf   58.39K   103 Số lần tải

Bài toán.( Belarus 2004) Gỉa sử A,B,C,D là các ma trận vuông cấp n thỏa $AD^{T}-BC^{T}=E$ , trong đó E là ma trận đơn vị cấp n và $AB^{T}$ và $CD^{T}$ là các ma trận đối xứng.

  Chứng minh rằng : $A^{T}D-C^{T}B=E$.

  Dưới đây là file chứa lời giải ( tiếng Belarus ) các bạn chịu khó xài google dich .

 2004-A.pdf   143.08K   149 Số lần tải 

Bài toán ( AMM-11709). Tính tích phân

 $\int_{0}^{\infty }\int_{0}^{x}\frac{cos(x-y)-cosx}{y}dydx$

ĐS: $I=\frac{\pi ^{2}}{6}$

Bài toán (AMM-11650) Tính tích phân

$\int_{0}^{\infty }\int_{x}^{\infty }e^{-(x-y)^{2}}sin(x^{2}+y^{2})\frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}dydx$

ĐS: $I=\frac{1}{4}arctan2-\frac{1}{16}ln5-\frac{\pi }{8}$

Bài toán ( AMM-11277) Tính tích phân

$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{ln(2-sin\theta cos\phi )}{2-2sin\theta cos\phi +sin^{2}\theta cos^{2}\phi }d\theta d\phi$

ĐS:$I=\frac{\pi ^{2}ln2}{16}$

Bài toán (AMM-11275). Tính tích phân

 $\int_{0}^{\infty }\int_{y}^{\infty }\frac{(x-y)^{2}ln\left ( \frac{x+y}{x-y} \right )}{xysinh(x+y)}dxdy$

ĐS: $\frac{\pi ^{2}(\pi ^{2}-8)}{16}$

Tiếp theo là một số bài toán tính toán định thức có trên tạp chí American Mathematical ....

Bài toán ( AMM-11179) Cho các số nguyên dương i, j đặt $m_{i,j}=\left\{\begin{matrix} -1 &i+1\equiv 0(mod j) \\0 & i+1\not\equiv 0(modj) \end{matrix}\right.$.Gỉa sử $M_{n}$ là ma trận vuông cấp n-1 có phần tử (i,j) là $m_{i,j}$.

  Chứng minh rằng $det(M_{n})=\mu (n)$, trong đó $\mu$ là hàm Mobius . ( Tạp chí Epsilon)