Câu 3:

câu 1. 

phần 1 phá ngoặc rồi phân tích là được đpcm

phần mình nghĩ là $4a+b+\sqrt{ab}=1\Leftrightarrow (2\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}=1-5\sqrt{ab}$

lại có$(2\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}\geqslant 0$do đó$1-5\sqrt{ab}\geqslant 0\Leftrightarrow \sqrt{ab}\leqslant \frac{1}{5}\Leftrightarrow ab\leq \frac{1}{25}\Leftrightarrow \frac{1}{ab}\geq 25$hayP$\geq 25$

dấu = dễ dàng tìm đc

           ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM                                                          ĐỀ THI TUYẾN SINH LỚP 10

TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU                                                            Năm học: 2015-2016

           HỘI ĐỒNG TUYẾN SINH                                                             Môn thi: Toán (không chuyên)

                                                                                                      Thời   gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề

 

Bài 1: (2 điểm)

a) Giải phương trình:$(x^2-9)\sqrt{2-x}=x(x^2-9)$

b) Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} (x^2+4y^2)^2-4(x^2+4y^2)=5 & \\3x^2+2y^2=5 & \end{matrix}\right.$

Bài 2: (1,5 điểm) Cho phương trình $\frac{(x-2m)(x+m-3)}{x-1}=0 (1)$

a) Tìm $m$ đề phương trình $(1)$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$

b) Tìm $m$ để $x_1^2+x_2^2-5x_1x_2=14m^2-30m+4$

Bài 3: (1,5 điểm) a) Rút gọn $Q=(\frac{3+\sqrt{x}}{3-\sqrt{x}}+\frac{3-\sqrt{x}}{3+\sqrt{x}}-\frac{36}{x-9}):\frac{\sqrt{x}-5}{3\sqrt{x}-x} (x>0;x\neq 9;x\neq25)$

                           b) Tim $x$ để $Q<0$

Bài 4: (2 điểm):

a) Cho một tam giác vuông. Nếu ta tăng độ dài mỗi cạnh góc vuông thêm $3cm$ thì diện tích tăng $33 cm^2$; nếu giảm độ dài một cạnh vuông đi $2cm$ và tăng độ dài cạnh vuông còn lại lên $1cm$ thì diện tích giảm $2cm^2$. Hãy tính độ dài các cạnh góc vuông.

b) Bạn An dự định trong khoảng thời gian từ ngày $1/3$ đến $30/4$ sẽ giải mỗi ngày $3$ bài toán. Thực hiện đúng kế hoạch một thời gian, thì đến cuối tháng $3$ ( tháng $3$ có $31$ ngày), thì An bị bệnh phải nghỉ giải toán nhiều ngày liên tiếp. Khi hồi phục, trong tuần đầu tiên An chỉ giải được $16$ bài; sau đó An cố gắng giải $4$ bài một ngày, và đến $30/4$ thì An cũng hoàn thành đúng kế hoạch đã định. Hỏi bạn An đã nghỉ giải toán ít nhất bao nhiêu ngày?

Bài 5: Hình bình hành $ABCD$ có tam giác $ADC$ nhọn, $\widehat{ADC}=60^{\circ}$. Đường tròn tâm $O$ ngoại tiếp $ADC$ cắt $AB$ tại $E$ ($E \neq A$), $AC$ cắt $DE$ tại $I$.

a) Chứng minh tam giác $BCE$ đều và $IO \perp DC$

b) Gọi $K$ là trung điểm của $BD$, $KO$ cắt $DC$ tại $M$. Chứng minh $A,D,M,I$ thuộc cùng một đường tròn.

c) Gọi $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Tính $\frac{JO}{DE}$

..............................................Hết.................................................

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Mời các cao thủ vô giải thử!

Câu 3:

a.Dễ rồi 

Mời các cao thủ vô giải thử!

Câu 5:

2)Theo nguyên lý Dirichlet: trong mặt phẳng $S$ có 3 điểm thỏa mãn 2 điểm bất kì có khoảng cách $k<1$ luôn tồn tại một đường tròn có tâm là điểm thuộc $S$ có bán kính $r=1$ chứa ít nhất $1$ điểm $\Rightarrow$ Với 3 điểm bất kì sẽ tồn tại ít nhất $1008$ điểm thuộc đường tròn có bán kính $r=1$

Nguồn: Thu Phương

Câu 1:

a)$x_{1}=\pm (4+\sqrt{8})$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:$\sum\frac{(b+c)^2}{2a^2+b^2+c^2} \leq 3 $
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta có:$\frac{b^2}{b^2+a^2}+\frac{c^2}{c^2+a^2} \geq \frac{(b+c)^2}{2a^2+b^2+c^2} $
Tương tự,cộng lại ta thu đc đpcm

Câu 5:

 

BÀI 5:

Ta có: $\frac{1}{M}=\frac{a + b +2}{ab} $

=$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{2}{ab}$

= $\frac{1}{a} + \frac{a}{2} + \frac{1}{b} + \frac{b}{2} - \frac{a+b}{2} + \frac{2}{ab}$

$ \geq \frac{2}{\sqrt[2]{2}} +    \frac{2}{\sqrt[2]{2}} - \sqrt[2]{2} + 1$

($ a^2 + b^2 =4 \Rightarrow ab \leq 2 và \sqrt[2]{ab} \leq \sqrt[2]{2}$)

=$\sqrt[2]{2} + 1$

$\Rightarrow M \leq \frac{1}{\sqrt[2]{2}+1}=-1 +\sqrt[2]{2}  $

dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=\sqrt[2]{2}$

Làm vậy có đúng không ạ?

câu 6.b: $P=\sum \frac{x^{2}y^{2}}{xy^{2}z^{2}+x^{2}y^{2}z}\geq \frac{(\sum xy)^{2}}{2xyz(xy+yz+zx)}=1$

câu 3:mình chỉ cm vế sau

ta có $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Leftrightarrow (a+b+c)^{2}\geq \left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )(a+b+c)\geq 9\Leftrightarrow a+b+c\geq 3\Leftrightarrow \sqrt{a+b+c}\geq \sqrt{3}$

 $\sum \sqrt{\frac{a^{4}}{a+3abc}}=\sum \frac{a^{2}}{\sqrt{(a+b)+(c+a)}}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\sum \sqrt{(a+b)+(c+a)}}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\sqrt{12(a+b+c)}}= \frac{(\sqrt{a+b+c})^{3}}{2\sqrt{3}}\geq \frac{(\sqrt{3})^{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{3}{2}$

Có cần phải phức tạp hóa bài toán lên không hả Phương

$\sum \frac{1}{2+a^2b}\geq 1\Leftrightarrow \sum \frac{a^2b}{2+a^2b}\leq 1$

Mặt khác ta có:$\frac{a^2b}{2+a^2b}\leq \frac{a^2b}{3\sqrt[3]{a^2b}}=\frac{1}{3}(a\sqrt[3]{ab^2})\leq \frac{1}{3}.\frac{1}{3}(a+b+b).a=\frac{1}{9}(a^2+2ab)$

CMTT:

$\frac{b^2c}{2+b^2c}\leq \frac{1}{9}(b^2+2bc)$

$\frac{c^2a}{2+c^2a}\leq \frac{1}{9}(c^2+2ac)$

$\Rightarrow \sum \frac{a^2b}{2+a^2b}\leq \frac{1}{9}(a+b+c)^2=1\Rightarrow \sum \frac{1}{2+a^2b}\leq 1$

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:

$\sum \frac{1}{2+a^{2}b}\geq \frac{9}{6+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$

Áp dụng bđt Bunchiacopxki: 
$\rightarrow \left ( a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a \right )^{2}\leq (a^4+b^4+c^4)(a^2+b^2+c^2)$ (1)
 Áp dụng lại bđt Cauchy-Schwarz:
$(a^2+b^2+c^2)\geq\frac{(a+b+c)^2}{3}=3$ (2)

$(a^4+b^4+c^4)\geq\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}\geq 3$ (3)

Từ (1),(2),(3), suy ra:

b) Trong dãy số: Có $9$ số có 1 chữ số, $90$ số có 2 chữ số, $900$ số có 3 chữ số và 1 số có 3 chữ số (1000)
Số chữ số tính đến hết số 699 là $9.1+90.2+600.3=1989$ chữ số.
Bắt đầu từ số 700 thì còn đúng $2016-1989=27$ chữ số nữa là đến chữ số thứ $2016$
Tức là đúng $27/3=9$ số có 3 chữ số từ 700 đến 708.

Đáp án cần tìm là chữ số $\large\boxed{8}$
Bình loạn: Câu này lẽ ra phải hỏi: "chữ số thứ $n$ là chữ số nào?" thì mới hay!
 

Câu III:

Gọi x là số 3 chữ sốcó chữ số cuối là chữ số thứ 2016

Ta có phương trình:
(x-100+1)3=2016-(9.1)-(90.2)

=>x=728<=>Chứ số thứ 2016 là 8