bài này có thể tồng quát thành

$a^{2n+1}+b^{2n+1}\geq a^{n}b^{n}(a+b)$

bài này là một dạng biến thể của singapo MO 2002 giải bằng holder cho các bộ sau $(a^3,b^3) (a^3,b^3,) (1,1)$

Tìm các số nguyên dương$x , y , z$ thỏa mãn 2 điều kiện sau

$\frac{x-y\sqrt{2011}}{y-z\sqrt{2011}}$ là số hữu tỉ và x²+ y² +z²là các số nguyên

giả thiết cho x,y,z nguyên dương vậy điều kiện 2 luôn đúng

bài này qui đồng rồi dùng canchy cho $\frac{x^3y}{2}+\frac{xy^3}{2} \geq x^2y^2$ và $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{xy^3}{2}+\frac{x^3y}{2}\geq 2xy$

bạn làm rõ ra được ko, mình chưa hiểu lắm  

bổ đề đầu MOAQ là tứ giác nội tiếp chứng minh bằng góc QMA =90-$\frac{BCA}{2}$=góc QOA chứng minh bằng các đường phân giác

bất đẳng thức tương dương $(x-y)^2(x+y) \geq 0$

gọi điểm đó là G thì G thuộc cung nhỏ BC sao cho GB=SC

giải

góc BAS=BJS=TAC=TAG suy ra G ko đổi

kẻ DN vuông AH, EM vuông AH suy ra tam giác DNA bằng tam giác AHB suy ra DN=AH chưng minh tương tự suy ra EM=AH vậy dến đây dễ rồi

bài 1) là IMO 1960 

giải

bổ đề số chia hết cho 11 suy ra tổng các chữ số hàng chẵn trừ các số hàng lẻ chia hết cho 11 suy ra b-a-c chia hết cho 11 suy ra b-a-c=0 hoặc 

b-c-a=11 

TH1 b-c-a=0 suy ra b=c+a thể vào đề biến đổi suy ra cần tìm nghiệm nguyên cho pt sau $10a+c=2a^2+2ac+2c^2$ đến đây nhiều cách giải nhưng cuối cùng suy ra c=0 hoặc c=2 rồi thế ngược cuối cùng thì ra $\overline{abc}=550$

TH2 b-c-a=11 làm tương tự suy ra $\overline{abc}=803$

S=pr mà các tam giác này cung chu vi và diện tích suy ra r ko đổi

a) dùng phương tích suy ra CNS đồng dạng CFA

b)gọi S là giao của TV và FC , kéo dài HF cắt (F) tại N  suy ra theo phương tích suy ra FNCH nội tiếp suy ra HCF=HNF=FHN  suy ra HS vuông góc FC suy ra dpcm 

thiếu ràng buộc giữa Ax và By rồi bạn mình đoán là song song vì nếu ko thì câu c sai để

1a)dùng vài bài toán cơ bản sau chứng minh đc MOAQ và NOPB là tứ giác nội tiếp rồi dùng tam giác dồng dạng suy ra $\frac{MP}{OP}=\frac{AP}{QP}$ , và dủng bổ đê sau AQPB nội tiếp suy ra $\frac{PQ}{AB}=\frac{AP}{BC}$ vậy để thỏa đề thì phải chứng minh BC.QP=AP.OB cái này đúng theo 2 tam giác đồng dạng là BOC và PQA  cái này động dạng góc góc chứng minh dễ dàng

b) câu này thì theo bổ đề câu a) suy ra E là tâm (AQB) vậy EQB=EBQ=QBC suy ra EQ song song BC suy ra dpcm

1)a) chứng minh bằn hình bình hành câu dùng tam giác AJE đồng đạng AIC suy ra cần chứng minh $ \frac{AE}{AC}=\frac{R}{OI}$ dúng theo cos 

b) ý đầu đùng công thức tinh diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông ý sau thì dùng ý đầu suy ra A là điểm chính giữa cung lơn BC 

c) dùng tịnh tiến suy ra M chạy trên đường tròn có tân tịnh tiến vuông góc với BC cách O một khoảng bằng AH với bán kình vẫn là R

gọi IE cắt AC tại M suy ra AME dồng dạng tam giác IAJ suy ra góc MAE= góc AIJ= góc AEJ suy ra AJED là hình bình hành suy ra AJ=DE=EC suy ra IE là trung trực của DC suy ra ID=IB mà ta có bổ đề IB=IC=IT suy ra BCDT nội tiếp đường tròn tâm I

đặt $\overline{abc}=x$ và $\overline{def}$ bằng y giải phương trình $100x+y=x^2+2xy+y^2$ dùng delta theo biến x suy ra $2500-99y=a^2$ cái này giải ra y có 3 giá trị là 0,1,5 thế vào chỉ có 0 thỏa xong

a=b=0 suy ra P bằng 2 

kéo dài CB cắt tiếp tuyến của A tại N suy ra góc CEA= góc ACB suy ra tam giác ACE đồng dạng tam giác NAC mà chứng minh được S là trung diểm NA mà O là trung điểm AC suy ra tam giác OCE đông dạng tam giác SAC suy ra góc CEO bằng góc ACS suy ra SC vuông với OE

2) bạn cần nói rõ a thuộc tập nào vì nếu ko thì a chỉ cần là số vô tỉ là thỏa đề

theo bồ đề về bộ 3 pytago ta gọi x,y,z là 3 cạnh tam giác vuông vậy x,y,z phải thỏa mãn x=2mn và y=$m^2-n^2$ và z=$m^2+n^2$ hoặc  y=2mn và x=$m^2-n^2$ và z=$m^2+n^2$ với z là cạnh huyền (m,n)=1 m>n  từ đây bạn thế vào giả thiết là diện tích bằng chu vi ra hai nghiệm 1 cái loại do ko thỏa  cái còn lại thì rút m theo n rồi thế vào 2 hệ trên thì ra đc 2 bộ nghiệm của bài toán

1a) $y=\frac{3x^3-5}{x}=3x^2-\frac{5}{x}$ suy x=1(loại) hoặc bằng x=5 (nhận)

a) điểm I là tâm nội tiếp đó bạn

b) AI là phân giác nên đi qua điểm chính giữa cung BC 

c) đường tròn có tâm là điểm chính giữa cung lớn BC bán kính từ điểm đó đến C

theo mình câu 2 diều kiện phải là $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}$

giải

quy đồng lên hết vậy ta phải chứng minh $9ab+9bc\geq 12ac+6b^2$ tương dương $36ab+36bc \geq 48ac+24b^2$ cái này  đúng theo giả thiết 

$\frac{4}{a+c}\leq\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}$ tương dương $2bc+2ab\geq 4b^2$ và $ab+bc=2ac$

Dựa vào cơ sở nào để biết mà xét hiệu $\frac{36x+3}{50}-\frac{x}{x^{2}+1}$ thế bạn?

nhờ đạo hàm xét tiếp tuyến đó bạn

ta có $\frac{1}{x^2+x} \geq \frac{5}{4}-\frac{3}{4}x$

nếu bạn quan tâm cách làm từ đâu có thể tham khảo phương pháp tiếp tuyến