AD=AB=AC=AE suy ra AM vuông DE

ta có AH.AO=BA.BA=AM.AN suy ra 

AH.AO=AM(AH+HN) suy ra AM.HN=AH.OM

AH.AO=AN(AH-HM) suy ra AN.HM=AH.ON suy ra AM/HN=AN.HM

Từ điểm A ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tiếp AB, AC đến đường tròn (O). Vẽ đường kính BD. Từ C vẽ CK vuông góc với BD.

AD cắt CK tại I.

 

Chứng minh: I là trung điểm của CK

kéo dài DC cắt AB tại K do BCK vuông tại C từ đó dễ dàng suy ra A là trung điểm BK từ đó suy ra BK song song CK từ dó đo A là trung điểm BK suy ra I là trung điểm CK

  Cho tam giác ABC. Điểm I chuyển động trên cạnh BC. Gọi D là hình chiếu của I trên AB. E là hình chiếu của I trên AC. Lấy M đối xứng với A qua D. N đối xứng với A qua E. Chứng minh rằng

 a, I là tâm đường tròn đi qua 3 điểm A,M,N

 b, Đường tròn (I) ở trên luôn đi qua 1 điểm cố định khác A.

a)do IA=IM=IN là do tính chất trung trực

b) điểm cố định là điểm đối xứng của A qua BC chứng minh điểm này thuộc đường tròn I là do tính chất trung trực 

2)$n^2+1 |n^3-8n^2+2n=n(n^2+1)-8(n^2+1)+n+8$ suy ra $n^2+1|n+8$ suy ra $n+8 \geq n^2+1$ tương dương $-2\leq n \leq 3$ mà n>0 vậy thử vài trường hợp thì suy ra n=2

5) trong các số có dang 11...11 thì tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 1993 giả sử a=11...1(m số 1 ) và b=11...1( n số 1 )với m>n suy ra a-b chia hết cho 1993 mà $a-b=111...11.10^{n}$ với m-n số 1 mà $(1993,10^n)=1$ suy ra  111...11 chia hết cho 1993 có m-n số 1

6) trong 17 số thì toàn tại ít nhất 5 số có cùng số dư suy ra đây là 5 số cần tìm 

\left | \sqrt{x^2-2x+5}-\sqrt{x^2-10x+41} \right |\leq 5

Em xin cảm ơn.

$\left | \sqrt{x^2-2x+5}-\sqrt{x^2-10x+41} \right | \leq 5$

mình chưa hiểu đề muốn làm gì vậy bạn

Tìm số tự nhiên $\overline{abcd}$ sao cho số đó chia hết cho tích của $\overline{ab}$ và $\overline{cd}$

Giải

Theo bài ra, ta có: $\overline{abcd} \, \vdots \, \overline{ab}.\overline{cd} \Leftrightarrow \overline{ab}.100 + \overline{cd} \, \vdots \, \overline{ab}.\overline{cd}$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\overline{ab}.100 + \overline{cd} \, \vdots \, \overline{ab}\\\overline{ab}.100 + \overline{cd} \, \vdots \, \overline{cd}\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\overline{cd} \, \vdots \, \overline{ab}\\\left[\begin{array}{l} \overline{ab} \, \vdots \, \overline{cd}\\100 \, \vdots \, \overline{cd} \end{array}\right.\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}\overline{ab} \, \vdots \, \overline{cd}\\\overline{cd} \, \vdots \, \overline{ab}\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}\overline{cd} \, \vdots \, \overline{ab}\\100 \, \vdots \, \overline{cd}\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} \overline{ab} = \overline{cd} \,\,\,\,\, (1)\\\left\{\begin{array}{l}\overline{cd} = 10; 20; 25; 50\\\overline{cd} \, \vdots \, \overline{ab}\end{array}\right. \,\,\,\,\, (2)\end{array}\right.$

* Với $\overline{ab} = \overline{cd}$ theo đề ra, ta có:
$\overline{abab} \, \vdots \, (\overline{ab})^2 \Rightarrow 101 \, \vdots \, \overline{ab}$

Không tồn tại giá trị nào thỏa mãn đề bài.

* Với:
$\overline{cd} = 10 \Rightarrow \overline {ab} = 10$
Cặp số nói trên không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

$\overline{cd} = 20 \Rightarrow \overline{ab} = 10; 20$

$\overline{cd} = 25 \Rightarrow \overline{ab} = 25$

$\overline{cd} = 50 \Rightarrow \overline{ab} = 10; 25; 50$
Tất cả các giá trị nói trên đều không thỏa mãn đề bài.

KẾT LUẬN: Không tồn tại số $\overline{abcd}$ để nó chia hết cho tích $\overline{ab}.\overline{cd}$

^^! Po: Không dám chắc vì mình không giỏi phần số học cho lắm!!!

 

theo mình ko thể kết luận nếu ab.100 chia hết cho cd thì ab chia hết cho cd hoặc hoặc 100 chia hết cho cd được vì ab và 100 ko nguyên tố cùng nhau

theo AM-GM 

$\frac{a^{3}}{b^{2}}+a \geq 2\frac{a^{2}}{b}$

và $\frac{a^{2}}{b}+b \geq 2a$

vậy suy ra dpcm

Cho $a,b,c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3$.Tìm $GTNN$ của biểu thức:

           $T=\frac{1}{\sqrt{8^a+1}}+\frac{1}{\sqrt{8^b+1}}+\frac{1}{\sqrt{8^c+1}}$

$$a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3$$ theo chebyshev ta có $\sum a^3 \geq \frac{1}{3}(\sum a)(\sum a^2)=\frac{1}{3}(\sum a)(\sum a^3)\Leftrightarrow \sum a \leq 3$

theo holder cho $(\sum (8^a+1))T^2 \geq 27$ tiếp tục ta sử dụng bernoulli cho $8^a=(1+7)^a \leq 1+7a$ vậy từ đây đễ dàng dẫn tới T $\geq 1$

Chứng minh $\sum \frac{1}{1+3a^2} \ge \frac{16}{7}$

đề thiếu điều kiện rồi bạn ơi

Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa $ab+bc+ca=1.$ Chứng minh rằng $:$
$\sum \frac{a^{3}}{1+9ab^{2}c} \geq \frac{(\sum a)^{3}}{18}.$

áp dụng holder cho 3 bộ (1,1,1) ;($\sum \frac{a^{3}}{1+9ab^{2}c}$) ;($\sum (1+9ab^2c)$) vậy ta có $3(\sum (1+9ab^2c))(\sum \frac{a^{3}}{1+9ab^{2}c} ) \geq(a+b+c)^3$ đến đây ta sẽ chứng minh $\sum (1+9ab^2c) \leq 6$ vậy ta phải chứng minh$\sum (ab^2c) \leq \frac{1}{3}$ cái này đúng theo điều kiện đề bài $ab+bc+ac=1$

$\frac{2009}{6-x}+\frac{2011}{4-x}+\frac{2013}{2-x}=\frac{2010}{5-x}+\frac{2012}{3-x}+\frac{2014}{1-x} \Leftrightarrow \frac{2009}{6-x}+1+\frac{2011}{4-x}+1+\frac{2013}{2-x}+1=\frac{2010}{5-x}+1+\frac{2012}{3-x}+1+\frac{2014}{1-x}+1\Leftrightarrow (2015-x)(\frac{1}{6-x}+\frac{1}{4-x}+\frac{1}{2-x}-\frac{1}{5-x}-\frac{1}{3-x}-\frac{1}{1-x})$ đến đây đễ rồi

CMR:$\frac{1}{4+1^4}+\frac{3}{4+3^4}+...+\frac{2n-1}{4+(2n-1)}=\frac{n^2}{4n^2+1}$

hình như chỗ này phải là bậc 4 phải không bạn

cho (O), A nằm ngoài đường tròn, kẻ 2 cát tuyến ADE và AFG ( D nằm giữa A.E và F nằm giữa A,G ) DF cắt FG tại H, vẽ d đi qua H và  vuông với OA cắt (O) tại 2 điểm B,C chứng minh AB,AC là 2 tiếp tuyến của (O)

cho tam giác ABC , trực tâm H, tia Hx cắt đường tròn 9 điểm của tam giác và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại M và N chứng minh M là trung điểm HN

chứng minh bất kì số nào cũng có thể biểu diễn dưới tổng của các lũy thừa của 2