$x+y=2\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow 0\leq xy\leq 1\Rightarrow x^{2}y^{2}\leq xy$

$x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leqslant xy(x^{2}+y^{2})=xy(4-2xy)=2-2(xy-1)^{2}\leq 2$

Áp dụng hệ thức Viet : $x_1+x_2=\frac{-b}{a},x_1x_2=\frac{c}{a}$ 
$\Rightarrow P=\frac{(a-b)(2a-c)}{a(a-b+c)}=\frac{(1-\frac{b}{a})(2-\frac{c}{a})}{1-\frac{b}{a}+\frac{c}{a}}=\frac{(1+x_1+x_2)(2-x_1x_2)}{1+x_2+x_1+x_1x_2}$ 
$\Leftrightarrow P=\frac{2+2(x_1+x_2)-x_1x_2-x_1x_2(x_1+x_2)}{x_1+x_2+x_1x_2+1}=2-\frac{3x_1x_2-x_1x_2(x_1+x_2)}{x_1x_2+x_1+x_2+1} \le 2$ 
Dấu $=$ xảy ra khi $x_1x_2=0 \Leftrightarrow c=0$ 
Ta lại có $P=\frac{2+2(x_1+x_2)-x_1x_2-x_1x_2(x_1+x_2)}{x_1+x_2+x_1x_2+1} \ge \frac{2+4x_1x_2-x_1x_2-2x_1x_2}{1+x_1+x_2+x_1x_2}$ (do $0 \le x_1,x_2 \le 1$) 
Lại có vì $0 \le x_1,x_2 \le 1 \Rightarrow x_1+x_2 \ge x_1^2+x_2^2 \ge 2x_1x_2$ 
Mà $x_1+x_2 \le 2 \Rightarrow -x_1x_2(x_1+x_2) \ge -2x_1x_2$
$P \ge \frac{2+x_1x_2}{1+x_1+x_2+x_1x_2}=\frac{8+4x_1x_2}{4(x_1x_2+x_1+x_2+1)} \ge \frac{(3-x_1)(3-x_2)+(x_1+x_2+x_1x_2)-1}{4(x_1+x_2+x_1x_2+1)}$ 
$\Leftrightarrow P \ge \frac{4-1+3(x_1x_2+x_1+x_2)}{4(x_1x_2+x_1+x_2+1)} \ge \frac{3}{4}$ 

Dấu $=$ xảy ra khi $x_1=x_2 \Rightarrow a=c=\frac{-b}{2}$  

?????

HPT:     $\left\{\begin{matrix} y^{2}=(x+8)(x^{2}+2) & & \\ 16x-8y+16=5x^{2}+4xy-y^{2}& & \end{matrix}\right.$

Cho tam giác $ABC$ nhọn ($AB<AC$) nội tiếp đường tròn $(O;R)$.Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.Gọi $M$ là trung điểm của $BC$

a)Chứng minh $AH$=$2OM$

b)Dựng hình bình hành $AHIO$.Gọi $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $OBC$.Chứng minh rằng:$OI.OJ=R^2$

c)Gọi $N$ là giao điểm của $AH$ với đường tròn $(O)$($N$ khác $A$).Gọi $D$ là điểm bất kì trên cung nhỏ $NC$ của đường tròn tâm $(O)$ ($D$ khác $N$ và $C$).Gọi $E$ là điểm đối xứng với $D$ qua $AC$,$K$ là giao điểm của $AC$ và $HE$.Chứng minh rằng:$\widehat{ACH}=\widehat{A

ban ve gium minh cai hinh voi đc ko

 x,y $\in$ IR⁺,  x+y=2

Find Min :

$T=\frac{x^{2}+3y^{2}}{2xy^{2}-x^{2}y^{3}}$

 

                               

4.$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y} (x,y>0)$

Áp dụng BDT cô si cho 2 số dương:

$x+y\geq 2\sqrt{xy}$

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 2\sqrt{\frac{1}{xy}}$

$\Rightarrow (x+y)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\geq 4$

do x+y>0

$\Rightarrow$ đpcm

dấu bằng xảy ra khi x=y

5. $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$ ($x,y,z> 0$)

Tương tự BDT 4

áp dụng BDT cô si cho 3 số dương

 

BĐT gốc nhé (Cô-si - Svácxơ)   :   $\frac{a^{2}_{1}}{b_{1}}+\frac{a^{2}_{2}}{b_{2}}+...+\frac{a^{n}_{n}}{b_{n}}\geq \frac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{2}}{b_{1}+b_{2}+...+b_{n}}$

Giá trị nhỏ nhất bt

$\frac{4x+1}{x^2+3}$

(violtmpic v16 http://baovietnhantho.violympic.vn/)

$\frac{4x+1}{x^{2}+3}=\frac{-(x^{2}+3)+x^{2}+4x+4}{x^{2}+3}=-1+\frac{(x+2)^{2}}{x^{2}+3}\geq -1$

nếu x, y,z đều ko chia hết 3 => x², y² chia 3 cung dư 1 => x²+y²=z² chia 3 dư 2 vô lý => tồn tại x or y or z chia hết 3

tương tự khi chia cho 4

Chứng minh tồn tại 2013 số nguyên dương a₁ ;  a₂ ;...;   a₂₀₁₃    thõa mãn a₁ < a₂ < ... < a₂₀₁₃  và

$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{2013}}=1$

Cho n thuộc N và n >3.  Chứng minh :

   $S_{n}=\frac{1}{3(1+\sqrt{2})}+\frac{1}{5(\sqrt{2}+\sqrt{3})}+...+\frac{1}{(2n+1)(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}< \frac{1}{2}$

Bài 1. giả sử 2ⁿ-1 là scp => 2ⁿ-1=(2k+1)²   biến đổi được 2ⁿ=4k²+4k+2 vô lý  (vì n>1 nên 2ⁿ chia hết 4) =>2ⁿ-1 ko cp

Bài 2: b=a+1; c=a+2; d=a+3 

 bacd= (a+1)a(a+2)(a+3)=1000(a+1)+100a+10(a+2)+a+3=1111a+1023 cp =>tận cùng =0,1,4,9,6,5 =>a thuộc 1,6,3,2(a<7) 

 mà cp=> chia 3 dư 1,0 => a thuộc  1,6,3 thay vào được 3 cần tìm

Bài 4: $\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{7}{25}\Rightarrow 7a^{2}-25a+7b^{2}-25b=0$

                    $\Delta =625-196b^{2}+700\geq 0\Rightarrow 4\geq b\geq 0$ vì b nguyên 

     nên b thuộc 0,1,2,3,4 thvào pt giải a nguyên :a=0,b=0            a=4,b=3          a=3,b=4

ban

$P=(sin^2 \alpha +cos^2 \alpha)^3-3.sin^2\alpha.cos^2\alpha(sin^2 \alpha+cos^2 \alpha)$
$\geq 1-3.\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$ (do theo $AM-GM: sin^2\alpha.cos^2\alpha \leq \frac{1}{4}(sin^2\alpha+cos^2\alpha)^2=\frac{1}{4})

bạn làm giúp bài tiếp dùm mình vs bạn

1.      Tìm min ::                P = sin⁶ a +cos⁶ a

 2.       Tìm max:        P=$3sin a +\sqrt{3}cosa$

3.         Chứng minh $\left | ab+cd \right |\leq \sqrt{(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}$ với a,b,c,d là các số thực

Gợi ý:1,Nghịch đảo giả thiết xong bình phương lên áp tỉ lệ thức =>đpcm

          2,xét n=2k;n=2k+1 =>k=...=>n=

          3,Chia cả 3 vế cho abc xong giả sửa>=b>=c 

bài 3 có mấy nghiệm

1.  Cho: $\frac{x^{2}-yz}{a}=\frac{y^{2}-zx}{b}=\frac{z^{2}-xy}{c}$

Chứng minh    $\frac{a^{2}-bc}{x}=\frac{b^{2}-ac}{y}=\frac{c^{2}-ab}{z}$

2.Tìm n sao cho $n.4^{n}+3^{n}\vdots 7$

3 Tìm a.b.c nguyên tố sao cho            20abc<30(ab+ac+bc)<21abc

I Love MC  
1) Thiếu ĐK $x,y$ ko âm
Ta có $1+\sqrt{y} \ge 1$ 
Suy ra $\sqrt{x}-1 \le 1$ 
Hay $0 \le  x \le 4$ . Đến đây ta tìm được $(x,y)=(4,0)$ 
2) Vì $x,y \in \mathbb{Z}$ 
Suy ra PT $\Leftrightarrow \frac{8x^2-25}{3x+5}=y \in \mathbb{Z}$ 
Dễ rồi
 

bài 1 còn nghiệm x=y=2 bạn ơi. Tìm nghiệm này giùm mình cái

Giải các hệ pt

1.     $\left\{\begin{matrix} 8x^{3}y^{3}+27=18y^{3} & & \\ 4x^{2}y+6x=y^{2}& & \end{matrix}\right.$

2.     $\left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=3 & & \\ y+\frac{1}{z}=3& & \\ z+\frac{1}{x}=3& & \end{matrix}\right.$

3.      $\left\{\begin{matrix} 17x+2y=2011\left | xy \right | & & \\ x-2y=3xy& & \end{matrix}\right.$

Bài 1:

 

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\geq \frac{16}{2x+y+z}$

 

tương tự ...........

 

$\Rightarrow \frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq \frac{1}{16}.4\sum \frac{1}{a}=1$

 

Bài 2:

 

$a^{2}+2b^{2}+3=(a^{2}+b^{2})+(b^{2}+1)+2\geq 2(ab+a+1)$

 

tương tự ......................

 

$\Rightarrow \frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}+\frac{1}{b^{2}+2c^{2}+3}+\frac{1}{c^{2}+2a^{2}+3}\leq \frac{1}{2}\sum \frac{1}{ab+a+1}=\frac{1}{2}$

(do $abc=1$)

 

Bài 3:

 

$b+c\geq 16abc\Leftrightarrow b+c\geq 16(1-b-c)bc\Leftrightarrow (b+c)(1+16bc)\geq 16bc$

 

Thật vậy:  $(b+c)(1+16bc)\geq 2\sqrt{bc}8\sqrt{bc}=16bc$       (ĐPCM)

Làm giúp bài 4 luôn bạn

Cho a,b,c, x,y,z là các số thực dương

1.   Cho         $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$

Chứng minh:         $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$

2. Cho        $abc=1$

Chứng minh          $\frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}+\frac{1}{b^{2}+2c^{2}+3}+\frac{1}{c^{2}+2a^{2}+3}\leq \frac{1}{2}$

3. Cho   $a+b+c=1$

Chứng minh         $b+c\geq 16abc$

4. Cho   $x^{2011}+y^{2011}+z^{2011}=3$

Tìm Max     $M=x^{2}+y^{2}+z^{2}$

Cho a,b,c, x,y,z là các số thực dương

1.   Cho         $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$

Chứng minh:         $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$

2. Cho        $abc=1$

Chứng minh          $\frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}+\frac{1}{b^{2}+2c^{2}+3}+\frac{1}{c^{2}+2a^{2}+3}\leq \frac{1}{2}$

3. Cho   $a+b+c=1$

Chứng minh         $b+c\geq 16abc$

Tìm x,y nguyên

1.       $(1+\sqrt{y})(\sqrt{x}-1)=1$

2.           $8x^{2}-3xy-5y=25$

3) $ (x+1)^3 \ge y^3=x^3+x^2+x+1>(x-1)^3 \Rightarrow x=0,y=1$ 

x có thể âm sao so sánh được

Giải các phương trình nghiệm nguyên sau

1.        6x²+5y²=74 

2        .x²+xy+y² =x+8y

3        .1+x+x²+x³=y³

4       .1+x+x²+x³+x⁴=y²

5.       (x-2)⁴-x⁴=y³

6.         $\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}=\frac{1}{2}(x+y+z)$ 

7.     x²+y² +z²=x²y²

1. Tìm 12 số nguyên dương sao cho tổng bằng tích

2.Tìm x,y,z thuộc Z :

  a,$2xy^{2}+x+y+1=x^{2}+2y^{2}+xy$

  b,$3^{x}+1=(y+1)^{2}$

  c,$19x^{2}+28y^{2}=729$

C2:

$(\frac{h_{a}}{h_{b}})^{2}+(\frac{h_{a}}{h_{c}})^{2}=1\Rightarrow (\frac{b}{a})^{2}+(\frac{c}{a})^{2}=1\Rightarrow b^{2}+c^{2}=a^{2}$ nên tam giác này vuông

C1:

Từ câu 2 ta có $(\frac{12}{15})^{2}+(\frac{12}{20})^{2}=1$ nên tam giác này vuông