$x,y >0$ thỏa $\frac{1}{xy}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3$ . Tìm $Max$:

$P=\frac{3y}{x(y+1)}+\frac{3x}{y(x+1)}+\frac{1}{x+y}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{y^2}$

Giải PT

$\frac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt{6(x^2 +2x+4)}-2(x+2)}=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x+2}-4=\sqrt{6(x^2+2x+4)}-2(x+2)\\\Leftrightarrow 2\sqrt{x+2}=\sqrt{6(x^2+2x+4)}-2x\\\Leftrightarrow 4(\sqrt{x+2}+x)^2=6(x^2+2x+4)\\\Leftrightarrow 4(x+2+x^2+2x\sqrt{x+2})=6(x^2+2x+4)\\\Leftrightarrow 8x\sqrt{x+2}=2x^2+8x+16\Leftrightarrow 2x^2-8x\sqrt{x+2}+8(x+2)=0\Leftrightarrow 2(x-2\sqrt{x+2})^2=0$

đến đây chắc ra~`

Giải pt: $x^3+1=2\sqrt[3]{2x-1}$

Đặt $\sqrt[3]{2x-1}=t\Rightarrow 2x=t^3+1$

Ta có hệ :

$\left\{\begin{matrix} x^3+1=2t\\ t^3+1=2x \end{matrix}\right.$

trừ vế theo vế rồi giải 

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+2x+y^{2}+y=3-xy & & \\ xy+x+2y=1 & & \end{matrix}\right.$

lấy 2 pt cộng lại , ta được :

$x^2+2xy+y^2+3x+3y-4=0\Leftrightarrow (x+y+4)(x+y-1)=0$

đến đây thế vào rồi giải 

Giải:

 

$\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{x-x^{2}+1}\leq \frac{x^{2}+x+1+x-x^{2}+1}{2}=x+1$

 

$\Rightarrow x+1\geq x^{2}-x+2\Leftrightarrow 0\geq (x-1)^{2}\Leftrightarrow x=1$

 

Thay vào: $x=1$ không thỏa mãn nên PTVN

x=0 là nghiệm đấy, đánh giá cái trên như sai

Bài 233: $\begin{cases} & (2x^{2}-3x+4)(2y^{2}-3y+4)= 18 \\ & x^{2}+y^{2}+xy-7x-6y+14= 0 \end{cases}$

 

Viết PT (2) dưới dạng PT ẩn x: $x^2 + x\left( {y - 7} \right) + y^2 - 6y + 14 = 0 $
Xét $ \Delta = \left( {y - 7} \right)^2 - 4\left( {y^2 - 6y + 14} \right) = - 3y^2 + 10y - 7 \ge 0 \Leftrightarrow 1 \le y \le \dfrac{7}{3} $
Viết PT (2) dưới dạng PT ẩn y: $y^2 + y\left( {x - 6} \right) + x^2 - 7x + 14 = 0 $
Xét $ \Delta = \left( {x - 6} \right)^2 - 4\left( {x^2 - 7x + 14} \right) = - 3x^2 + 16x - 20 \ge 0 \Leftrightarrow 2 \le x \le \dfrac{{10}}{3} $

Đặt $f\left( a \right) = 2a^2 - 3a + 4 $
Xét $ f'\left( a \right) = 4a - 3 \Rightarrow $ với $a \ge \dfrac{3}{4} $ thì hàm f luôn đồng biến
Ta có PT $ \left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( x \right).f\left( y \right) = 18 $
Với ĐK của x và y thì $f\left( x \right).f\left( y \right) \ge f\left( 2 \right).f\left( 1 \right) = 18 $
Dễ thấy x=2, y=1 ko là nghiệm của PT (2)
Vậy HPT vô nghiệm 

p/s: bài này như NTA1097 làm rồi, mình chỉ cop lại của anh kia cho cụ thể

Ví dụ khác

Bài 237:

$3x^{2}+6x-3=\sqrt{\frac{x+7}{3}}$

Đặt $\sqrt{\frac{x+7}{3}}=y+1\Leftrightarrow x+7=3y^2+6y+3\Leftrightarrow x+4=3y^2+6y$

Mặt khác, từ pt ban đầu ta có :

$3x^2+6x-3=y+1\Leftrightarrow 3x^2+6x=y+4$

vậy ta có hệ đối xứng ~~~

Thêm 1 phương trình vô tỉ

$\frac{x^2}{1-x^2}+x^2+1=2x\sqrt{\frac{x^2}{1-x^2}+2}$

$\left ( \frac{x^2}{1-x^2}+2 \right )-2x\sqrt{\frac{x^2}{1-x^2}+2}+x^2-1=0\\\Leftrightarrow \left ( \sqrt{\frac{x^2}{1-x^2}+2}-x-1 \right )\left ( \sqrt{\frac{x^2}{1-x^2}+2}-x+1 \right )=0$

đến đây bình phương từng ngoặc chắc ra 

$\sqrt{2-x^{2}}+\sqrt{2-\frac{1}{x^{2}}}=4-(x+\frac{1}{x})$

cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3

CMR $\frac{a^2}{a+2b^2}$ + $\frac{b^2}{b+2c^2}$ + $\frac{c^2}{c+2a^2}$ $\geq$ 1 

$\sum \frac{a^2}{a+2b^2}\geq 1\Leftrightarrow 3-\sum \left ( \frac{2ab^2}{a+2b^2} \right )\geq 1\Leftrightarrow \sum \frac{ab^2}{a+2b^2}\leq 1$

Mặt khác :$\frac{ab^2}{a+2b^2}\leq \frac{ab^2}{3\sqrt[3]{ab^4}}\leq\frac{1}{3}\sqrt[3]{a^2b^2}\\\Rightarrow \sum \frac{ab^2}{a+2b^2}\leq \frac{1}{3}\left ( \sum \sqrt[3]{a^2b^2} \right )\leq \frac{1}{3}\left ( \sum \frac{ab+ab+1}{3} \right )\leq\frac{1}{3}\left ( \frac{3+2\left ( \frac{(a+b+c)^2}{3} \right )}{3} \right )\leq \frac{1}{3}.3=1$

Vậy ta có đpcm 

b. $\left\{\begin{matrix} 2x^{2}-3x-y=0 & \\ x^{2}-1=(y-x+3)\sqrt{x^{2}-4x+5}& \end{matrix}\right.$

Thay $y$ từ $1$ vào $2$ , ta được :

$x^2-1=(2x^2-4x+3)\sqrt{x^2-4x+5}\\VP\geq 2x^2-4x+3 (x^2-4x+5\geq 1)\\\Rightarrow x^2-1\geq 2x^2-4x+3\Leftrightarrow 0\geq x^2-4x+4\Leftrightarrow x=2 \Rightarrow y=2$

Điều kiện $0\leq x \leq 1$

$ x\sqrt{x}= \left ( 2014+\sqrt{x} \right )\left ( 1-\sqrt{1-\sqrt{x}} \right ) \\ \Leftrightarrow x\sqrt{x}=(2014+\sqrt{x})\left ( \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{1-\sqrt{x}}} \right )$

Phương trình có nghệm $x=0$, nếu x khác 0. ta có :

$ x(1+\sqrt{1-\sqrt{x}})-\sqrt{x}=2014$

Mà $0\leq x \leq 1 $ nên không thỏa

MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH     

GIẢI :

CodeCogsEqn (20).gif

đề của bạn như có chút nhầm lẫn :

$\left\{\begin{matrix} x^2+y +xy(x^2+y)+xy=-\frac{5}{4}\\ (x^2+y)^2+xy=-\frac{5}{4} \end{matrix}\right.$

Đặt $a=x^2+y;b=xy$, ta có :

$\left\{\begin{matrix} ab+a+b=\frac{-5}{4}\\ a^2+b=\frac{-5}{4} \end{matrix}\right.\\\Rightarrow a(-a^2-\frac{5}{4})+a-a^2-\frac{5}{4}=-\frac{5}{4}\\\Leftrightarrow a(a+\frac{1}{2})^2=0$ 

đến đây dễ rồi

Bài 222: $\begin{cases} & x^{4}-y^{4}=\dfrac{3}{4y}-\dfrac{1}{2x} \\ & (x^{2}-y^{2})^{5}+5= 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4xy(x^4-y^4)=3x-2y\\ (x^2-y^2)^5+5=0 \end{matrix}\right.$

Đặt $x+y=a;x-y=b$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} ab(a^2+b^2)(a^2-b^2)=a+5b\\ a^5b^5+5=0 \end{matrix}\right.\\\Rightarrow ab(a^4-b^4)=a-b.a^5b^5\\\Leftrightarrow a^5b-ab^5-a+a^5b^6=0\\\Leftrightarrow a(b^5+1)(a^4b-1)=0$

tới đây cái đã, khúc sau xét 3th , làm biếng ~~

Bài 223: $\begin{cases} & x^{4}-2x=y^{4}-y \\ & (x^{2}-y^{2})^{3}= 3 \end{cases}$

http://diendan.hocma...d.php?t=409046 

có thể tham khảo ở đây ạ , bài khó thật

P/s : Đây là đề kiểm tra đội tuyển trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội - thuộc dạng bài toán hay và khó 

Bài 215: $\left\{\begin{matrix} &2x^{2}+xy=y^{2}-3y+2 & \\ &x^{2}-y^{2}=3 & \end{matrix}\right.$

$2x^2-y^2+xy+3y-2=0\Leftrightarrow (2x-y+2)(x+y-1)=0$

đến đây dễ rồi

Bài 214: $\left\{\begin{matrix} &x^{2}-y^{2}-2x+2y=-3 \\ &y^{2}-2xy+2x=-4 \end{matrix}\right.$

$5.(1)-3.(2)$, ta được :

$5x^2-8y^2+6xy-16x+10y+3=0\\\Leftrightarrow (5x-4y-1)(x+2y-3)=0$

đến đây thế vào giải pt bậc 2 

Đặt $\sqrt{x}=a (a\geq0)$.Ta có :

$\frac{7a}{2a^2+2a+2}=y (y\in \mathbb{Z})\\\Leftrightarrow 2ya^2+(2y-7)a+2y=0$

Để tồn tại giá trị y thì :

$\Delta \geq 0 \Leftrightarrow (2y-7)^2-16y^2\geq0\Leftrightarrow -12y^2-28y+49\geq 0 \Leftrightarrow -3\leq y\leq1$

Thử chọn $y$ tìm ra $a$ dương, sau đó tìm được $x$, không nhầm thì ra $0;4;\frac{1}{4}$

Giải phuơng trình :

1)$\sqrt{\frac{42}{5-x}} +\sqrt{\frac{60}{7-x}} =6$

$\sqrt{\frac{42}{5-x}} +\sqrt{\frac{60}{7-x}} =6 \\\Leftrightarrow \sqrt{\frac{42}{5-x}}-3+\sqrt{\frac{60}{7-x}}-3=0\\\Leftrightarrow \frac{\frac{42}{5-x}-9}{\sqrt{\frac{42}{5-x}}+3}+\frac{\frac{60}{7-x}-9}{\sqrt{\frac{60}{7-x}}+3}=0\\\Leftrightarrow (9x-3)\left ( \frac{1}{(5-x)(\sqrt{\frac{42}{5-x}}+3)}+\frac{1}{(7-x)\sqrt{\frac{60}{7-x}}+3} \right )=0\\\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}$

2) nhân liên hợp giống bài 1, nghiệm là 5

1.Tam giác ABC có góc A =40 *; các đường cao cắt nhau tại H.Khi đó số đo góc BHC bằng ...*

2.Tìm A biết rằng A=a/b+c= b/a+c =c/b+a

Trả lời:A=  
(Nhập kết quả dưới dạng số thập phân gọn nhất)

 

các bạn giúp mình tim cách giải nha

                 

2) không lầm thì áp dụng tỉ lệ thức là ra $A=\frac{1}{2}$ 

1)$\widehat{BHC}=140^o$, cái này thì góc $BHC$ đối đỉnh với góc trên, mà tứ giác có 4 góc tổng 360 mà có 2 góc vuông, nên $A $ + góc đối đỉnh $BHC =180^o$

Bài 208 (trích từ bạn minhminh98 ) , mình không nhớ ở topic này có chưa nhưng thấy khá khó :

 $\left\{\begin{matrix}x^2y+x^2+1=2x\sqrt{x^2y+2} & \\ y^3(x^6-1)+3y(x^2-2)+3y^2+4=0 & \end{matrix}\right.$

rồi chắc em hóng luôn, em mới có lớp 10 , dạng này em cũng yếu~~~

2) x,y có nguyên không ?

em mới học lớp 9 mà

dấu tích đó bạn , tại mình làm biếng ghi ra, tại cái đó cũng tương tự với 2 cái còn lại 

1 bài ví dụ thử đi bạn , nói thế chung chung quá , mình cũng không rành lắm nên hóng ~~~