Cho $a,b,c,d>0$. Chứng minh :

$\frac{1}{a^4+b^4+c^4+abcd}+\frac{1}{b^4+c^4+d^4+abcd}+\frac{1}{c^4+d^4+a^4+abcd}+\frac{1}{d^4+a^4+b^4+abcd}\leq \frac{1}{abcd}$

Áp dụng C-S , ta có

A $\geq \frac{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2}{3(ab + bc + cd + da)} = \frac{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2}{3} \geq \frac{(ab + bc + cd + da)^2}{3} = \frac{1}{3}$

Dấu = xảy ra <=> a = b = c = d = $\sqrt{\frac{1}{3}}$

sai rồi bạn ơi

Cho tam giác $ABC$. Tìm giá trị nhỏ nhất:

$P= \frac{\sqrt{1+2 cos^2A}}{sinB}+ \frac{\sqrt{1+2cos^2B}}{sinC}+ \frac{\sqrt{1+2cos^2C}}{sinA}$

đề đầy đủ là sao bạn ??? mình ghi ra thấy nó sao sao á

0<=x,y<=1 mà bạn, làm gì có thể nào xy<=0??

ghi lộn bạn ơi thì $xy\leq1$

Cho $x,y \epsilon \mathbb{R}$ thỏa điều kiện : $x^2+xy+y^2\leq3$. Chứng minh :

$-4\sqrt{3}-3\leq x^2-xy-3y^2\leq 4\sqrt{3}-3$

bài này bạn có thể dùng tính chất của hàm số bậc nhất, không biết đúng không:

không mất tính tổng quát, giả sử $x \geq y \geq z$, khi đó $x \geq \frac{1}{3}; y+z \leq \frac{2}{3};\\$

khi đó $P= x^2 + y^2 +z^2 + 4xyz =(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)+4xyz\\=1+2x(2yz-y-z)-2yz$.

đặt $f(x)=2x(2yz-y-z)-2yz+1$

xét $2yz-y-z=0$, khi đó $2yz=y+z\leq 2.\frac {(y+z)^2}{4}\Leftrightarrow (y+z) \leq \frac{(y+z)^2}{2}\Leftrightarrow (y+z)^2-2(y+z)\geq 0\Leftrightarrow (y+z)\geq 2; (y+z)\leq 0$; mà $0\leq (y+z)\leq\frac{2}{3}$ nên $2yz-y-z\neq 0$, xét $f(\frac{1}{3})= \frac{-2}{3}.(y+z+yz)+1\geq\frac{-2}{3}.(\frac{2}{3}+\frac{(y+z)^2}{4})+1\geq\frac{13}{27}$, đạt $min = \frac{13}{27}$, tương tự tại $x=1$ thì  $f(1)=1$ đạt $min = 1$.

mà do hàm bậc nhất, có dạng đường thằng, nên min hoặc max luôn ở tại biên (thì phải ) nên giá trị nhỏ nhất là $\frac{13}{27}$ tại $x=y=z=\frac{1}{3}$

bạn tự khai triển nha, phần đó không khó, quy đồng rồi đặt nhân tử

đền bước $\leq 2(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1})$

bạn chỉ cần chứng minh $\frac {1}{x^2+1}+ \frac{1}{y^2+1}\leq \frac{2}{xy+1}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{y^2+1}-\frac{1}{xy+1}\leq 0\\ \Leftrightarrow \frac{(x-y)^2(xy-1)}{(1+x^2)(1+y^2)(1+xy)}\leq0$

do $xy \leq0$ nên ta được đpcm

Đặt $\sqrt{1+x^2}=a$ , $\sqrt{1-x^2}=b$ , ĐKXĐ : Nhác tìm , bạn chịu khó nhé       
Pt tương đương :
$4a-2b-ab=2a^2-b^2$
$\Leftrightarrow -(2a-b)(-2+a+b)=0$
Vậy suy ra $b=2a$ hoặc $b=2-a$
Đến đây bạn tự làm tiếp vậy 
P/s : Không biết có đúng không nữa     

bạn có ghi dư dấu - không vậy??? chỗ $ -(2a-b)(-2+a+b)=0$

$P= \frac{a^4}{a^3+a^3bc} + \frac{b^4}{b^3+b^3ac} + \frac{c^4}{c^3+c^3ab}\\ \Leftrightarrow P \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^3+b^3+c^3+a^3bc+b^3ac+c^3ab}\geq\frac{1}{a^3+b^3+c^3+abc}$

làm tới đây rồi sao nữa vậy ??? (chắc không ra do a khác b khác c)

còn có thể nhân cả tử cả mẫu của \frac{a}{1+bc} với a^{3} rồi dùng bất đẳng thức Cauchy Schwarz

vd 1( mình chỉ có thể mò nghiệm rồi giải thôi)

$x^4 + 4x^3 + 7x^2 + 10x+3 =0 \\\Leftrightarrow x^4 + 3x^3 + x^2 + x^3 + 3x^2 + x + 3x^2 +9x+3=0 \\\Leftrightarrow x^2(x^2+3x+1) + x(x^2+3x+1) + 3(x^2+3x+1)=0 \\\Leftrightarrow (x^2+x+3)(x^2+3x+1)=0 \\\Leftrightarrow x^2+3x+1=0 \\\Leftrightarrow x=\frac{-3+\sqrt{5}}{2};x=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$