Đến nội dung

NTA1907 nội dung

Có 1000 mục bởi NTA1907 (Tìm giới hạn từ 29-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#665802 Topic về phương trình và hệ phương trình

Đã gửi bởi NTA1907 on 25-12-2016 - 13:14 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Bài này ở trong báo THTT, đã hết hạn chưa vậy

Nếu có đáp án thì bạn đăng lên để mn cùng thảo luận :)




#665716 Topic về phương trình và hệ phương trình

Đã gửi bởi NTA1907 on 24-12-2016 - 13:53 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Bài 550: $\sqrt[3]{2x^3+6}=x+\sqrt{x^2-3x+3}$

 

P/s: Triệu tập các thánh pt...




#664112 $\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+4x...

Đã gửi bởi NTA1907 on 07-12-2016 - 22:27 trong Dãy số - Giới hạn

Dùng L'Hopital . Đạo hàm đơn giản mà bạn.

Có cách giải nài không cần dùng đến đạo hàm không? Mình mới học phần này nên mong mọi người chỉ bảo thêm




#663853 $\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+4x...

Đã gửi bởi NTA1907 on 05-12-2016 - 13:30 trong Dãy số - Giới hạn

Tính giới hạn sau:

$\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+4x}\sqrt[3]{1+6x}\sqrt[4]{1+8x}\sqrt[5]{1+10x}-1}{x}$




#663186 Chứng minh rằng: $(x_n)$ là dãy tăng thực sự khi $n\to...

Đã gửi bởi NTA1907 on 27-11-2016 - 14:06 trong Dãy số - Giới hạn

Cho $x_n=(1+\frac{1}{n})^n,\text{  } n\in \mathbb{N}^* $. Chứng minh rằng: $(x_n)$ là dãy tăng thực sự khi $n\to \infty$

Ta có:
$x_{n}=\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}=1.\left ( 1+\frac{1}{n} \right ).\left ( 1+\frac{1}{n} \right )...\left ( 1+\frac{1}{n} \right )< \left [ \dfrac{1+\left ( 1+\frac{1}{n} \right )+\left ( 1+\frac{1}{n} \right )+...+\left ( 1+\frac{1}{n} \right )}{n+1} \right ]^{n+1}=\left ( 1+\frac{1}{n+1} \right )^{n+1}=x_{n+1}$
$\Rightarrow$ đpcm



#662571 Phương trình x+y+z=1000 có bao nhiêu bộ nghiệm (x,y,z) biết x,y,z nguyên dương

Đã gửi bởi NTA1907 on 20-11-2016 - 22:17 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức

Như tiêu đề, cảm ơn.

Xếp các số từ 1 đến 1000 theo một hàng ngang, trong đó có 999 khoảng trống. Đặt một cách bất kì 2 vạch vào 2 trong số 999 khoảng trống đó ta được một bộ 3 số nguyên dương (x,y,z) thoả mãn đề bài. Vậy số bộ nghiệm là: $C_{999}^{2}=498501$




#662362 giải hệ phương trình

Đã gửi bởi NTA1907 on 18-11-2016 - 21:59 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

$\dpi{300} \small \left\{\begin{matrix} x+\frac{2xy}{\sqrt[3]{x^{2}-2x+9}}=x^{2}+y\\ y+\frac{2xy}{\sqrt[3]{y^{2}-2y+9}}=y^{2}+x \end{matrix}\right.$

Cộng 2 phương trình vế với vế ta có:
$2xy\left ( \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}-2x+9}}+\frac{1}{\sqrt[3]{y^{2}-2y+9}} \right )=x^{2}+y^{2}$
Mặt khác ta có:
$VT=VP=2xy\left ( \frac{1}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}+8}}+\frac{1}{\sqrt[3]{(y-1)^{2}}+8} \right )\leq 2xy\left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \right )=2xy$
$\Rightarrow (x-y)^{2}\leq 0$
$\Leftrightarrow x=y$
Thay $x=y$ vào ta có:
$\frac{2x^{2}}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}+8}}=x^{2}$
$\Leftrightarrow x=0$ hoặc $\frac{2}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}+8}}=0$
$\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=1$
Vậy $(x,y)=(0;0),(1;1)$



#662315 Giải phương trình: $\sqrt{x-\frac{1}{x...

Đã gửi bởi NTA1907 on 18-11-2016 - 13:42 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Giải phương trình sau:
 $\sqrt{x-\frac{1}{x}} + \sqrt{x^2 -x}=2$

ĐK: $x-\frac{1}{x}\geq 0, x^{2}-x\geq 0$
Pt$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{x-\frac{1}{x}}-1 \right )+\left ( \sqrt{x^{2}-x}-1 \right )=0$
$\Leftrightarrow \frac{x^{2}-x-1}{\sqrt{x}\left ( \sqrt{x-\frac{1}{x}}+1 \right )}+\frac{x^{2}-x-1}{\sqrt{x^{2}-x}+1}=0$
$\Leftrightarrow (x^{2}-x-1)\left ( \frac{1}{\sqrt{x}\left ( \sqrt{x-\frac{1}{x}}+1 \right )}+\frac{1}{\sqrt{x^{2}-x}}+1 \right )=0$
$\Leftrightarrow x^{2}-x-1=0$(vì phần trong ngoặc luôn dương)



#662314 $\sqrt{x+\frac{3}{x}}=\frac...

Đã gửi bởi NTA1907 on 18-11-2016 - 13:36 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Giải pt $\sqrt{x+\frac{3}{x}}=\frac{x^2+7}{2(x+1)}$

ĐK: $x\neq 0, x+\frac{3}{x}\geq 0\Leftrightarrow x> 0$
Pt$\Leftrightarrow 2(x+1)\sqrt{x^{2}+3}=(x^{2}+7)\sqrt{x}$
Đặt $\sqrt{x^{2}+3}=a> \sqrt{3}, \sqrt{x}=b> 0$
Khi đó pt đã cho trở thành:
$2(b^{2}+1)a=(a^{2}+4)b$
$\Leftrightarrow (ab-2)(2b-a)=0$
...



#661634 Giải hệ $\begin{cases} 2x^2-y^2+xy-5x+y+2=\sqrt...

Đã gửi bởi NTA1907 on 12-11-2016 - 13:26 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Giải hpt: 

$\begin{cases}  2x^2-y^2+xy-5x+y+2=\sqrt{y-2x+1}-\sqrt{3-3x} \\x^2-y-1=\sqrt{4x+y+5}-\sqrt{x+2y-2}  \end{cases} $

ĐK: $x\leq 1, y-2x+1\geq 0, 4x+y+5\geq 0, x+2y-2\geq 0$

Pt(1)$\Leftrightarrow (x+y-2)(2x-y-1)=\sqrt{y-2x+1}-\sqrt{3-3x}$

$\Leftrightarrow (x+y-2)(2x-y-1)=\frac{x+y-2}{\sqrt{y-2x+1}+\sqrt{3-3x}}$

$\Leftrightarrow x+y-2=0$ hoặc $2x-y-1=\frac{1}{\sqrt{y-2x+1}+\sqrt{3-3x}}(*)$

$2x-y-1\leq 0$(theo ĐK) và $\frac{1}{\sqrt{y-2x+1}+\sqrt{3-3x}}> 0\Rightarrow (*)$ vô nghiệm

$\Rightarrow y=2-x$

Đến đây thay vào pt(2) là dc...




#661244 CM $\sum \frac{ab}{a+3b+2c}\leq...

Đã gửi bởi NTA1907 on 09-11-2016 - 13:05 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $a,b,c>0$. CM

$\sum \frac{ab}{a+3b+2c}\leq \frac{a+b+c}{6}$

Bài này thì quá quen thuộc rồi. Bạn tham khảo ở đây




#661241 Tìm Max của $\sum \frac{a}{\sqrt{bc(1...

Đã gửi bởi NTA1907 on 09-11-2016 - 12:54 trong Bất đẳng thức và cực trị

Đoạn này làm như thế nào vậy anh ?

Từ gt ta nhân thêm a vào cả 2 vế rồi cộng thêm bc là dc




#661239 Tìm Max của $\sum \frac{a}{\sqrt{bc(1...

Đã gửi bởi NTA1907 on 09-11-2016 - 12:47 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=abc$. Tìm Max của

$\sum \frac{a}{\sqrt{bc(1+a^{2})}}$

Từ gt: $a+b+c=abc \Rightarrow a^{2}+ab+ac+bc=a^{2}bc+bc \Leftrightarrow (a+b)(a+c)=bc(a^{2}+1)$

Áp dụng AM-GM ta có:

$\sum \frac{a}{\sqrt{bc(a^{2}+1)}}=\sum \frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{1}{2}\sum \left ( \frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c} \right )=\frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}$




#660554 Cm $xy+yz+zx \leq 8 $

Đã gửi bởi NTA1907 on 04-11-2016 - 13:09 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $\left\{\begin{matrix} x^{2}+xy+y^{2} =3& \\ y^{2} +yz+z^{2}=16& \end{matrix}\right.$

Cm $xy+yz+zx \leq 8 $

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
$48=(x^{2}+xy+y^{2})(y^{2}+yz+z^{2})=\left [ \left ( x+\frac{y}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{y\sqrt{3}}{2} \right )^{2} \right ]\left [ \left ( \frac{z\sqrt{3}}{2} \right )^{2}+\left ( y+\frac{z}{2} \right )^{2} \right ]\geq \left [ \left ( x+\frac{y}{2} \right )\frac{z\sqrt{3}}{2}+\frac{y\sqrt{3}}{2}\left ( y+\frac{z}{2} \right ) \right ]=\frac{3}{4}(xy+yz+zx)^{2}$
$\Leftrightarrow (xy+yz+zx)^{2}\leq 64$
$\Leftrightarrow -8\leq xy+yz+zx\leq 8$



#660553 CM $\sum \frac{a^{3}}{b^{2}...

Đã gửi bởi NTA1907 on 04-11-2016 - 12:57 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $a,b,c >0$. CM

$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}-bc+c^{2}}\geq \frac{3(ab+bc+ca)}{a+b+c}$

Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có:
$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}-bc+c^{2}}=\sum \frac{a^{4}}{ab^{2}-abc+ac^{2}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\sum ab^{2}+\sum a^{2}b-3abc}$
Ta chứng minh:
$\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\sum ab^{2}+\sum a^{2}b-3abc}\geq a+b+c$
$\Leftrightarrow a^{4}+b^{4}+c^{4}+abc(a+b+c)\geq a^{3}(b+c)+b^{3}(c+a)+c^{3}(a+b)$(luôn đúng theo Schur)
$a+b+c\geq \frac{3(ab+bc+ca)}{a+b+c}\Rightarrow$ đpcm



#660418 cho a,b,c>0 , a+b+c=3

Đã gửi bởi NTA1907 on 03-11-2016 - 13:59 trong Bất đẳng thức và cực trị

cho a,b,c>0 , a+b+c=3. c/m : $\sum \frac{8}{a^{2}+b^{2}+2}\leq 6$

Bất đẳng thức đã cho tương đương:
$\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}+2}\leq \frac{3}{4}$
$\Leftrightarrow \sum \left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{a^{2}+b^{2}+2} \right )\geq \frac{3}{4}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}+2}\geq \frac{3}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có:
$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}+2}\geq \frac{\left ( \sum \sqrt{a^{2}+b^{2}} \right )^{2}}{2(\sum a^{2})+6}=\frac{2(\sum a^{2})+2\sum \sqrt{(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})}}{2(\sum a^{2})+6}\geq \frac{\sum a^{2}+\sum (b^{2}+ca)}{\sum a^{2}+3}=\frac{2\sum a^{2}+\sum ab}{\sum a^{2}+3}=\frac{2\sum a^{2}+\frac{1}{2}\left ( (a+b+c)^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2}) \right )}{\sum a^{2}+3}=\frac{\frac{3}{2}(\sum a^{2})+\frac{9}{2}}{\sum a^{2}+3}=\frac{3}{2}$
Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$



#660414 Giải phương trình $x^{2}+2x-2x\sqrt{x}+2\s...

Đã gửi bởi NTA1907 on 03-11-2016 - 13:17 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Giải phương trình $x^{2}+2x-2x\sqrt{x}+2\sqrt{x}-8=0$

Nghiệm "đẹp" thế này chắc phải giải bằng lượng giác.

MSP48351h5hggb1aee0da8i00004559a2f7hcai1c72.gif




#659935 Tìm MIN $\sum \frac{a}{(b+c)^2}$

Đã gửi bởi NTA1907 on 30-10-2016 - 11:02 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1

Tìm MIN $\sum \frac{a}{(b+c)^2}$

Ta có:
$\sum \frac{a}{(b+c)^{2}}=\sum \frac{(a+b+c)a}{(b+c)^{2}}=\sum \frac{a^{2}+a(b+c)}{(b+c)^{2}}=\sum \left ( \frac{a}{b+c} \right )^{2}+\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{1}{3}\left ( \sum \frac{a}{b+c} \right )^{2}+\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{1}{3}.\left ( \frac{3}{2} \right )^{2}+\frac{3}{2}=\frac{9}{4}$(theo Nesbit)
Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$



#659799 CMR: $\frac{1}{4-ab}+\frac{1}...

Đã gửi bởi NTA1907 on 29-10-2016 - 13:00 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $a^{4}+b^{4}+c^{4}=3$

CMR: $\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca}\leq 1$

đây




#659755 Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta luôn có

Đã gửi bởi NTA1907 on 28-10-2016 - 21:55 trong Bất đẳng thức và cực trị

$(a+b)^{6}+(b+c)^{6}+\left ( c+a \right )^{6}\geq \frac{16}{61}(a^{6}+b^{6}+c^{6})$

Đặt $a+b=x,b+c=y,c+a=z\Rightarrow a=\frac{z+x-y}{2},b=\frac{x+y-z}{2},c=\frac{y+z-x}{2}$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$x^{6}+y^{6}+z^{6}\geq \frac{16}{61}\left [ \left ( \frac{y+z-x}{2} \right )^{6}+\left ( \frac{z+x-y}{2} \right )^{6}+\left ( \frac{x+y-z}{2} \right )^{6} \right ]$
$\Leftrightarrow (y+z-x)^{6}+(z+x-y)^{6}+(x+y-z)^{6}\leq 244(x^{6}+y^{6}+z^{6})$
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn:
$(y+z-x)^{6}+(z+x-y)^{6}+(x+y-z)^{6}+(x+y+z)^{6}\leq 244(x^{6}+y^{6}+z^{6})$
Khai triển vế trái bất đẳng thức trên và áp dụng AM-GM ta được:
$(y+z-x)^{6}+(z+x-y)^{6}+(x+y-z)^{6}+(x+y+z)^{6}=4(x^{6}+y^{6}+z^{6})+60(x^{4}y^{2}+y^{4}z^{2}+z^{4}x^{2})+60(x^{2}y^{4}+y^{2}z^{4}+z^{2}x^{4})+360x^{2}y^{2}z^{2}\leq 244(x^{6}+y^{6}+z^{6})$
Vậy ta có đpcm.



#659080 $\sqrt{a^{2}+8bc}+\sqrt{b^{2...

Đã gửi bởi NTA1907 on 23-10-2016 - 21:37 trong Bất đẳng thức và cực trị

2. Chứng minh rằng với mọi số thực không âm $a,b,c$ ta có:

$\sqrt{a^{2}+8bc}+\sqrt{b^{2}+8ca}+\sqrt{c^{2}+8ab}\leq 3(a+b+c)$

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:

$\sum \sqrt{a^{2}+8bc}\leq \sqrt{3\left [ (\sum a^{2}+2\sum ab)+2.3\sum ab \right ]}\leq \sqrt{3\left [ (\sum a)^{2}+2(\sum a)^{2} \right ]}=3(a+b+c)$

 

P/s: Bài này có nhiều cách...




#657397 $\frac{a}{b+c+1}$+$\frac{a}{b+c+1}$+$...

Đã gửi bởi NTA1907 on 10-10-2016 - 12:56 trong Bất đẳng thức và cực trị

bài 1: cho a,b,c $\in$ $\left [ 0;1 \right ]$. cmr:

$\frac{a}{b+c+1}$+$\frac{a}{b+c+1}$+$\frac{a}{b+c+1}$+(1-a)(1-b)(1-c)$\leq$1

đây




#657396 Giải phương trình

Đã gửi bởi NTA1907 on 10-10-2016 - 12:45 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

 

 \[2{{\rm{x}}^2} - x - 2 + \sqrt {3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}} + 3}  = \sqrt {8{\rm{x}} + 3} \]

 

Điều kiện: $x\geq \frac{-3}{8}$

Phương trình đã cho tương đương với:

$\left [ \sqrt{3x^{2}+2x+3}-(x+2) \right ]+\left [ (2x+1)-\sqrt{8x+3} \right ]+2x^{2}-2x-1=0$

$\Leftrightarrow \frac{2x^{2}-2x-1}{\sqrt{3x^{2}+2x+3}+x+2}+\frac{2(2x^{2}-2x-1)}{2x+1+\sqrt{8x+3}}+2x^{2}-2x-1=0$

$\Leftrightarrow (2x^{2}-2x-1)\left ( \frac{1}{\sqrt{3x^{2}+2x+3}+x+2}+\frac{2}{2x+1+\sqrt{8x+3}}+1 \right )=0$

$\Leftrightarrow 2x^{2}-2x-1=0$(vì phần trong ngoặc luôn dương với $x\geq \frac{-3}{8}$)




#657271 $4x^2+12+\sqrt{x-1}=4\left ( x\sqrt{5x-1...

Đã gửi bởi NTA1907 on 09-10-2016 - 16:19 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Giải phương trình

$4x^2+12+\sqrt{x-1}=4\left ( x\sqrt{5x-1}+\sqrt{9-5x} \right )$

Điều kiện: $1\leq x\leq \frac{9}{5}$

Phương trình đã cho tương đương với:

$\left ( 4x^{2}-4x\sqrt{5x-1}+5x-1 \right )+\left ( 9-5x-4\sqrt{9-5x}+4 \right )+\sqrt{x-1}=0$

$\Leftrightarrow (2x-\sqrt{5x-1})^{2}+(\sqrt{9-5x}-2)^{2}+\sqrt{x-1}=0(*)$

$VP_{(*)}\geq 0$ nên dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &2x=\sqrt{5x-1} & \\ &\sqrt{9-5x}=2 & \\ &x=1 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=1$(thoả mãn)




#657266 $4\sqrt{x+2}+\sqrt{22-3x}=x^2+8$

Đã gửi bởi NTA1907 on 09-10-2016 - 16:01 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Giải phương trình:

1. $\sqrt{2-x}+4\sqrt{3+x}=2x^2+3x+4$

Điều kiện: $-3\leq x\leq 2$

Phương trình đã cho tương đương:

$6x^{2}+6x-12+\left [ (4-x)-3\sqrt{2-x} \right ]+4\left [ (x+5)-3\sqrt{3+x} \right ]=0$

$\Leftrightarrow 6(x^{2}+x-2)+\frac{x^{2}+x-2}{4-x+3\sqrt{2-x}}+\frac{x^{2}+x-2}{x+5+3\sqrt{3+x}}=0$

$\Leftrightarrow (x^{2}+x-2)\left ( 6+\frac{1}{4-x+3\sqrt{2-x}}+\frac{1}{x+5+3\sqrt{3+x}} \right )=0$

$\Leftrightarrow x^{2}+x-2=0$(vì phần trong ngoặc luôn dương với $-3\leq x\leq 2$)

 

Giải phương trình:

2. $4\sqrt{x+2}+\sqrt{22-3x}=x^2+8$

 

Điều kiện: $-2\leq x\leq \frac{22}{3}$

Phương trình đã cho tương đương với:

$4\left [ (x+4)-3\sqrt{x+2} \right ]+\left [ (14-x)-3\sqrt{22-3x} \right ]+3x^{2}-3x-6=0$

$\Leftrightarrow \frac{4(x^{2}-x-2)}{x+4+3\sqrt{x+2}}+\frac{x^{2}-x-2}{14-x+3\sqrt{22-3x}}+3(x^{2}-x-2)=0$

$\Leftrightarrow (x^{2}-x-2)\left ( \frac{4}{x+4+3\sqrt{x+2}}+\frac{1}{14-x+3\sqrt{22-3x}}+3 \right )=0$

$\Leftrightarrow x^{2}-x-2=0$(vì phần trong ngoặc luôn dương với $-2\leq x\leq \frac{22}{3}$)