Bài toán : Cho $a,b,c$ thỏa mãn $(a+b)c>0$. Tìm min:
$P=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\frac{c}{2(a+b)}$
Đề bài này phải là $a,b,c$ không âm em nhé.
Áp dụng AM-GM ta có:
$P=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\frac{c}{2(a+b)}=\frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}+\frac{b}{\sqrt{b(c+a)}}+\frac{c}{2(a+b)}\geq \frac{a}{\frac{a+b+c}{2}}+\frac{b}{\frac{a+b+c}{2}}+\frac{c}{2(a+b)}=\frac{2(a+b)}{a+b+c}+\frac{c}{2(a+b)}=\frac{2(a+b)}{a+b+c}+\frac{a+b+c}{2(a+b)}-\frac{1}{2}\geq 2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow a=0, b=c$