Đến nội dung

NTA1907 nội dung

Có 1000 mục bởi NTA1907 (Tìm giới hạn từ 30-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#657258 $\sum \frac{x^5}{y^3+z^3}+\sum x^4$

Đã gửi bởi NTA1907 on 09-10-2016 - 15:33 trong Bất đẳng thức và cực trị

Bài toánCho $a,b,c$ thỏa mãn $(a+b)c>0$. Tìm min:

 

$P=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\frac{c}{2(a+b)}$

Đề bài này phải là $a,b,c$ không âm em nhé.

 

Áp dụng AM-GM ta có: 

$P=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\frac{c}{2(a+b)}=\frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}+\frac{b}{\sqrt{b(c+a)}}+\frac{c}{2(a+b)}\geq \frac{a}{\frac{a+b+c}{2}}+\frac{b}{\frac{a+b+c}{2}}+\frac{c}{2(a+b)}=\frac{2(a+b)}{a+b+c}+\frac{c}{2(a+b)}=\frac{2(a+b)}{a+b+c}+\frac{a+b+c}{2(a+b)}-\frac{1}{2}\geq 2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow a=0, b=c$




#657249 Xét tính tăng giảm của dãy số $U_n=\frac{2-n}{\...

Đã gửi bởi NTA1907 on 09-10-2016 - 14:39 trong Dãy số - Giới hạn

 Xét tính tăng giảm của dãy số $U_n=\frac{2-n}{\sqrt{n}}$

Xét hiệu: $u_{n}-u_{n+1}=\frac{2-n}{\sqrt{n}}-\frac{1-n}{\sqrt{n+1}}=\frac{(2-n)\sqrt{n+1}-(1-n)\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}> 0$(vì $(2-n)\sqrt{n+1}> (1-n)\sqrt{n}$)

$\Rightarrow$ Dãy số giảm




#657244 $\left\{\begin{matrix} (2-x)(2-y)=8 &...

Đã gửi bởi NTA1907 on 09-10-2016 - 14:20 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

$\left\{\begin{matrix} (2-x)(2-y)=8 & & \\ x^2=4-y^2 & & \end{matrix}\right.$

Pt(2): $\frac{x^{2}}{4}=1-\frac{y^{2}}{4}$

Đặt $\frac{x}{2}=sinx, \frac{y}{2}=cosx$

Khi đó phương trình (1) trở thành:

$(1-sinx)(1-cosx)=2$

$\Leftrightarrow sinx+cosx-sinx.cosx+1=0(*)$

Đặt $sinx+cosx=t, t\in \left [ -\sqrt{2};\sqrt{2} \right ]$

$\Rightarrow sinx.cosx=\frac{t^{2}-1}{2}$

Thay vào pt(*) ta được 1 pt mới bậc 2 ẩn t. Đến đây chắc dễ rồi




#657101 Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+3...

Đã gửi bởi NTA1907 on 08-10-2016 - 12:47 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $a, b, c>0$ . Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+3\sqrt[3]{(abc)^{2}}\geqslant 2(ab+bc+ca)$

Áp dụng AM-GM ta có:

$3\sqrt[3]{(abc)^{2}}\geq \frac{9abc}{a+b+c}$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ca)$

Đây là một dạng quen thuộc của bất đẳng thức Schur bậc 3. :) 

Vậy ta có đpcm.




#657097 Topic: [LTDH] Mỗi ngày hai bất đẳng thức.

Đã gửi bởi NTA1907 on 08-10-2016 - 12:39 trong Bất đẳng thức và cực trị

Hai bài 79 và 80: vpvnPlanBbyFESN đã cho lời giải đúng. Mình xin tiếp tục:

Bài 81: Cho các số thực thỏa mãn: $x,y,z>0$ và thỏa mãn: $x=y+z+xyz$. Tìm GTLN của biểu thức:

$P=\frac{(z+z\sqrt{xy})^2}{(x+y)(z^2+1)}+\frac{2z}{(z^2+1)\sqrt{z^2+1}}$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$P=\frac{z(z+xyz+2z\sqrt{xy})}{(x+y)(z^{2}+1)}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}=\frac{z(x-y+2z\sqrt{xy})}{(x+y)(z^{2}+1)}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}=\frac{z\left [ (x-y).1+2\sqrt{xy}.z \right ]}{(x+y)(z^{2}+1)}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}\leq \frac{z\sqrt{\left [ (x-y)^{2}+4xy \right ](1+z^{2})}}{(x+y)(1+z^{2})}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}=\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}=\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}+\frac{2z}{\sqrt{z^{2}+1}}\left ( 1-\frac{z^{2}}{z^{2}+1} \right )=\frac{3z}{\sqrt{z^{2}+1}}-\frac{2z^{3}}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}$

Khảo sát hàm số $f(t)=3t-2t^{3}$ với $0\leq t=\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}\leq \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow P\leq f(t)\leq \sqrt{2}$

Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow x=\sqrt{2}+1, y=\sqrt{2}-1, z=1$




#656657 Topic về phương trình và hệ phương trình

Đã gửi bởi NTA1907 on 04-10-2016 - 12:23 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Bài 547: $\sqrt{6}(x^{2}-3x+1)+\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}\leq 0$

Bài 548: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x+y+1}+1=4(x+y)^{2}+\sqrt{3(x+y)} \\ &12x(2x^{2}+3y+7xy)=-1-12y^{2}(3+5x) \end{matrix}\right.$




#656654 Làm chặt Nesbitt

Đã gửi bởi NTA1907 on 04-10-2016 - 11:33 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Đóng góp cho topic một bài khá hay  :D

Bài toán: Cho $a,b,c$ không âm và không có 2 số nào đồng thời bằng 0. CMR: Với mọi $k\geq 1$ ta luôn có:

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+k.\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}\geq 2\sqrt{k}+1$(Phạm Sinh Tân-Sáng tác)

 

Lời giải:(sưu tầm)

Bất đẳng thức đã cho thuần nhất nên ta chuẩn hoá $a+b+c=1$. Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

$\sum \frac{a}{b+c}+k.\frac{ab+bc+ca}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}\geq 2\sqrt{k}+1$

Đổi biến $a,b,c$ theo $p,q,r$; khi đó ta chứng minh:

$\frac{1-2q+3r}{q-r}+k.\frac{q}{1-3q+3r}\geq 2\sqrt{k}+1$

Ta có:

$\frac{1-2q+3r}{q-r}+k.\frac{q}{1-3q+3r}\geq \frac{1-3q+3r}{q-r}+k.\frac{q}{1-3q+3r}+1\geq \frac{1-3q+3r}{q}+k.\frac{q}{1-3q+3r}+1$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$\frac{1-3q+3r}{q}+k.\frac{q}{1-3q+3r}+1\geq 2\sqrt{k}+1$

Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=\left ( \frac{\sqrt{k+2\sqrt{k}-3}+\sqrt{k+1}}{2}x;x;0 \right )$




#656653 Tìm max A= $13\sqrt{x^{2}-x^{4}}+9...

Đã gửi bởi NTA1907 on 04-10-2016 - 11:08 trong Bất đẳng thức và cực trị

bạn có thể cho mình biết có kĩ thuât nào để tách ra như vậy ko?

Tách sao cho dấu "=" xảy ra thôi  :)




#656435 Tìm max A= $13\sqrt{x^{2}-x^{4}}+9...

Đã gửi bởi NTA1907 on 02-10-2016 - 17:45 trong Bất đẳng thức và cực trị

Tìm max A= $13\sqrt{x^{2}-x^{4}}+9\sqrt{x^{2}+x^{4}}$ với $0\leq x \leq1$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và AM-GM ta có:

$A^{2}=x^{2}\left ( \sqrt{13}.\sqrt{13-13x^{2}}+3\sqrt{3}.\sqrt{3+3x^{2}} \right )^{2}\leq x^{2}(13+27)(13-13x^{2}+3+3x^{2})=40x^{2}(16-10x^{2})=4.10x^{2}(16-10x^{2})\leq (10x^{2}+16-10x^{2})^{2}=16^{2}$

$\Rightarrow A\leq 16$

Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow x=\frac{2\sqrt{5}}{5}$




#656054 $\frac{8x(1-x^{2})}{(1+x^{2})^...

Đã gửi bởi NTA1907 on 29-09-2016 - 22:42 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Giải phương trình:

$\frac{8x(1-x^{2})}{(1+x^{2})^{2}}-\frac{2\sqrt{2}x(x+3)}{1+x^{2}}=5-\sqrt{2}$

 

Spoiler




#656043 Topic về phương trình và hệ phương trình

Đã gửi bởi NTA1907 on 29-09-2016 - 21:35 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Bài 544: $\left\{\begin{matrix} &2(\sqrt{x+1}+1)^{2}=\sqrt[3]{x^{2}+4y+16} \\ &x^{2}+\dfrac{4y}{x}=2(9x-1)\sqrt{2x^{3}-y} \end{matrix}\right.$




#655999 $x^{2}-y^{2}+2\sqrt[3]{x^{4}...

Đã gửi bởi NTA1907 on 29-09-2016 - 18:49 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &x^{2}-y^{2}+2\sqrt[3]{x^{4}}+\sqrt[3]{x^{2}}+y^{3}=2y\sqrt{y-1}\left ( x+\sqrt[3]{x} \right ) \\ &x^{4}+\sqrt{x^{3}-x^{2}+1}=x(y-1)^{3}+1 \end{matrix}\right.$

 




#655967 Giải phương trình: $2(2x^2 +4x + 3) = (5x+4)\sqrt{x^2+3}...

Đã gửi bởi NTA1907 on 29-09-2016 - 11:25 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Giải phương trình:

b, $\sqrt{2x+1} + 3\sqrt{4x^2-2x}+$1$ $=$ $3$ + $\sqrt{8x^3+1}$

Câu b thật vô lí ở chỗ màu đỏ. Mình nghĩ đề đúng phải là $\sqrt{2x+1}+3\sqrt{4x^{2}-2x+1}=3+\sqrt{8x^{3}+1}$

Cách giải phương trình này cũng không khó lắm. Đặt 2 căn bên trái là a,b rồi thế vào phương trình ban đầu. Từ đó phân tích được thành nhân tử




#655964 Giải pt $\large 2{1-x^{2}} = 5x\sqrt[2]...

Đã gửi bởi NTA1907 on 29-09-2016 - 11:12 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

$\large 2\sqrt{1-x^{2}} = 3x\sqrt[3]{x}$

Phương trình có nghiệm duy nhất:

MSP104221401b13e26f52aa0000361idg09450db6cf.gif




#655920 Chứng minh $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^...

Đã gửi bởi NTA1907 on 28-09-2016 - 21:59 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho ba số a,b,c dương thỏa mãn: $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}=\sqrt{2014}$

Chứng minh : $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{1}{2}\sqrt{1007}$

Ta có:

$\sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq \sum \frac{a^{2}}{\sqrt{2(b^{2}+c^{2})}}$

Đặt $\sqrt{a^{2}+b^{2}}=x, \sqrt{b^{2}+c^{2}}=y, \sqrt{c^{2}+a^{2}}=z\Rightarrow x+y+z=\sqrt{2014}$

$\Rightarrow a^{2}=\frac{z^{2}+x^{2}-y^{2}}{2}, b^{2}=\frac{y^{2}+x^{2}-z^{2}}{2}, c^{2}=\frac{y^{2}+z^{2}-x^{2}}{2}$

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

$\sum \frac{z^{2}+x^{2}-y^{2}}{2\sqrt{2}y}\geq \frac{1}{2}\sqrt{1007}$

Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có:

$\sum \frac{z^{2}+x^{2}-y^{2}}{2\sqrt{2}y}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left ( \sum \frac{x^{2}}{y}+\sum \frac{y^{2}}{x}-\sum x \right )\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}(x+y+z)=\frac{1}{2}\sqrt{1007}$

Ta có đpcm.




#655914 $\frac{a}{2a+1}+\frac{b}{2b...

Đã gửi bởi NTA1907 on 28-09-2016 - 21:38 trong Bất đẳng thức và cực trị

Với a,b,c>0, a+b+c=2. CMR : 

$\frac{a}{2a+1}+\frac{b}{2b+1}+\frac{c}{2c+1}\leq \frac{6}{7}$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

$\sum \frac{a^{2}}{2a+1}\geq \frac{4}{7}$

Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có:

$\sum \frac{a^{2}}{2a+1}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)+3}=\frac{4}{7}$

Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=\frac{2}{3}$




#655565 $(x+1)^{2}-5\sqrt{x^{3}-6x^{2}+1...

Đã gửi bởi NTA1907 on 25-09-2016 - 22:26 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

GPT: $(x+1)^{2}-5\sqrt{x^{3}-6x^{2}+11x-6}=10$

Điều kiện: $x^{3}-6x^{2}+11x-6\geq 0$

Phương trình đã cho tương đương:

$x^{2}+2x-9=5\sqrt{(x^{2}-4x+3)(x-2)}$

$\Leftrightarrow (x^{2}-4x+3)+6(x-2)=5\sqrt{(x^{2}-4x+3)(x-2)}$

Đặt $\sqrt{x^{2}-4x+3}=a, \sqrt{x-2}=b$

Phương trình trở thành:

$a^{2}+6b^{2}-5ab=0$

$\Leftrightarrow (a-2b)(a-3b)=0$

...




#655557 $\frac{x+y}{(x-y)^{2}}+\frac...

Đã gửi bởi NTA1907 on 25-09-2016 - 21:51 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $x,y,z\geq 0$ đôi một phân biệt. Chứng minh rằng: 

$\frac{x+y}{(x-y)^{2}}+\frac{y+z}{(y-z)^{2}}+\frac{z+x}{(z-x)^{2}}\geq \frac{9}{x+y+z}$




#655509 Tìm Min: $P=\sum \frac{a^3}{a^2+4ab+b^2}$

Đã gửi bởi NTA1907 on 25-09-2016 - 16:19 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho a,b,c>0 tm abc=1.Tim Min P=$\frac{a^{3}}{a^{2}+4ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+4bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+4ac+a^{2}}$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$a-\frac{a^{3}}{a^{2}+4ab+b^{2}}=\frac{4a^{2}b+ab^{2}}{a^{2}+ab+ab+ab+ab+b^{2}}\leq \frac{4a^{2}b+ab^{2}}{6\sqrt[6]{(ab)^{6}}}=\frac{2a}{3}+\frac{b}{6}$

$\Rightarrow \sum \frac{a^{3}}{a^{2}+4ab+b^{2}}\geq \frac{1}{6}\sum a\geq \frac{1}{6}.3\sqrt[3]{abc}=\frac{1}{2}$

Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$




#655505 $16xyz(x+y+z)\leq 3\sqrt[3]{(x+y)^{4}(y+z)^...

Đã gửi bởi NTA1907 on 25-09-2016 - 15:41 trong Bất đẳng thức và cực trị

cho 3 số thực dương x,y,z .CMR 

       $16xyz(x+y+z)\leq 3\sqrt[3]{(x+y)^{4}(y+z)^{4}(z+x)^4}$

Với $x,y,z>0$ ta luôn có bất đẳng thức sau: $(x+y)(y+z)(z+x)\geq \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)(*)$

Bất đẳng thức này dễ dàng chứng minh được bằng tương đương.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM và bất đẳng thức (*) ta được:

$3\sqrt[3]{(x+y)^{4}(y+z)^{4}(z+x)^{4}}=3(x+y)(y+z)(z+x)\sqrt[3]{(x+y)(y+z)(z+x)}\geq 3.\frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)\sqrt[3]{8xyz}\geq \frac{8}{3}(x+y+z).3\sqrt[3]{(xyz)^{2}}.\sqrt[3]{8xyz}=16xyz(x+y+z)$.

Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow x=y=z$




#655504 $\sqrt{x^{2}-1}+\sqrt{2x^{2...

Đã gửi bởi NTA1907 on 25-09-2016 - 15:34 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

giải pt

$\sqrt{x^{2}-1}+\sqrt{2x^{2}+4x+3}=2x+1$

Điều kiện: $x\geq 1$

Phương trình đã cho tương đương:

$\sqrt{x^{2}-1}=2x+1-\sqrt{2x^{2}+4x+3}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}-1}=\frac{2(x^{2}-1)}{2x+1+\sqrt{2x^{2}+4x+3}}$

$\Leftrightarrow x=1$(thoả mãn) hoặc $2\sqrt{x^{2}-1}-\sqrt{2x^{2}+4x+3}=2x+1(*)$

Lấy phương trình (*) trừ phương trình đầu vế theo vế ta được:

$\sqrt{x^{2}-1}=2\sqrt{2x^{2}+4x+3}$

$\Leftrightarrow 7x^{2}+16x+13=0$(vô nghiệm)




#655495 CMR: $\frac{a^2}{a+2b^2}+\frac{b^2...

Đã gửi bởi NTA1907 on 25-09-2016 - 15:24 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $a,b,c> 0$ thỏa mãn: $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$\frac{a^2}{a+2b^2}+\frac{b^2}{b+2c^2}+\frac{c^2}{c+2a^2}\geq 1$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$a-\frac{a^{2}}{a+2b^{2}}=\frac{2ab^{2}}{a+b^{2}+b^{2}}\leq \frac{2ab^{2}}{3\sqrt[3]{ab^{4}}}=\frac{2}{3}.\sqrt[3]{a^{2}b^{2}}$

$\Rightarrow \sum \frac{a^{2}}{a+2b^{2}}\geq \sum a-\frac{2}{3}\sum \sqrt[3]{a^{2}b^{2}}\geq 3-\frac{2}{9}\sum (ab+ab+1)=3-\frac{2}{9}.\left [ 2(ab+bc+ca)+3 \right ]\geq 3-\frac{2}{9}.\left [ \frac{2(a+b+c)^{2}}{3}+3 \right ]=1$

Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$




#655491 $(a+b)^{4}+(b+c)^{4}+(c+a)^{4}\geq...

Đã gửi bởi NTA1907 on 25-09-2016 - 15:17 trong Bất đẳng thức và cực trị

Đặt $a+b=x;b+c=y;c+a=z=>x+y+z=2$

$P=(a+b)^{4}+(b+c)^{4}+(c+a)^{4}=x^{4}+y^{4}+z^{4}$

Ta có 

Theo bđt Holder $(x^{4}+y^{4}+z^{4})(1+1+1)(1+1+1)(1+1+1)\geq (x+y+z)^{4}=16$

$=>x^{4}+y^{4}+z^{4}\geq \frac{16}{27}$

Liệu có cách làm nào không dùng đến bất đẳng thức Holder không nhỉ  :)




#655488 $(a+b)^{4}+(b+c)^{4}+(c+a)^{4}\geq...

Đã gửi bởi NTA1907 on 25-09-2016 - 14:56 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $a,b,c>0, a+b+c=1$. Chứng minh rằng:

$(a+b)^{4}+(b+c)^{4}+(c+a)^{4}\geq \frac{16}{27}$




#655461 Max $P=\frac{xy}{x^3+y^3}+\frac{yz...

Đã gửi bởi NTA1907 on 25-09-2016 - 10:31 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho x, y, z  là các số dương thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2015$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=\frac{xy}{x^3+y^3}+\frac{yz}{y^3+z^3}+\frac{zx}{z^3+x^3}$

Ta có:
$P\leq \sum \frac{xy}{xy(x+y)}=\sum \frac{1}{x+y}\leq \sum \frac{1}{2\sqrt{xy}}=\frac{1}{2}\sum \frac{1}{\sqrt{xy}}\leq \frac{1}{2}\sum \frac{1}{x}=\frac{2015}{2}$
Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow x=y=z=\frac{3}{2015}$