Giải các hệ phương trình:

1. $\left\{\begin{matrix} &3\sqrt{x^{2}+5}-2\sqrt{y^{2}+3}=5y \\ &2\sqrt{x^{2}+5}-\sqrt{y^{2}+3}=2x \end{matrix}\right.$

2. $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{y+2x-1}+\sqrt{1-y}=y+2 \\ &x\sqrt{x}=\sqrt{y(x-1)}+\sqrt{x^{2}-y} \end{matrix}\right.$

2,$\left\{\begin{matrix} xy^2+4y^2+8=x(x+2) & & \\ x+y+3=3\sqrt{2y-1} & & \end{matrix}\right.$

3,$\left\{\begin{matrix} 2x^2+4y^2+x=19 & & \\ x^2+y^2+y=7 & & \end{matrix}\right.$

2, Pt(1)$\Leftrightarrow xy^{2}+4y^{2}+8-x^{2}-2x=0$

3, Hpt$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &2x^{2}+4y^{2}+x=19 \\ &3x^{2}+3y^{2}+3y=21 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (3x^{2}+3y^{2}+3y)-(2x^{2}+4y^{2}+x)=2$

$\Leftrightarrow x^{2}-(y^{2}-2y+1)-(x-y+1)=0$

$\Leftrightarrow (x-y+1)(x+y-1)-(x-y+1)=0 \Leftrightarrow (x-y+1)(x+y-2)=0$

Đến đây thay vào 1 trong 2 pt là ra

Giải PT sau:

$2(x-2)(\sqrt[3]{4x-4}+\sqrt{2x-2})=3x-1$

Đk: $x\geq 1$

+) $x=1$ không là nghiệm của pt

+) $x\neq 1$

Pt$\Leftrightarrow 2(x-1)\sqrt[3]{4x-4}+2(x-1)\sqrt{2x-2}-2\sqrt[3]{4x-4}-2\sqrt{2x-2}=3x-1$

$\Leftrightarrow 2(x-1)(\sqrt[3]{4x-4}-2)+2(x-1)(\sqrt{2x-2}-2)+2\left [ (x-1)-\sqrt[3]{4x-4} \right ]+2\left [ (x-1)-\sqrt{2x-2} \right ]+x-3=0$

$\Leftrightarrow 2(x-1).\dfrac{4(x-3)}{\sqrt[3]{(4x-4)^{2}}+2\sqrt[3]{4x-4}+4}+2(x-1).\dfrac{2(x-3)}{\sqrt{2x-2}+2}+2.\dfrac{x^{3}-3x^{2}-x+3}{(x-1)^{2}+(x-1)\sqrt[3]{4x-4}+\sqrt[3]{(4x-4)^{2}}}+2.\dfrac{x^{2}-4x+3}{x-1+\sqrt{2x-2}}+x-3=0$

$\Leftrightarrow (x-3)\left ( \dfrac{8(x-1)}{\sqrt[3]{(4x-4)^{2}}+2\sqrt[3]{4x-4}+4}+\dfrac{4(x-1)}{\sqrt{2x-2}+2}+\dfrac{2(x-1)(x+1)}{(x-1)^{2}+(x-1)\sqrt[3]{4x-4}+\sqrt[3]{(4x-4)^{2}}}+\dfrac{2(x-1)}{x-1+\sqrt{2x-2}}+1 \right )=0$

Vì VT của pt sau luôn > 0 nên $x=3$

Ai đó gõ Latex giùm được ko?

Giải phương trình nghiệm nguyên:
2) $2(x+y)+xy=x^2+y^2$

$2(x+y)+xy=x^{2}+y^{2}

$\Leftrightarrow x^{2}-x(y+2)+y^{2}-2y=0$(1)

$\Delta =(y+2)^{2}-4(y^{2}-2y)=-3y^{2}+12y+4=-3(y-2)^{2}+16$

Pt (1) có nghiệm$\Leftrightarrow \Delta \geq 0\Leftrightarrow (y-2)^{2}\leq \frac{16}{3}$

Mà $(y-2)^{2}$ là số chính phương nên $(y-2)^{2}\in \left \{ 0;1;4 \right \}$

Đến đây thì được rồi

Giải phương trình:

$a) x^3-3x^2+2\sqrt{(x+2)^3}-6x=0$

$b) \sqrt{5x^2+14x+9}-\sqrt{x^2-x-20}=5\sqrt{x+1}$

bạn làm sai rồi. khi chia hai vế cho x thì vế phải còn 4x chứ không phải 4

Bạn ấy làm đúng rồi mà. Chia mỗi phân số cho x nghĩa là chia cho x²

Gpt: $(\sqrt{x^{2}+1}-x)^{5}+(\sqrt{x^{2}+1}+x)^{5}=123$

Cũng đặt như trên ta được:

$\left\{\begin{matrix} &a^{5}+b^{5}=123 \\ &ab=1 \end{matrix}\right.$

Thay $a=\frac{1}{b}$ vào phương trình đầu ta có:

$\frac{1}{b^{5}}+b^{5}=123 \Leftrightarrow b^{10}-123b^{5}+1=0 \Rightarrow t^{2}-123t+1=0$

Đến đây thì bạn phải tự giải bằng tay vì nghiệm rất lẻ

đến đây mình ko ra đc bạn ơi 

+)$xy=1$, thay vào pt(1) ta dc:

$x-2y+y^{3}=0$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} &x=y^{3}-2y \\ &xy=1 \end{matrix}\right.$

Giải hệ trên tìm dc x, y

TH $x^{2}+y^{2}=2$ để mình tính đã

Tìm Min,Max của 
$A=x^2y(4-x-y)$ biết $x \ge 0,y \ge 0$ và $x+y \le 6$

Với Max, ta xét 2 TH:

+)Nếu $x+y\geq 4$ thì $A\leq 0$

+)Nếu $x+y< 4$ thì:

$A=4.\frac{x}{2}.\frac{x}{2}.y.(4-x-y)\leq \frac{4}{4^{4}}(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+y+4-x-y)^{4}=4$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow \frac{x}{2}=y=4-x-y\Rightarrow x=2, y=1$

Với Min ta chỉ cần xét $x+y\geq 4$

Ta có:

$-A=x^{2}y(x+y-4)\leq 4.\frac{x}{2}.\frac{x}{2}.y(6-4)\leq \frac{8}{3^{3}}(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+y)^{3}\leq 64$

$\Rightarrow Min A=-64\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &\frac{x}{2}=y \\ &x+y=6 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow x=4, y=2$

làm thế nào ra pt nhưu thế ạ ???/

Pt(2)$\Leftrightarrow (2x^{3}+x^{2})-(2xy+y)-(x^{2}y-y^{2})=0$

$\Leftrightarrow x^{2}(2x+1)-y(2x+1)-y(x^{2}-y)=0$

$\Leftrightarrow (2x+1)(x^{2}-y)-y(x^{2}-y)=0$

$\Leftrightarrow (x^{2}-y)(2x+1-y)=0$

2/ $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+y}+\sqrt{x+3}=\frac{y-3}{x} & \\ \sqrt{x+y}+\sqrt{x}=x+3 & \end{matrix}\right.$

ĐK: $x> 0; x+y\geq 0$

Đặt $\sqrt{x+y}=a; \sqrt{x+3}=b$

Khi đó pt(1) trở thành: $a+b=\frac{a^{2}-b^{2}}{b^{2}-3}$

$\Leftrightarrow (a+b)(b^{2}+b-3-a)=0$

$\Rightarrow b^{2}+b-3=a$

$\Leftrightarrow x+\sqrt{x+3}=\sqrt{x+y}$

Thay vào pt(2) ta được:

$\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=3$

....

3/ $\left\{\begin{matrix} xy+x-2=0 & \\ 2x^3-x^2y+x^2+y^2-2xy-y=0 & \end{matrix}\right.$

Pt(2)$\Leftrightarrow (x^{2}-y)(2x+1-y)=0$

Thay vào pt(1)....

1/ $\left\{\begin{matrix} 5x^2y-4xy^2+3y^3-2(x+y)=0 & \\ xy(x^2+y^2)+2=(x+y)^2 & \end{matrix}\right.$

Pt(2)$\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})(xy-1)-2(xy-1)=0$

$\Leftrightarrow (xy-1)(x^{2}+y^{2}-2)=0$

Đến đây thì được rồi

1/ $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2-2xy-4x+4y+3=0 & \\ xy^2-y^2+3xy+3x-2y-1=0 & \end{matrix}\right.$

Pt(1)$\Leftrightarrow (x-y)^{2}-4(x-y)+3=0$

$\Leftrightarrow (x-y-1)(x-y-3)=0$

Đến đây chắc được rồi nhỉ

2/ $\left\{\begin{matrix} 2x^3+x^2y-xy^2-2y^3=0 & \\ \sqrt{x+y}=\sqrt{x+7}-\sqrt{y-1} & \end{matrix}\right.$

Pt(1)$\Leftrightarrow (x-y)(2x^{2}+3xy+2y^{2})=0$

$\Rightarrow x=y$

Đến đây thì dễ rồi

Cho $x, y, z> 0$ thoả mãn $x+y+z=xyz$. CMR:

$\dfrac{1+\sqrt{1+x^{2}}}{x}+\dfrac{1+\sqrt{1+y^{2}}}{y}+\dfrac{1+\sqrt{1+z^{2}}}{z}\leq xyz$

Giải phương trình : 

2)$4x^2+\frac{3}{4}=2\sqrt{x}$

Đặt $\sqrt{x}=t\geq 0$

$\Rightarrow 16t^{4}-8t+3=0 \Leftrightarrow (2t-1)^{2}(4t^{2}+4t+6)=0$

$\Rightarrow t=\frac{1}{2}$(thoả mãn)

$\Rightarrow x=\frac{1}{4}$

3. $\left\{\begin{matrix} x^4+y^4+6x^2y^2=41 & \\ xy(x^2+y^2)=10 & \end{matrix}\right.$

Ta có:$\left\{\begin{matrix} &(x^{2}+y^{2})^{2}+4x^{2}y^{2}=41 \\ &xy(x^{2}+y^{2})=10 \end{matrix}\right.$ 

Đặt $x^{2}+y^{2}=a; xy=b$ 

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} &a^{2}+4b^{2}=41 \\ &ab=10 \end{matrix}\right.$ 

Đến đây thì dễ rồi

4.  $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+\frac{2xy}{x+y}=1\\ \sqrt{x+y}=x^{2}-y \end{matrix}\right.$

Pt(2)$\Leftrightarrow \sqrt{x+y}+y=x^{2}$

$\Leftrightarrow x+y+\sqrt{x+y}+\frac{1}{4}=x^{2}+x+\frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x+y}+\frac{1}{2})^{2}=(x+\frac{1}{2})^{2}$

Đến đây thì dễ rồi

Cho $a, b, c> 0$. CMR:

$(4a+2b)^9+(4b+2c)^9+(4c+2a)^9 \ge (3a+2b+c)^9+ (3b+2c+a)^9+ (3c+2a+b)^9$

1. Cho a, b, c >0. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{2a +b +c} + \frac{b}{a + 2b +c} + \frac{c}{a +b +2c} \leq  \frac{3}{4}$

Ta có:

$\frac{a}{2a+b+c}\leq \frac{a}{4}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})=\frac{1}{4}(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c})$

Tương tự cộng lại ta được đpcm

1/ giải phương trình

   a) $(x^2+\frac{4}{x^2})-4(x-\frac{2}{x})-9=0$

ĐK: $x\neq 0$

Đặt $x-\frac{2}{x}=t\Rightarrow x^{2}+\frac{4}{x^{2}}=t^{2}+4$

Khi đó ta có:

$t^{2}+4-4t-9=0\Leftrightarrow t^{2}-4t-5=0 \Leftrightarrow t=5$ hoặc $t=-1$

Đến đây ta thay vào tìm x

Cho $a,b,c$ dương thỏa $abc=1$ , CMR $\frac{a^4}{b+3c}+\frac{b^4}{c+3a}+\frac{c^4}{a+3b} \geq \frac{a+b+c}{4} $

Ta có: $VT\geq \dfrac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{4(a+b+c)}\geq \dfrac{\dfrac{(a+b+c)^{4}}{9}}{4(a+b+c)}=\dfrac{(a+b+c)^{3}}{36}$

Ta chứng minh: $\dfrac{(a+b+c)^{3}}{36}\geq \dfrac{a+b+c}{4}$

$\Leftrightarrow (a+b+c)^{2}\geq 9$(luôn đúng vì $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$)

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$

5/ $2x^2-11x+21-3\sqrt{4x-4}=0$

Pt$\Leftrightarrow 2x^{2}-11x+21=3\sqrt[3]{4x-4}$

Vì $VT> 0$ nên $\sqrt[3]{4x-4}> 0$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

$4(x+3)=(4x-4)+8+8\geq 3\sqrt[3]{8.8.(4x-4)}\Leftrightarrow \sqrt[3]{4x-4}\leq x+3$

Thay vào pt ta có:

$2x^{2}-11x+21\leq x+3 \Leftrightarrow 2(x-3)^{2}\leq 0$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=3$