Bài 8: $VT=\sum \frac{a(b+c)}{a^2+(b+c)^2}=\sum \frac{a(b+c)}{a^2+\frac{1}{4}(b+c)^2+\frac{3}{4}(b+c)^2}\leq \sum \frac{a(b+c)}{a(b+c)+\frac{3}{4}(b+c)^2}=\sum \frac{a}{a+\frac{3}{4}(b+c)}$

Đặt $P=(3-VT).\frac{4}{3}=\sum \frac{b+c}{a+\frac{3}{4}(b+c)}$

Và $S=\sum (b+c).\left [ a+\frac{3}{4}(b+c) \right ]=\frac{3}{2}(\sum a^2)+\frac{7}{2}(\sum ab)=\frac{3}{2}(\sum a)^2+\frac{1}{2}(\sum ab)\leq 1.5(\sum a)^2+\frac{1}{6}(\sum a)^2=\frac{5}{3}(\sum a)^2$

Áp dụng bđt Holder tc: $P.S\geq (b+c+a+b+c+a)^2=4(\sum a)^2$

$\Rightarrow P\geq \frac{12}{5}\Rightarrow (3-VT).\frac{4}{3}\geq \frac{12}{5}\Rightarrow VT\leq \frac{6}{5}(đpcm)$

Dấu ''='' xr khi a=b=c>0

Bài 3: Đặt A=$(\frac{\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{6}})^4+2.(\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{6}})^4+3.(\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{6}})^4$

Áp dụng bđt Holder ta có: $P.A.A.A\geq \left [ (\frac{\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{6}})^3.x+(\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{6}})^3.2y+(\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{6}})^3.3z \right ]^4=\left [ \frac{6}{(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{6})^3}.(x+y+z) \right ]^4=\frac{6^4}{(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{6})^{12}}$

Lại có: $A=\frac{6\sqrt[3]{6}+3\sqrt[3]{3}.2+3.2\sqrt[3]{2}}{(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{6})^4}=\frac{6}{(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{6})^3}$

$\Rightarrow P\geq \frac{6^4}{(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{6})^{12}}:\frac{6^3}{(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{6})^9}=\frac{6}{(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{6})^3}\Rightarrow Min P=\frac{6}{(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{6})^3}$

$\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{6}},y=\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{6}}, z=\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{6}}$

P/s: Cách này có vẻ k ổn lắm

Bn tham khảo đ/a ở đây nha

Cho hỏi câu pt nghiệm nguyên ra mấy nghiệm vậy

Chắc là 3: (x,y)=(-8; 2); (12;2): (0;0)

bài 1 

$\frac{-5x-3}{\sqrt{x^{2}-x+1}+x+2}=\frac{-5x-3}{x^{2}+2}$

mới đúng chớ bạn. do đó phương trình sau vẫn có nghiệm, ra bậc 4 lận

Cảm ơn bn . Mình xin làm tiếp

Nếu $\sqrt{x^2-x+1}+x+2=x^2+2\Leftrightarrow x^2-x+1-\sqrt{x^2-x+1}-1=0$

Đặt $\sqrt{x^2-x+1}=a>0\Leftrightarrow a^2-a-1=0$

Đến đây thì bn làm tiếp đc rồi đó

cho các số dương x,y,z thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x^{3}+y^{3}+z^{3}$

$x^3+x^3+(\sqrt{\frac{1}{3}})^3\geq \sqrt{3}x^2$

Tương tự $\Rightarrow 2P\geq \sqrt{3}.1-3.(\sqrt{\frac{1}{3}})^3=\frac{2\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{\frac{1}{3}}$

1. $\Leftrightarrow \sqrt{x^2-x+1}-(x+2)=\frac{x^3+2x^2-3x+1}{x^2+2}-(x+2)\Leftrightarrow \frac{-5x-3}{\sqrt{x^2-x+1}+x+2}=\frac{-5x-3}{x+2}$

Do $\sqrt{x^2-x+1}+x+2\neq x+2\Rightarrow -5x-3=0\Leftrightarrow x=-0.6$

Câu 2 mk có ý này: x=0.5 k là no

$\Leftrightarrow \frac{x^3+7x^2+16x+5}{1-2x}=\sqrt[3]{-3x^2-7x+5}\Leftrightarrow \frac{x^3+7x^2+16x+5}{1-2x}-(x+2)=\sqrt[3]{-3x^2-7x+5}-(x+2)\Leftrightarrow \frac{x^3+9x^2+19x+3}{1-2x}=\frac{-(x^3+9x^2+19x+3)}{\sqrt[3]{(-3x^2-7x+5)^2}+(x+2)\sqrt[3]{-3x^2-7x+5}+(x+2)^2}$

Nếu $x^3+9x^2+19x+3=0\Rightarrow x=-3;-3\pm 2\sqrt{2}$

Còn cái dưới mẫu k bt làm sao nữa. Bn nào có cách khác k??

7. Nếu x>1 hoặc x<-2 $\Rightarrow (x^2+x)^2<$$x^4+2x^3+2x^2+x+3(=y^2)<(x^2+x+1)^2$(l)

$\Rightarrow$ -2<x<1 $\Rightarrow$ $x\in \left \{ -1;0 \right \}$

Nếu x=-1, y^2=3(l)

Nếu x=0, y^2=3(l)

Sai rồi bạn ơi,$x=8$ thôi chứ

Ta có $(x-8)^2 \geq 0$

Hay:

$x^2+2x+10 \geq 18x-54 = 18(x-3)$

Do $x >3$ nên MinM= 18 khi $x=8$

Nhầm. Quên mất cái x>3 mặc dù ghi t/m

Bài 1: Cho biểu thức:

P= ($\frac{9}{x^{3}-9x}+\frac{1}{x+3}$) $\frac{x-3}{x^{2}+3x}-\frac{x}{3x+9}$)

a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P

b)Tìm x để $\left | P \right |$=2

c) Với x>3 hãy tìm Min của M=P.$\frac{x^{2}+2x+10}{-3}$

Giải:

a) Ta dễ dàng tính được P=$\frac{-3}{x-3}$

b)+)Với x<3=>x-3<0=>$\frac{-3}{x-3}$>0=>$\frac{-3}{x-3}$=2

=>x=$\frac{3}{2}$ <3(t/m)

+)Với x>3=>x-3>0=>$\frac{-3}{x-3}$<0=>$\frac{-3}{x-3}$=-2

=>x=$\frac{9}{2}$ >3(t/m)

c) M=P.$\frac{x^{2}+2x+10}{-3}$=$\frac{-3}{x-3}$ . $\frac{x^{2}+2x+10}{-3}$

                                                  = $\frac{x^{2}+2x+10}{x-3}$

Tách ra thì M=x+5+$\frac{25}{x-3}$

Nhưng mình nghĩ là phải làm thế nào để bỏ số x một mình đó đi.Phải không?
Chữa giúp mình 2 câu trên nữa nhé!

2 câu trên mk nghĩ ổn rồi đấy

Tiếp câu c. Do x>3

$M=x+5+\frac{25}{x-3}=x-3+\frac{25}{x-3}+8\geq 2\sqrt{(x-3).\frac{25}{x-3}}+8=2.5+8=18\Rightarrow Min M=18\Leftrightarrow x-3=\frac{25}{x-3}\Leftrightarrow (x-3)^2=25\Leftrightarrow x\in \left \{ -2;8 \right \}(t/m)$

2/ Cho $\left\{\begin{matrix}a>0,b>0,c>0\\ a+c+c=\sqrt{2016} \end{matrix}\right.$

Tìm max $A=\sum\frac{a}{a+\sqrt{2016a+bc}}$

Đề có vấn đề k bn

Phân tích thành nhân tử ta được:

$\sqrt{x+\frac{3}{2}}[(x-\frac{3}{2})\sqrt{x+\frac{3}{2}}+1]=0$

$\Leftrightarrow x=\frac{-3}{2}$ hoặc $(x-\frac{3}{2})\sqrt{x+\frac{3}{2}}+1=0$ 

Giải $(x-\frac{3}{2})\sqrt{x+\frac{3}{2}}+1=0$  (*)

Đặt $a=\sqrt{x+\frac{3}{2}}$, khi đó (*) trở thành :

$a^{3}-3a+1=0$

Đặt $a=2cos\alpha$

Khi đó pt trở thành $8cos^{3}\alpha -6cos\alpha +1=0\Leftrightarrow cos3\alpha =\frac{-1}{2}$

Tới đây thì giải tiếp và kết luận nghiệm     

Chỗ này hình như thuộc phần THPT mà. THCS đã hk số phức đâu

Cho 3 số thực dương a,b,c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

M=$\frac{3a^{4}+3b^{4}+c^{3}+2}{(a+b+c)^{3}}$

Là $c^3$ hay $25c^3$ vậy. Nếu là $25c^3$ thì ở đây rồi

Bài toán: Cho ba số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=3$. Chứng minh:

$\frac{27a^2}{c(c^2+9a^2)}+\frac{b^2}{a(4a^2+b^2)}+\frac{8c^2}{b(9b^2+4c^2)}\geq \frac{3}{2}$

$\frac{27a^2}{c(c^2+9a^2)}=\frac{3}{c}.(1-\frac{c^2}{c^2+9a^2})\geq \frac{3}{c}(1-\frac{c^2}{6ac})=\frac{3}{c}-\frac{1}{2a}$

$\frac{b^2}{a(4a^2+b^2)}=\frac{1}{a}(1-\frac{4a^2}{4a^2+b^2})\geq \frac{1}{a}(1-\frac{4a^2}{4ab})=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$

$\frac{8c^2}{b(9b^2+4c^2)}=\frac{2}{b}.(1-\frac{9b^2}{9b^2+4c^2})\geq \frac{2}{b}(1-\frac{9b^2}{12bc})=\frac{2}{b}-\frac{3}{2c}$

Do đó: $VT\geq \frac{1}{2a}+b+\frac{3}{2c}=VP(đpcm)$

cho các biểu thức P=$\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}$ và Q=$\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}$

a) với giá trị nào của x thì P và Q cùng xác định?giải thích vì sao?

b)rút gọn biểu thức P+Q

$P=\sqrt{(\sqrt{x-4}+2)^2}+\sqrt{(\sqrt{x-4}-2)^2}\Rightarrow P xđ \Leftrightarrow x-4\geq 0\Leftrightarrow x\geq 4(do \sqrt{x-4}+2)^2, \sqrt{x-4}-2)^2\geq 0\veebar x\geq 4 )$

$P=|\sqrt{x-4}-2|+\sqrt{x-4}+2$

Nếu $x\geq 8\Rightarrow \sqrt{x-4}-2\geq 0\Rightarrow P=2\sqrt{x-4}$

Nếu x<8 thì P=4

1.$\Leftrightarrow (64x^2-16x+1)(8x^2-2x)=9\Leftrightarrow 8(8x^2-2x+0.125)(8x^2-2x)=9$

Đến đây đặt $8x^2-2x=a$ là ra

Mà bài 2 sao vô no. Hình như m=4, m<$\frac{14}{3}$ vẫn t/m mà

$2.a.-1\leq x\leq 3$

Đặt $(\sqrt{3x+3};\sqrt{3-x})\rightarrow (a;b)\geq 0\Rightarrow x=3-b^2\Leftrightarrow a+b=3-b^2+ab-1\Leftrightarrow (b-1)(b+2-a)=0$

Nếu $b=1\Rightarrow x=2(t/m)$

Nếu $b+2=a\Rightarrow \sqrt{3-x}+2=\sqrt{3x+3}\Leftrightarrow \sqrt{3-x}=x-1\Leftrightarrow (x-1)^2-(3-x)=0(1\leq x\leq 3)\Rightarrow x=2$

$b. \Leftrightarrow 10(x^2+y^2)-(2x^2+10xy+7y^2)=0\Leftrightarrow (4x-3y)(2x-y)=0$

Nếu $x=\frac{3}{4}y$ thế vào (2) ta được $\frac{25}{16}y^2=5\Leftrightarrow y=\pm \frac{4}{\sqrt{5}}\Rightarrow x=\pm \frac{3}{\sqrt{5}}$

Nếu $y=2x\Rightarrow 5x^2=5\Leftrightarrow x=\pm 1\Leftrightarrow y=\pm 2$

cái min bị sai rồi cậu ơi khi x+y=0 thì $\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}=0$ tức là x=y=-6 suy ra x+y=-12 ( mâu thuẫn ) x+y dương chỉ là điều kiện xác định thôi cậu ơi

Nhưng mk làm Max mà

$x, y\geq -6\Rightarrow x+y\geq 0\Leftrightarrow (x+y)^2=(\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6})^2\leq (x+y+12).2\Rightarrow (x+y)^2-2(x+y)-24\leq 0\Rightarrow x+y\leq 6\Rightarrow MaxP=6\Leftrightarrow x=y=3$(t/m)

Giải phương trình: $3x^2 + x + 3 + ( 8x-3)\sqrt{2x^2+1}=0 ( x \in |R )$

$x=\frac{3}{8}$ k là no

$\Rightarrow \sqrt{2x^2+1}=\frac{3x^2+x+3}{3-8x}\Rightarrow x\leq \frac{3}{8}\Leftrightarrow \sqrt{2x^2+1}-(1-3x)=\frac{3x^2+x+3}{3-8x}-(1-3x)\Leftrightarrow \frac{-7x^2+6x}{\sqrt{2x^2+1}+1-3x}=\frac{3(-7x^2+6x)}{3-8x}$

N $-7x^2+6x=0\Rightarrow x\in \left \{ \frac{6}{7} ;0\right \}\Rightarrow x=0$

N $3(\sqrt{2x^2+1}+1-3x)=3-8x\Leftrightarrow 3\sqrt{2x^2+1}=x\Leftrightarrow 18x^2+9=x^2(x\geq 0)\Rightarrow S=\varnothing$

Vậy x=0

Đề đúng rồi bạn,....nếu 21 bạn dùng pp gì vậy?

$\Leftrightarrow \sqrt{8x^2+4x+15}-(x+3)=\frac{x^3+13x^2+12x+21}{x^2+3x+5}-(x+3)\Leftrightarrow \frac{7x^2-2x+6}{\sqrt{8x^2+4x+15}+x+3}=\frac{7x^2-2x+6}{x^2+3x+5}$

$Mà 7x^2-2x+6>0\Rightarrow \sqrt{8x^2+4x+15}+x+3=x^2+3x+5$ 

Đến đây thì tắc rồi

Áp dụng C-S

Ta có $\sum \frac{1}{a^2+2bc} \geq \frac{9}{(a+b+c)^2} \geq 9 $

Phải là ''>'' chứ

Bài 3: Cho các số thực dương thỏa mãn $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=1$

Tìm GTNN của C=$\sqrt{2a^{2}+ab+2b^{2}}+\sqrt{2b^{2}+bc+2c^{2}}+\sqrt{2c^{2}+ca+2a^{2}}$

$\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=0.5.\sqrt{8a^2+4ab+8b^2}=0.5.\sqrt{3(a-b)^2+5(a+b)^2}\geq 0.5\sqrt{5(a+b)^2}=0.5.\sqrt{5}.(a+b)$

Tương tự $\Rightarrow C\geq \sqrt{5}(x+y+z)\geq \frac{\sqrt{5}}{3}(\sum \sqrt{x})^2=\frac{\sqrt{5}}{3} \Rightarrow Min C=\frac{\sqrt{5}}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{9}$

Nguồn: Thầy Hồng Trí Quang.

Từ GT tc: x-y>0 nên chia cả 2 vế của x-y>(x-y)(x²+xy+y²) cho x-y