Câu 6:

Ta có:$\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}=\frac{1}{\sqrt{(2a+b)^2+(a-b)^2}}\leq \frac{1}{2a+b}\leq \frac{1}{9}(\frac{2}{a}+\frac{1}{b})$ (bất đẳng thức Schwarz)

Chứng minh tương tự như trên ta có:

$P\leq \frac{1}{3a}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{3c}$

Ta cũng có:$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq \sqrt{3(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})}=\sqrt{3}$ (bất đẳng thức AM-GM)

Từ đó ta có: $P\leq \frac{\sqrt{3}}{3}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}$

Vậy MaxP = $\frac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}$.

Ta có: $\sum \frac{ab+c^2}{a+b}+\sum c= \sum \frac{(c+a)(c+b)}{a+b}\geq 2(a+b+c)$ (bất đẳng thức AM-GM)

$\Rightarrow \sum \frac{ab+c^2}{a+b}\geq a+b+c$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c> 0$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Theo bất đẳng thức Schur ta có:

$(x+y+z)^3+9xyz\geq 4(x+y+z)(xy+yz+zx)$

$\Leftrightarrow 9xyz\geq 4(xy+yz+zx)-1$

$\Leftrightarrow 5xyz+1\geq 4(xy+yz+zx-xyz)$

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:

$xyz\leq \frac{(x+y+z)^3}{27}= \frac{1}{27}$

$\Rightarrow xy+yz+zx-xyz\leq \frac{8}{27}$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Câu 5:

a. Có $\frac{1}{2}\sqrt{(a+3b)(b+3a)}\leq \frac{a+3b+b+3a}{4}=a+b$ (bất đẳng thức AM-GM)

Từ giả thiết: $\sqrt{a}+\sqrt{b}=1$ 

Bình phương 2 vế ta có: $2\sqrt{ab}=1-a-b$ 

Hay $4ab=(1-a-b)^2$

Nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$3(a+b)^2+(1-a-b)^2\geq 2(a+b)$

$\Leftrightarrow (2a+2b-1)^2\geq 0$ (luôn đúng)

Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh.

Đây là đề của ban xã hội bạn ạ.

Còn đây là lời giải của mình cho bài toán này các bạn có thể tham khảo:

Coi phương trình trên là phương trình bậc 2 ẩn a theo công thức nghiệm ta được

$a=\frac{-bc+\sqrt{(4-b^2)(4-c^2)}}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho căn thức trong biểu thức trên, ta có:

$a\leq \frac{-bc+\frac{4-b^2+4-c^2}{2}}{2}= \frac{8-(b+c)^2}{4}$

Từ đó ta có: $2a+b+c=\frac{8-(b+c)^2+2(b+c)}{2}=\frac{9-(b+c-1)^2}{2}\leq \frac{9}{2}$

P/s: Mình nghĩ đây là cách ngắn nhất và có thể thay số 2 trong đề bài bởi các số khác vẫn có thể giải tương tự.

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2+abc=4$. Chứng minh rằng:

$2a+b+c\leq \frac{9}{2}$

P/s: Topic dạo này buồn quá. Bài mới nha mọi người

Bài 123: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq 1$. Chứng minh rằng:

$a^2+b^2+c^2+7(ab+bc+ca)\geq \sqrt{8(a+b)(b+c)(c+a)}$

Chúc 2k3 thi tốt bình tĩnh, tự tin, chiến thắng đạt được những mục tiêu đã đề ra!

BĐT$\Leftrightarrow \frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+bd}+\frac{c^2}{cd+ca}+\frac{d^2}{da+db}\geq 2$

Ta có VT$\geq \frac{(a+b+c+d)^2}{(a+d)(b+c)+(c+d)(a+b)}$( theo BĐT Cauchy-Schwarz)

Mà cũng theo BĐT AM-GM ta cũng có $(a+d)(b+c)+(a+b)(c+d)\leq \frac{(a+b+c+d)^2}{2}$

Do đó VT$\geq 2$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra$\Leftrightarrow$ $a= b= c= d> 0$

2 ngày thì mọi người làm đc mấy bài

Bài 106: Cho a₁, a₂,...,a₁₉ là các số tự nhiên thỏa mãn: a₁+a₂+...+a₁₉ =26. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

S=a₁²+a₂²+...+a₁₉²

Problem: Cho $a_{1}, a_{2},...,a_{19}$ là các số tự nhiên thỏa mãn: $a_{1}+a_{2}+...+a_{19}=26.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của: $S=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{19}^{2}.$

Bài 94: Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^3-x^2+8=y^2$

Bài 91: Tìm tất cả các cặp số (p, n) với p là số nguyên tố và n là số nguyên dương thỏa mãn:

$p^3-2p^2+p+1=3^n$

Bài 85: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$. CMR: 

$a+b+c\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

Bài 84: Cho $0< x, y, z< 1$ thỏa mãn: $xyz=(1-x)(1-y)(1-z)$. CMR: $x^2+y^2+z^2\geq \frac{3}{4}$

Bài 85(VMO 2007): Cho x, y là các số nguyên, $x\neq -1, y\neq -1$ thoả mãn: $\frac{x^4-1}{y+1}+\frac{y^4-1}{x+1}$ là số nguyên. CMR

$x^{4}y^{44}-1$ chia hết cho x+1

Bài 81(VMO 2015): Cho a, b, c là các số thực dương. CMR:

$3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq (a+b+c)^2$

Bài 79: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR:

$(a^2-a+1)(b^2-b+1)(c^2-c+1)\geq 1$

Cách của bạn Linh đúng rồi mọi người thử tìm các cách khác chẳng hạn như dùng nguyên lí Đirichlet

Bài 83: Giải phương trình nghiệm nguyên dương:

$x^3-(x+y+z)^2=(y+z)^3+34$

Bài 78(IMO 1984): Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn $a+b+c=1$.CMR:

$0\leq ab+bc+ca-2abc\leq \frac{7}{27}$

Bài 77(APMO 2004): Cho a, b, c là các số thực dương. CMR: $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 9(ab+bc+ca)$

Bài 82: Tìm tất cả các cặp số nguyên tố (p, q) thỏa mãn $p> q$ và $p^3-q^7=p-q$

Bài 75: Cho a, b, c là các số thực dương. CMR:

$a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$

Bài 76: Xét 2 trường hợp

Nếu $p\geq q$ từ giả thiết suy ra $q\leq 3$. Mà q là số nguyên tố nên q thuộc{2; 3}. Thử trực tiếp ta thu được (p, q)=(3, 3)

Nếu $p\leq q$ từ giả thiết suy ra $p\leq 5$. Mà p là số nguyên tố nên p thuộc{2, 3, 5}. Thử trực tiếp ta thu được (p, q)=(3, 3)

Vậy cặp số (p, q) thỏa mãn bài là (3, 3)

Bài 79: Gợi ý sử dụng nguyên lí cực hạn. ĐS: p=2 hoặc p=3