1. Cho $a,b,c,d\in \mathbb{N^{*}}$, phân biệt và đặt

$T=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}$

Biết $T\in \mathbb{N}$. Chứng minh: $abcd$ là số chính phương.

2. Cho $abc\neq 0$ thỏa mãn:

$a\left (\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right )+b\left ( \frac{1}{c}+\frac{1}{a} \right )+c\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )=2$

và $a^{3}+b^{3}+c^{3}=1$

Tính $P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Đặt 100=n,ta có:

B=$(\frac{1}{2^2}-1)(\frac{1}{3^2}-1)....(\frac{1}{n^2}-1)$

=$\frac{(-1).3}{2^2}.\frac{(-2).4}{3^2}....\frac{(1-n)(1+n)}{n^2}$

=$\frac{(-1).(-2)....(1-n)}{2.3....n}.\frac{3.4....(1+n)}{2.3....n}$

=$\frac{(-1).2.3....(n-1)}{2.3....n}.\frac{3.4....(n+1)}{2.3....n}$

=$\frac{(-1)}{n}.\frac{n+1}{2}$=$\frac{-1}{2}.\frac{n+1}{n}<\frac{-1}{2}$

Vậy B<$\frac{-1}{2}$

1) $A=\frac{3x}{4y}+\frac{1}{4}+y+\frac{4}{\sqrt{3x+y}}-\frac{1}{4}=\frac{3x+y}{4y}+y+\frac{2}{\sqrt{3x+y}}+\frac{2}{\sqrt{3x+y}}-\frac{1}{4}\geq 4\sqrt[4]{\frac{4y(3x+y)}{4y(3x+y)}}-\frac{1}{4}=\frac{15}{4}$ 

Đẳng thức xảy ra khi x=y=1

Đề thiếu x,y>0 nên bạn làm đúng rồi.

Đặt $x-y=a$, $\sqrt{x}+\sqrt{y}=b(1)$thì a,b là các số hữu tỉ.

Xét hai trường hợp:

- Nếu $b\not\equiv 0$ thì $\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{a}{b}$ nên $\sqrt{x}-\sqrt{y}=\frac{a}{b}$ là số hữu tỉ.     (2)

  Từ (1) và (2) ta có $\sqrt{x}=\frac{1}{2}\left ( b+\frac{a}{b} \right )$ là số hữu tỉ,

                                $\sqrt{y}=\frac{1}{2}\left ( b-\frac{a}{b} \right )$ là số hữu tỉ.

- Nếu b=0 thì x=y=0, hiển nhiên $\sqrt{x},\sqrt{y}$ là các số hữu tỉ.

Ai giải giúp bất phương trình này với

$3^x+4^x \geq 5^x$

Chia cả 2 vế của bất phương trình cho $5^x$ ta được: $(\frac{3}{5})^x +(\frac{4}{5})^x\geq 1$

• Nếu x=2 thì $(\frac{3}{5})^x +(\frac{4}{5})^x= 1$
• Nếu x>2 thì $(\frac{3}{5})^x<(\frac{3}{5})^2; (\frac{4}{5})^x<(\frac{4}{5})^2\Rightarrow (\frac{3}{5})^x +(\frac{4}{5})^x<1$
• Nếu x<2 thì $(\frac{3}{5})^x>(\frac{3}{5})^2; (\frac{4}{5})^x>(\frac{4}{5})^2\Rightarrow (\frac{3}{5})^x +(\frac{4}{5})^x>1$

Vậy bất phương trình có nghiệm là $x\leq 2$

1. Tìm MIN của A=$\frac{3x}{4y}+y+\frac{4}{\sqrt{3x+y}}$

2. Tìm MIN, MAX của B=$a(b-2c)$ biết $a^2+b^2+c^2=2016; a,b,c\geq 0$

3. Cho các số thực x,y thỏa mãn $x+y+1=2(\sqrt{x-2}+\sqrt{y+3})

Tìm max B=$\sqrt{x+y+1} -(x^2+y^2)$ 

4. Tìm MAX của T=$\frac{a+b}{(a^2+1)(b^2+1)}$ trong đó a,b là các số thực. Hãy mở rộng bài toán trên.

Bài 1:

$\frac{2a^2-2ca+c^2}{2b^2-2bc+c^2}=\frac{a-c}{b-c}(1)\Leftrightarrow 2a^2b--2a^2c+ac^2-bc^2-2ab^2+2b^2c=0$

$\Leftrightarrow 2a(ab-ac+\frac{c^2}{2})-bc^2-2ab^2+2bc^2=0$

$\Leftrightarrow b(2ac-c^2-2ab+2bc)=0$(2)

Vì đẳng thức (2) luôn đúng nên đẳng thức (1) được chứng minh.