Kamii0909 nội dung
Có 155 mục bởi Kamii0909 (Tìm giới hạn từ 25-04-2020)
#653631 Đề hsg lớp 10 KHTN 2016-2017
Đã gửi bởi Kamii0909 on 10-09-2016 - 21:40 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Full câu hình
Gọi (O) cắt (AEF) tại P khác A. I là trung điểm BC.S là trung điểm EF.PI cắt (O) tại H.EF cắt BC tại K.
Có$\widehat{PCK}=\widehat{PFK}$ (cùng phụ với $\widehat{PAB}$ nên PFCK là tứ giác nội tiếp.
$\Delta PEF \sim \Delta PBC$ nên $\frac{PF}{PC}= \frac{EF}{BC}=\frac{FS}{CI}$ suy ra $\Delta PIC \sim \Delta PSF$ => $\widehat{PSK}= \widehat{PIK}$ suy ra PKCI là tứ giác nội tiếp.
Từ các tứ giác nội tiếp PFCK ,PSIK ,PAHC => $\widehat{PKS}=\widehat{PCA}= \widehat{PIS}=\widehat{PHE}$ suy ra OI//AH suy ra AH là đường cao => P cố định
Kẻ PX và PY vuông góc BC,EF =>P,Y,Q thẳng hàng
Mà $\Delta PIX \sim \Delta PSY => \widehat{IPX}= \widehat{SPY} => \widehat{SIP}=\widehat{SPY} => \widehat{SIP}=\widehat{SQP}$ nên SPIQ là tứ giác nội tiếp. Ix là tia đối tia IO. Có $\widehat{HIx}= \widehat{SIP}= \widehat{SPQ}= \widehat{QIx}$ nên Q $\epsilon$ đường thẳng đối của IH qua OI (cố định)
#662053 cho a,b,c>0.CMR: $\sum \sqrt{\frac{a}...
Đã gửi bởi Kamii0909 on 15-11-2016 - 19:26 trong Bất đẳng thức và cực trị
Không mất tính tổng quát giả sử $a \geq b \geq c$.
Khi đó $VP \geq \sum \frac{b^2}{b+c}$ và$ VP \geq \sum \frac{c^2}{c+a}$
Từ đó ta đi chứng minh
$\sum \frac{b^2+c^2}{b+c} \geq \sqrt \frac{2011}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có $2VP \geq \frac{(\sum \sqrt {a^2+b^2})^2 }{2\sum a}$
Dễ dàng suy ra đpcm từ đây
#662752 Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp
Đã gửi bởi Kamii0909 on 22-11-2016 - 21:15 trong Hình học
Tks bác. Lần đầu e thấy cách thế này. Tại có 1 đẳng thức gần giống thế làm bằng định lý sin nên e bắt chước.Tam giác DCA và DHC đồng dạng nên $\frac{DC}{DH}=\frac{CA}{HC}$. Tam giác ACH có CI là phân giác trong góc C nên $\frac{CA}{HC}=\frac{AI}{IH}$. Vậy $\frac{DC}{DH}=\frac{CA}{HC}=\frac{AI}{IH}$
#658826 Tìm giá trị nhỏ nhất $\sum \frac{x}{xy+1}...
Đã gửi bởi Kamii0909 on 22-10-2016 - 21:22 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cheybershev có vẻ khó ra hoàn chỉnh
Mình xin đính chính lại cách khác hay hơn
$\sum \frac{x}{xy+1}=\sum x -\sum \frac{x^{2}y}{xy+1}$
Theo AM-GM 10 số và Holder(đoạn này số siếc loằng ngà loằng ngoằng nên cho phép mình bỏ )
Min=9/10
#673908 CMR:a, $\sum \frac{1}{a^{2}-a+1}...
Đã gửi bởi Kamii0909 on 10-03-2017 - 21:47 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài 1 khó cả 2 câu.1. abc=1, a,b,c dương
CMR:a, $\sum \frac{1}{a^{2}-a+1} \leq 3$
b, $\sum \frac{12a+7}{2a^{2}+1}\leq 19$
a. Bđt cần cm tương đương với
$$\sum \frac{(2a-1)^2}{a^2-a+1} \geq 3$$
Áp dụng bđt C-S ta phải cmr
$$\frac{(2a+2b+2c-3)^2}{a^2+b^2+c^2-a-b-c+3} \geq 3$$
Đặt $p=a+b+c=x^2,q=ab+bc+ca$
Ta phải chỉ ra $p^2-9p+6q \geq 0$
Chú ý bđt thông dụng $q^2 \geq 3pr=3p=3x^2$
Bài toán đưa về $x(x- \sqrt{3})^2(x+2 \sqrt{3}) \geq 0$
Hiển nhiên đúng.
b. Viết lại bđt
$$ \sum \frac{(3a-1)^2}{2a^2+1} \geq 4$$
Áp dụng C-S và ta đi cmr
$$\frac{9(a+b+c-1)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+3} \geq 4$$
$$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+18(ab+bc+ca) -18(a+b+c)-3 \geq 0$$
$$\Leftrightarrow a^2+b^2+18(c-1)(a+b) +c^2-18c+18ab-3 \geq 0$$
KMTTQ, $c \geq 1$, Đặt $c=x^2$
Khi đó $$ L.H.S \geq 20ab+36(c-1) \sqrt{ab} +c^2-18c-3 \geq 0$$
$$\Leftrightarrow \frac{20}{x^2} +\frac{36(x^2-1)}{x} +x^4-18x^2-3 \geq 0$$
$$\Leftrightarrow (x-1)^2(x-2)^2(x+1)(x+5) \geq 0$$
Hiển nhiên đúng.
#693714 Đề thi chọn học sinh giỏi THPT Khoa Học Tự Nhiên 2017-2018
Đã gửi bởi Kamii0909 on 25-09-2017 - 22:13 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Bài 3 có vẻ khó nhai, thôi xử bài 6 trước vậy >.<
Kẻ $MX \perp AB, NY \perp AC$
Gọi $S,T$ là trung điểm $NC,MB$
Dễ có $PB=QC,MB=NC$.
$\dfrac{BF}{BA}=\dfrac{BP}{BC}=\dfrac{CQ}{CB}=\dfrac{CE}{CA}$
Vậy $EF \parallel BC$
Do đó $EFBC$ là hình bình hành nên $EF=PC$
Cũng có $ST=\dfrac{MN+BC}{2}=PC$ nên $EFTS$ cũng là hình bình hành.
Do đó $FT=SE$
Ngoài ra, ta cũng có $\Delta AFL \sim \Delta AEK$
$\Rightarrow \dfrac{AL}{AK}=\dfrac{AF}{AE}$
$$ \dfrac{OA^2-OL^2}{OA^2-OK^2}= \dfrac{LA.LM}{KA.KN}=\dfrac{ LA^2. \dfrac{FX}{FA}}{KA^2. \dfrac{EY}{EA}} =\dfrac{LA^2.FX.EA}{KA^2.EY.FA}= \dfrac{FX.FA}{EY.EA}=\dfrac{FX.FB}{EY.EC}=\dfrac{FT^2-TB^2}{SE^2-SC^2}=1 $$
Do đó $OL=OK$
#674165 CMR:a, $\sum \frac{1}{a^{2}-a+1}...
Đã gửi bởi Kamii0909 on 13-03-2017 - 19:36 trong Bất đẳng thức và cực trị
Ý bạn là sao? Cứ khai triển ra là thấy nó tương đương thôi mà?vì sao ạ?
#658042 Tìm giá trị nhỏ nhất $\sum \frac{x}{xy+1}...
Đã gửi bởi Kamii0909 on 16-10-2016 - 11:22 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho x,y,z dương ;$x+y+z=1$
Tìm Min
$\frac{x}{xy+1}+\frac{y}{yz+1}+\frac{z}{zx+1}$
Giả sử $x\geq y\geq z$
Theo bất đẳng thức Cheybershev ta có
$\sum \frac{x}{xy+1}\geq \frac{\sum x}{3}\sum \frac{1}{xy+1}\geq \frac{3}{\sum xy+3}\geq \frac{3}{\frac{1}{3}\left ( \sum x \right )^{2}+3}=\frac{9}{10}$
#658032 Đề chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia Lào Cai 2016-2017
Đã gửi bởi Kamii0909 on 16-10-2016 - 10:32 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Câu 1
Pt 2 tương đương
$\left (\sqrt{x-y+3}-2 \right )\left ( x^{2}+x+2+\sqrt{x-y+3} \right )=0\Leftrightarrow x=y+1$
Thế lại phương trình 1 để giải
Câu 4
Dễ thấy $3|y$
phương trình tương đương $\left ( 3x+4 \right )^{2}=y^{3}+1\Leftrightarrow \left ( 3x+4 \right )^{2}=\left ( y+1 \right )\left ( y^{2}-y+1 \right )$
mà $gcd\left ( y+1,y^{2}-y+1 \right )=gcd\left ( 3y,y+1 \right )=1$ nên
$\left\{\begin{matrix} y+1=a^{2}\\ y^{2}-y+1=b^{2} \end{matrix}\right.$
Thế 2 phương trình ta có
$a^{4}-3a^{2}+3-b^{2}=0\Leftrightarrow 4a^{4}-12a^{2}+12-4b^{2}=0$
$\Leftrightarrow \left ( 2a^{2}-2b^{2}-3 \right )\left ( 2a^{2}+2b^{2}-3 \right )=-3$
Giải ra có $a^{2}=b^{2}=1$ hay $\left ( x,y \right )=\left ( -1,0 \right )$
#658168 Đề chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia Lào Cai 2016-2017
Đã gửi bởi Kamii0909 on 16-10-2016 - 23:58 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Chỗ này thiếu r bạn. $gcd\left (3y,y+1 \right)=1$ hoặc $gcd\left (3y,y+1 \right)=3 $ chứ
Nếu $gcd\left (3y,y+1 \right)=3$ thì $(3x+4)^2 \not\vdots 3$, còn $(y+1)(y^2-y+1) \vdots 3$ nên vô lý
Mình có ghi ở trên là $3|y$ rồi nên hiển nhiên là $gcd(y+1,3)=1$ do $y+1$ chia 3 dư 1
#663924 Điều kiên đồng quy của 3 đường thẳng
Đã gửi bởi Kamii0909 on 05-12-2016 - 22:53 trong Hình học
Rất xin lỗi bạn vì nhầm đề. Thực sự thì mình không còn đề gốc,tuy nhiên sau khi suy luận(vì mình đã từng đọc đáp án bài này) có lẽ nó là như sau: Ta xác định các điểm $A,B,C,D,G,P,S,O$ như trên. $PS$ cắt $OD$ tại $Q$. Qua $Q$ kẻ đường thẳng $d$ song song $AD$. Gọi $M,N$ là giao điểm của $d$ và $QP$ với $(O)$.Chứng minh rằng $AG,PS,BD$ đồng quy khi và chỉ khi $MBNG$ điều hòa.Mình nghĩ hình như đề bài bạn đưa ra chưa chính xác, vì khi mình kiểm tra bằng geogebra thì tứ giác $ABNM$ không phải lúc nào cũng điều hòa. Bạn có thể xem hình mình gửi kèm thì $BM$ không đi qua cực của $AN$ với $(O).$ Mình thử làm và phát hiện ra 1 số tứ giác điều hòa (khác $ABNM$ ), bạn xem thử nhé. Mình chỉ làm chiều thuận thôi, chiều đảo tương tự.
SpoilerGọi $AN \cap DM=Q \Rightarrow \overline{P,S,Q}$ (Pascal). Gọi $AG \cap BD=E,BG \cap AD=J.$
Xét cực và đối cực với $(O)$ ta có $J$ cực $EP \rightarrow Q \in$ đối cực $J \Rightarrow \overline{J,M,N}.$
Gọi $AM \cap DN=I$ thì $I \in$ đối cực $J,$ tức là $\overline{I,P,Q}.$
Gọi $MG \cap BN=F.$ Xét $\Delta AGM, \Delta DBN$ có $AD,GN,MB$ đồng quy tại $S$ nên theo định lí Desargues $\overline{F,E,I}.$
Gọi $K$ cực $GB$ thì $J \in GB$ đối cực $K \Rightarrow K \in$ đối cực $J,$ tức là $\overline{K,P,Q}.$
Tương tự, gọi $H,L,R$ là cực $MN,MG,BN$ thì $\overline{H,P,Q},\overline{R,S,A,L}$ và tứ giác $KLHR$ ngoại tiếp $(O).$
Theo tài liệu ở đây, ta suy ra $FL,FD$ tiếp xúc $(O),$ do đó các tứ giác $ABDN,DGAM$ điều hòa.
Bài toán trên thực sự rất đơn giản. Mình không nghĩ đề HSG lại quá đánh đố học sinh như bài gốc. Dù sao, mình cũng rất cảm ơn bạn đã chỉ ra sai sót,mình sẽ cố gắng đi tìm bài toán chính xác nhanh nhất có thể.
#667457 $F,M,Y,Z$ đồng viên
Đã gửi bởi Kamii0909 on 07-01-2017 - 14:37 trong Hình học
$\textbf{Lời giải}$
Kẻ $CH$ cắt $(O)$ tại $K$. $FX$ cắt $AK$ tại $N$.
Dễ thấy $FX=FN$ nên áp dụng định lý con bướm đảo vào tứ giác nội tiếp $AKBC$ tâm $O$ có $OF \perp FX$.
Phần sau dễ rồi.
#661703 Phương trình nghiệm nguyên
Đã gửi bởi Kamii0909 on 12-11-2016 - 23:51 trong Số học
Mình lý luận không được chắc chắn lắm có gì sai sót mong bạn chỉ giúp.
đặt $a=x+y,b=xy$
thì $a^2|a^3-3ab-b^2$ hay $a^2|3ab+b^2$
Từ đó $ka^2-3ab-b^2=0$
Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn $a$ thì
$\Delta =b^2(4k+9)$ nên $4k+9$ phải là số chính phương lẻ.
Từ đó tính được $k=m^2+m-2$
thay vào công thức nghiệm được $a= \frac{b}{m-1}$ hoặc $a= \frac{b}{m+2}$
Cả 2 đều chứng tỏ $a|b$ hay $x+y|xy$ nghĩa là $xy=p(x+y)$
Từ đề bài thì tử số phải không âm hay
$x+y \geq 3p+p^2$
Nếu $x=y$ thì $p= \frac{x}{2}$ thay vào có $x \leq 2$
$x=y=1$ KTM, $x=y=2$ TM.
TH còn lại xử lí như trên.
#658525 Chia hết
Đã gửi bởi Kamii0909 on 20-10-2016 - 14:46 trong Số học
Xét số 1111....11 với 1,2,.....,2014 chữ số 1.
Nếu tồn tại 1 số trong các số trên chia hết cho 2013 thì ta có đpcm
Ngược lại ta giả sử không tồn tại thì khi đó sẽ có 2 số trong bảng đồng dư 2013
Lấy hiệu 2 số ta có số $111...100..00=11...11.10^{x}$
Hiển nhiên $gcd(10^{x},2013)=1\Rightarrow 2013|111..11$
Vậy luôn tồn tại số thỏa mãn yêu cầu bài toán
#658381 Giải phương trình nghiệm nguyên: $x+y-2=xyz-3xy$
Đã gửi bởi Kamii0909 on 18-10-2016 - 22:36 trong Số học
chỗ xét x+y-2>0 ấy bạn
Ta có $\left ( y-1 \right )>0 \Rightarrow$
TH $\left ( x-1 \right )(y-1)\leq 0$ xử lí như mình ghi ở trên.
Nếu $\left ( x-1 \right )(y-1)>0 \Rightarrow x \geq 2$
Nếu x=2 thì phương trình vô nghiệm nguyên
Nếu $x>2$
Có $xy|x+y-2\Rightarrow y|x+y-2\Rightarrow y|x-2$
Mà 0<x-2<y nên loại
Mình chưa chú ý. Cảm ơn bạn đã nhắc. Cách này cũng có thể dùng để loại nghiệm TH2 nhỉ
#662731 Điều kiên đồng quy của 3 đường thẳng
Đã gửi bởi Kamii0909 on 22-11-2016 - 20:28 trong Hình học
- Diễn đàn Toán học
- → Kamii0909 nội dung