Tìm tất cả $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn
$$f(x^2+f(xy))=xf(x+y), \forall x,y \in \mathbb{R}$$
Có 155 mục bởi Kamii0909 (Tìm giới hạn từ 20-04-2020)
Đã gửi bởi Kamii0909 on 04-10-2017 - 18:41 trong Phương trình hàm
Tìm tất cả $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn
$$f(x^2+f(xy))=xf(x+y), \forall x,y \in \mathbb{R}$$
Đã gửi bởi Kamii0909 on 09-10-2017 - 17:23 trong Phương trình hàm
trước tiên ta nhận thấy pt có 1 ngh là f(x) đồng nhất bằng 0
ta thấy f(f(0))=0 thay y bởi f(0) trong pt đầu ta được f(x^2)=xf(x) suy ra f là hàm lẻ
suy ra luôn tồn tại số thực a thỏa f(a)=0
th1: a khác 0 lúc này thay x bởi a ta được f(x) là hàm hằng......
th2: suy ra chỉ có một giá trị là x=0 thỏa mãn f(x)=0
thay x bởi -y ta được f(x^2)=x^2 mọi x thực
lại có do tính lẻ của hàm f suy ra f(x)=x vs mọi x thực
Vậy.....
Làm đầy đủ chút được không bạn.
$P(x,f(0)):f(x^2+f(xf(0)))=xf(x+f(0))$
$P(a,y):f(a^2+f(ay))=af(y+a)$
Như bạn thấy cả 2 đẳng thức này chả thu được gì cả.
Đã gửi bởi Kamii0909 on 09-07-2018 - 08:07 trong Phương trình hàm
Tìm hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
1.$f(x+f(y+f(x)))=f(x+y)+x$
Kí hiệu $P(x,y)$ thay cho phép thế $x,y$ vào phương trình.
$P(x,-x):f(x+f(f(x)-x))=x+f(0)$ nên $f$ toàn ánh.
Do đó tồn tại $a, f(a)=-f(0)$
$P(a,-f(a)):a=0$ nên $f(0)=0$
$P(0,x): f(f(x))=f(x)$
$P(x,-x): f(x+f(f(x)-x))=x$
Lấy $f$ 2 vế phương trình này thì $f(x)=x$
Tìm hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
2.$f(x+f(y+f(x)))=f(x)+x+y$
Kí hiệu $P(x,y)$ thay cho phép thế $x,y$ vào phương trình.
$P(x,-f(x)):f(x+f(0))=x$ nên $f(x)=x-f(0)$
Tại đây cho $x=0$ thì $f(0)=0$ nên $f(x)=x$
Đã gửi bởi Kamii0909 on 09-07-2018 - 08:21 trong Phương trình hàm
Tìm tất cả $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
$f(x^2+yf(x))=xf(f(x))+f(x)f(y)$ với mọi $x,y \in \mathbb{R}$
Đã gửi bởi Kamii0909 on 14-01-2019 - 22:55 trong Thi HSG Quốc gia và Quốc tế
Topic ảm đạm quá mình chém bài đa thức vậy.
Bổ đề 1: $\Gamma(f(x))$ là hệ số tự do của $f(x)f(\dfrac{1}{x})$
Chỉ viết $f(x)$ và nhân ra thôi.
Bổ đề 2: Cho
$f(x)=a_{0}+...+a_{n} x^n$
$g(x)=b_{0}+...+b_{n} x^n$
$h(x)=f(x)(b_{0} x^n+...+b_{n})=f(x)x^n g(\dfrac{1}{x})$ (đảo hệ số của $g(x)$)
Thì $\Gamma(f(x)g(x)) = \Gamma(h(x))$
Chú ý $h(x)h(\dfrac{1}{x})=f(x)g(x)f(\dfrac{1}{x})g(\dfrac{1}{x})$
Quay lại bài toán
Với $n=1010$
Viết $P(x)=(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{n})(x+b_{1})(x+b_{2})...(x+b_{n})$
Trong đó $A \cap B = \{1,2,...,2n\}$
Số đa thức $Q_{k} (x)$ phân biệt tạo thành theo bổ đề 2 sẽ bằng vào số bộ phân biệt $b_{1}<b_{2}<...<b_{n}$ mà $b_{i} \in \{1,2,...,2n\} = \dfrac{ (2n)!}{ (n!)^2} = \dfrac{2n(2n-1)...(n+1)}{n(n-1)...1} > 2^n > 2^{n-1}$
Đi thi tiếc thế không làm hoàn chỉnh được bài này, viết được có tới đoạn $P(x)=...$ thì lại lan man đi đâu =))) Không biết có được điểm không nhỉ?
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học