Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Kamii0909 nội dung

Có 156 mục bởi Kamii0909 (Tìm giới hạn từ 28-11-2016)



Sắp theo                Sắp xếp  

#667078 Đề Thi VMO năm 2017

Đã gửi bởi Kamii0909 on 05-01-2017 - 13:37 trong Tuyển chọn Toán Olympic

Cách của e cho b hình. Hơi dài.
Dễ thấy $RHEF$ điều hòa và $RH \parallel EF$ nên $RS$ chia đôi $EF$. Ta cmr $BP,CQ$ chia đôi $EF$.
Gọi $K$ là giao điểm $BP,CQ$. $G$ là giao điểm $AD,EF$.
Theo định lý Pascal cho 6 điểm $A,D,B,C,P,Q$ có $\overline{K,E,F}$.
Mặt khác dễ thấy $BFEC$ nội tiếp nên $BFGD,CEGD$ nội tiếp.
Có $\angle{BGC}=\angle{BGD}+\angle{CGD}=\angle{BFD}+\angle{CED}=\angle{BKC}$ nên $B,K,G,C$ đồng viên.
Gọi $X$ là giao $BC,EF$.
Có $XB.XC=XE.XF=XG.XK$ mà $(EF,XG)=-1$ nên $K$ là trung điểm $EF$. Ta có đpcm.



#673603 VMF's Marathon Bất Đẳng Thức Olympic

Đã gửi bởi Kamii0909 on 06-03-2017 - 22:30 trong Bất đẳng thức và cực trị

cho a, b, c >0 chứng minh
$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq 1+\sqrt{\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

Do tính thuần nhất ta có thể cho $c=1$. Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương
$$a^2b+b^2+a+ab\geq \sqrt{2ab(a+b)(a+1)(b+1)}$$
Bình phương lên và biến đổi nó tương đương với $a^4b^2+b^4+a^2 \geq 3a^2b^2$
Đúng theo AM-GM



#719502 $VMO2019$

Đã gửi bởi Kamii0909 on 14-01-2019 - 22:55 trong Thi HSG Quốc gia và Quốc tế

Topic ảm đạm quá mình chém bài đa thức vậy.

Bổ đề 1: $\Gamma(f(x))$ là hệ số tự do của $f(x)f(\dfrac{1}{x})$

Chỉ viết $f(x)$ và nhân ra thôi.

Bổ đề 2: Cho

$f(x)=a_{0}+...+a_{n} x^n$

$g(x)=b_{0}+...+b_{n} x^n$

$h(x)=f(x)(b_{0} x^n+...+b_{n})=f(x)x^n g(\dfrac{1}{x})$ (đảo hệ số của $g(x)$)

Thì $\Gamma(f(x)g(x)) = \Gamma(h(x))$ 

Chú ý $h(x)h(\dfrac{1}{x})=f(x)g(x)f(\dfrac{1}{x})g(\dfrac{1}{x})$ 

Quay lại bài toán

Với $n=1010$

Viết $P(x)=(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{n})(x+b_{1})(x+b_{2})...(x+b_{n})$

Trong đó $A \cap B = \{1,2,...,2n\}$

Số đa thức $Q_{k} (x)$ phân biệt tạo thành theo bổ đề 2 sẽ bằng vào số bộ phân biệt $b_{1}<b_{2}<...<b_{n}$ mà $b_{i} \in \{1,2,...,2n\} = \dfrac{ (2n)!}{ (n!)^2} = \dfrac{2n(2n-1)...(n+1)}{n(n-1)...1} > 2^n > 2^{n-1}$

 

Đi thi tiếc thế không làm hoàn chỉnh được bài này, viết được có tới đoạn $P(x)=...$ thì lại lan man đi đâu =))) Không biết có được điểm không nhỉ? 




#693724 Đề thi chọn đội tuyển quốc gia THPT chuyên KHTN - ĐHQG Hà Nội vòng 2 năm 2016

Đã gửi bởi Kamii0909 on 26-09-2017 - 00:56 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Ngày 2.

 

Bài 1. Tìm $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa mãn :

\[2f(x)\cdot f(x+y)-f(x^2)=\frac{1}{2}x(f(2x)+4f(f(y)))\]

 

 

Nếu $f$ là hàm hằng, dễ có $f(x)=0, \forall x$ thoả mãn.

 

Xét $f$ khác hằng. 

Từ pt đầu cho $x=0$ ta được $f(0)(2f(y)-1)=0, \forall y$ 

$f$ không hằng nên $f(0)=0$

 

Lại cho $y=0$ thì $\dfrac{xf(2x)}{2}+f(x^2)=2f^2(x)$

Thế đẳng thức này lại phương trình đầu thì $f(x)f(x+y)=f(x)^2+xf(f(y)),\forall x,y$

Ta kí hiệu $P(x,y)$ là phép thế $(x,y)$ cho phương trình này. 

 

Nếu $\exists a \neq 0, f(a)=0$. 

$P(a,y):af(f(y))=0$, tức $(f(f(x))=0, \forall x$

$P(x,f(x)-x): f(x)^2=0,\forall x$ nên $f(x)=0, \forall x$

Có nghĩa $f$ là hàm hằng(loại)

 

Vậy $f(x)=0 \Leftrightarrow x=0$

Xét $x,y \neq 0$.

$P(x,1):f(x+1)=f(x)+\dfrac{x \cdot f(f(1))}{f(x)}$

$P(x,2):f(x+2)=f(x)+\dfrac{x \cdot f(f(2))}{f(x)}$

$P(x+1,1):f(x+2)=f(x+1)+\dfrac{(x+1)f(f(1))}{f(x+1)}=f(x)+\dfrac{x \cdot f(f(1))}{f(x)}+\dfrac{(x+1)f(f(1))f(x)}{f^2(x)+xf(f(1))}$

Từ 2 đẳng thức trên suy ra 

$$f^2(x)( xf(f(1))+2f(f(1))-f(f(2)) )=x^2 f(f(1))( f(f(2))-f(f(1)) ) (1)$$

Giả sử $\dfrac{f(f(2))}{f(f(1))}=k \neq 2$

Từ đẳng thức trên cho $x = k-2$ sẽ được $(k-2)^2 \cdot f(f(1))^2 \cdot (k-1)=0$

Cho ta $f(f(2))=f(f(1)$

Khi đó $(1)$ tương đương $f^2(x) \cdot f(f(1)) \cdot (x+1)=0, \forall x \neq 0$

Chọn $x \neq 0,-1$ ta suy ra mâu thuẫn. 

Vậy $f(f(2))=2f(f(1))$

 

Do đó $f^2(x)=f(f(1))x^2$

Cho $x=1$ thì $f(f(1))=f(1)^2$, suy ra $f^2(x)=x^2 f(1)^2,\forall x \neq 0$ 

Kết hợp với $f(0)=0$ cho ta $f^2(x)=x^2 f(1)^2=c^2 x^2,\forall x$

 

Giả sử $ \exists a,b \neq 0,f(a)=ac,f(b)=-bc$

$P(a,y-a)-P(b,y-a):f(y)+f(y+b-a)=ca-cb (2)$

Tại $(2)$ cho $y=0$ thì $f(b-a)=ca-cb$

Cho $y=b-a$ thì $f(2b-2a)=0 \Leftrightarrow a=b$

Từ đó ta có $a=b=0$(mâu thuẫn) 

 

Vậy $f(x)=cx,\forall x$ hoặc $f(x)=-cx,\forall x$. 

Cả 2 đều dẫn đến $f(x)=ax, \forall x$

Thay hàm này vào pt đầu thì $a=0,a=1$. 

Thử lại 2 hàm $f(x)=0, \forall x$ và $f(x)=x,\forall x$ đều TM. 

Kết luận...




#659813 ĐỀ THI HSG LỚP 12 TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM 2016-2017

Đã gửi bởi Kamii0909 on 29-10-2016 - 15:59 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Sai ở câu b: Đường thẳng CD đi qua trung điểm của PQ?

Hình như cũng ko đúng. Câu a và b khả năng cao là sai đề. Câu c thì đúng




#659152 ĐỀ THI HSG LỚP 12 TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM 2016-2017

Đã gửi bởi Kamii0909 on 24-10-2016 - 00:02 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Câu PTH.
Thay x=0 thì $f(0)=-1$
Thay x=y thì $f(2x)-2f(x)=x^2+1$ (1)
Từ 1 thay x=-x thì $f(-2x)-f(-x)=x^2+1$(2)
Từ (1) và (2) $f(x)-f(-x)=f(2x)-f(-2x)$
Đặt $g(x)=f(x)-f(-x)$ thì
$g(1)=g(2)=....$
Vậy g(x)=c=const hay $f(x)=c+f(-x)$
Từ phương trình thay y=-x thì $f(x)+f(-x)=x^2-2$(3)
Thay vào ta có $f(-x)=\frac{x^2-2-c}{2}$
Với x=0 thì c=0 vậy $f(x)=f(-x)$
Thay lên (3) ta có $f(x)=\frac{x^2}{2}-1$
Thử lại thỏa mãn



#660036 ĐỀ THI HSG LỚP 12 TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM 2016-2017

Đã gửi bởi Kamii0909 on 31-10-2016 - 00:41 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

hh2.png
Post cái hình cho bác Kamii 0909

Sorry bác. Không hiểu thế nào e đọc nhầm đề thành trên tia đối của tia BA.
Đây là kết quả quen thuộc rồi và thậm chí nó còn có trong tuyển tập ôn thi chuyên cấp 3 của e.
Cứ chém tạm câu c(ngắn nhất-chủ yếu là do e lười LaTeX)
Có tứ giác ACBD điều hòa nên CD đi qua giao điểm 2 tiếp tuyến tại A và B của đường tròn tâm O' là điểm cố định(đpcm).
Cũng có thể giải bằng đồng dạng với kiến thức THCS như sau.
Gọi giao điểm OO' và MB là H,OO' với CD là Q. O'M với CD là K.Khi đó $O'H.O'Q=O'K.O'M=O'C^2$
Như vậy O'Q không đổi. CD đi qua Q cố định



#659762 ĐỀ THI HSG LỚP 12 TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM 2016-2017

Đã gửi bởi Kamii0909 on 28-10-2016 - 22:52 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Bài hình đề bài sai sai. Bạn nào thi sửa lại hộ mình với



#659119 ĐỀ THI HSG LỚP 12 TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM 2016-2017

Đã gửi bởi Kamii0909 on 23-10-2016 - 22:06 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

 

  1. Giải hệ phương trình với $x\geq 0$

                                      $\left\{\begin{matrix} 2x-2y+\sqrt{2x+y+2xy+1}=1 & & \\ \sqrt[3]{3y+1}=8x^{3}-4x-1& & \end{matrix}\right.$

  

 

Câu hệ này từng là đề thi rồi thì phải. Tại mình làm rồi

$\sqrt{2x+1}=a, \sqrt{y+1}=b$ (Do x>0)

Viết lại phương trình 1 $(a-b)(a+2b)=0\Rightarrow 2x=y$

Thế vào phương trình 2 $6x+1+\sqrt[3]{6x+1}=8x^{3}+2x$

Xét hàm đặc trưng $f(t)=t^{3}+t$

Có $f'(t)=3t^{2}+1>0$

Như vậy $8x^{3}-6x-1=0$

Phương trình này có thể giải bằng lượng giác hóa.




#693450 Đề thi chọn học sinh giỏi THPT Khoa Học Tự Nhiên 2017-2018

Đã gửi bởi Kamii0909 on 21-09-2017 - 00:48 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Bài 2: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số nguyên không âm thoả mãn $P(\sqrt [3]{3})=2017$ và $P(1)$ nhận giá trị nhỏ nhất có thể.

 

Bài 7: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a) ≠ 0$. Chứng minh rằng:

$\frac {(a^2-b^2)(a^2-c^2)}{(b+c)^2} + \frac {(b^2-c^2)(b^2-a^2)}{(c+a)^2} + \frac {(c^2-a^2)(c^2-b^2)}{(a+b)^2} \geq 0$

Bài 2. 

Dễ thấy $P(x)=(x^3-3)Q(x)+2017$

Đặt $Q(x)=a_{n} x^n+a_{n-1} x^{n-1}+...+a_0$ 

$P(x)=a_{n} x^{n+3}+a_{n-1} x^{n+2} +a_{n-2} x^{n+1} +( a_{n-3}-3a_{n} ) x^n+(a_{n-4}-3a_{n-1}) x^{n-1}+...+(a_{0}-3a_{3})x^3-3a_{2} x^2 -3a_{1} x +2017 - 3a_{0}$

Do $P(x)$ có hệ số không âm nên ta phải có hệ
$$\left\{\begin{matrix} a_{n},a_{n-1},a_{n-2} \geq 0\\ a_{n-3} \geq 3a_{n}\geq 0\\ ...\\ a_{0} \geq 3 a_{3} \geq 0\\ a_1 ,a_2 \leq 0\\ a_0 \leq \dfrac{2017}{3}\\ \end{matrix}\right.$$

Cho ta các nghiệm nguyên không âm $a_{n}=a_{n-1}=...=a_{1}=0$ hay $Q(x)=a_0=c \leq 672$ là hàm hằng. 

$P(1)=c+2017-3c=2017-2c \geq 673$

Dấu "=" xảy ra khi $P(x)=672 x^3 +1$

Bài 7. 

$VT=f(a,b,c) \geq f(|a|,|b|,|c|)$nên ta chỉ cần chứng minh trong TH a,b,c không âm. 

KMTTQ, $a \geq b \geq c$

$f(a,b,c)=\sum \dfrac{(a-b)(a-c)(a+b)(a+c)}{(b+c)^2}$

Dễ thấy $\dfrac{(a+b)(a+c)}{(b+c)^2} \geq \dfrac{(b+a)(b+c)}{(c+a)^2}$ 

nên theo bất đẳng thức Vornicul-Schur ta có đpcm.

 

#Ps: 2 bài hình vòng 1 năm nay có vẻ không thấm lắm :V 




#657830 ĐỀ THI CHỌN ĐT QG TỈNH HÀ NAM NĂM 2016-2017

Đã gửi bởi Kamii0909 on 14-10-2016 - 18:31 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Câu bất quen quá rồi

Theo AM-GM

$a+(b+c)\geq 2\sqrt{a(b+c)}\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{2a}{a+b+c}$

Cộng lại có $P\geq 2$




#689342 Đề Thi Trại Hè Hùng Vương 2017

Đã gửi bởi Kamii0909 on 03-08-2017 - 00:23 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Bài 4.
$a+b^2 \mid a^2+b$ nên $a \geq b$ 

$a=b$ thì $2 \mid a(a+1)$, do đó $2^x=a(a+1)$
Nếu $a\geq 2$ thì $a(a+1)$ sẽ có ước khác 2(vô lý)
Vậy $a=b=1$
Xét $a > b \geq 1$
$a+b^2 \mid a^2+b$
$\Leftrightarrow a+b^2 \mid a(a+b^2)-b(ab-1)$
Mà $(a,ab-1)=1$ nên $a+b^2 \mid b(a+b^2)-b^3-1$
Hay $p^x=a+b^2 \mid (b+1)(b^2-b+1)$
Dễ thấy $a+b^2 >b+1$ và $a+b^2>b^2-b+1$ nên $p|(b+1,b^2-b+1)$
Từ đó có $p=3$
Mà $9 \nmid b^2-b+1$ nên $3^{x-1} \mid b+1$
$\Rightarrow b \geq 3^{x-1}-1 = \dfrac{a+b^2}{3} -1$
Hiển nhiên điều này sai với $b \geq 3$, mà $3^{x-1} \mid b+1$ nên $b=2, a=5$




#689899 Đề Thi Trại Hè Hùng Vương 2017

Đã gửi bởi Kamii0909 on 08-08-2017 - 13:14 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

cách này mình đã post thì bạn/anh/chị post lại làm gì nữa

$p$ chỉ có max là $(b+1,b^2-b+1)$ và k có điều kiện gì để suy ra được nó là ước cả , cho nên xét thiếu $p=2$ r kìa 

chọn $b=3$ và $a=1$ thì $b=3 \geq \frac{a+b^2}{3}-1=\frac{7}{3}$

$2 \nmid b(b-1)+1$
$a>b$




#693714 Đề thi chọn học sinh giỏi THPT Khoa Học Tự Nhiên 2017-2018

Đã gửi bởi Kamii0909 on 25-09-2017 - 22:13 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Bài 3 có vẻ khó nhai, thôi xử bài 6 trước vậy >.< 

 

Kẻ $MX \perp AB, NY \perp AC$

Gọi $S,T$ là trung điểm $NC,MB$

 

Dễ có $PB=QC,MB=NC$. 

$\dfrac{BF}{BA}=\dfrac{BP}{BC}=\dfrac{CQ}{CB}=\dfrac{CE}{CA}$

Vậy $EF \parallel BC$

 

Do đó $EFBC$ là hình bình hành nên $EF=PC$

Cũng có $ST=\dfrac{MN+BC}{2}=PC$ nên $EFTS$ cũng là hình bình hành.

Do đó $FT=SE$

 

Ngoài ra, ta cũng có $\Delta AFL \sim \Delta AEK$ 

$\Rightarrow \dfrac{AL}{AK}=\dfrac{AF}{AE}$

 

$$ \dfrac{OA^2-OL^2}{OA^2-OK^2}= \dfrac{LA.LM}{KA.KN}=\dfrac{ LA^2. \dfrac{FX}{FA}}{KA^2. \dfrac{EY}{EA}} =\dfrac{LA^2.FX.EA}{KA^2.EY.FA}= \dfrac{FX.FA}{EY.EA}=\dfrac{FX.FB}{EY.EC}=\dfrac{FT^2-TB^2}{SE^2-SC^2}=1 $$

 

Do đó $OL=OK$

Hình gửi kèm

  • 5.png



#657750 Đề chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia tỉnh Bắc Ninh 2016-2017

Đã gửi bởi Kamii0909 on 13-10-2016 - 19:04 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Câu bất 

Đặt A=3 hạng tử đầu

$\sum \frac{ab}{3a+4b+5c}= 2\sum \frac{ab}{6a+8b+10c}\leq \frac{1}{72}\sum \left ( 5\frac{ab}{a+c}+5\frac{ab}{a+c}+4\frac{ab}{a+3b} \right )$ 

$A\leq \frac{5}{72}\left ( a+b+c \right )+\frac{1}{72}\left ( a+b+c \right )= \frac{1}{12}\left ( a+b+c \right )= \frac{3}{4}$

AD bất đẳng thức AM-GM

$4(a+b+c)=3a+(a+2c)+3b+(b+2c)\geq 4\sqrt[4]{9ab(a+2c)(b+2c)}$

$\Leftrightarrow \sqrt{ab(a+2c)(b+2c)}\leq 27\Rightarrow VT\leq \frac{77}{108}$




#657837 Đề chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia tỉnh Bắc Ninh 2016-2017

Đã gửi bởi Kamii0909 on 14-10-2016 - 19:00 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

mình không hiểu chỗ màu đỏ lắm

Bạn ghép vào thôi

 $\sum \left (\frac{5ab}{a+c}+\frac{5ab}{a+c} \right )=\sum \frac{5ab+5bc}{a+c}=5\sum a$

Mình có làm hơi tắt  :D  :D Phải AM-GM nữa

 $\sum \frac{4ab}{a+3b}\leq \sum \frac{1}{4}\left ( \frac{ab}{a}+3\frac{ab}{b} \right )$

Bạn ghép 2 tổng lại là ra như mình  :icon6:  :icon6:




#662505 Đề Thi HSG Toán TP Hải Phòng ( bảng không chuyên ) năm 2016-2017

Đã gửi bởi Kamii0909 on 20-11-2016 - 11:23 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

sai rồi bạn nhé
thay thử lại thì P=-1/3 và đó cũng là đáp án đúng

Xin lỗi bạn lúc đó mình hơi vội.
Mình xin đưa cách giải như sau.
Ta chứng minh $VP \leq -1/3$
$\Leftrightarrow \sum \frac{4}{x+2} - \sum \frac{3x^2}{2} \geq 26/3$
Ta chứng minh bất đẳng thức phụ
Với $0 \leq x \leq 1$ thì
$\frac{4}{x+2} - \frac{3x^2}{2} \geq \frac{-13x}{6} +2$
$\Leftrightarrow x(x-1)(9x+14) \leq 0$
Áp dụng bất đẳng thức phụ rồi cộng vào ta có đpcm.



#657873 Đề Thi HSG Toán TP Hải Phòng ( bảng không chuyên ) năm 2016-2017

Đã gửi bởi Kamii0909 on 14-10-2016 - 22:40 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Câu 7 

Bằng biến đổi tương đương ta suy ra 

$P=\frac{3}{2}\left ( \sum x^{2} \right )+\frac{7}{2}$

Mà $\sum x^{2}\leq \left ( \sum x \right )^{2}\Leftrightarrow \sum xy\geq 0$

nên $P\leq 5$

Dấu bằng $\Leftrightarrow$ $\left ( x,y,z \right )=\left ( 0,0,1 \right )$




#658024 Đề chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia Khánh Hòa 2016-2017 (2 ngày)

Đã gửi bởi Kamii0909 on 16-10-2016 - 09:06 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Câu 2 ngày 1 
$x^{2}+xy+y^{2}\leq 2\Leftrightarrow y^{2}+yx+x^{2}-2\leq 0$

$\Delta = 8-3x^{2}\geq 0\Leftrightarrow 3x^{2}\leq 8$

$5x^{2}+2xy+2y^{2}=3x^{2}+2\left ( x^{2}+xy+y^{2} \right )\leq 12$

Mình không nhìn rõ đề lắm  :(  :(  :( Bạn nào gõ lại được không  :icon6: Mấy cái chỉ số dưới nó cứ mờ mờ ảo ảo :wacko:  :wacko:




#661694 Kỳ thi chọn đội tuyển dự thi VMO tỉnh Đồng Nai

Đã gửi bởi Kamii0909 on 12-11-2016 - 23:19 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Bài hình không khó lắm nhưng khá hay.
Có $A$ là tâm vị tự biến $(ADE)$ thành $(ABC)$ nên $(ADE)$ tiếp xúc $(ABC)$ tại A.
Từ đó theo định lý về tâm đẳng phương thì
$BC,EQ,PQ$ và tiếp tuyến chung tại $A$ của 2 đường tròn $(ADE)$ và $(ABC)$ đồng quy tại S.
Ta có $(ED,EQ)=(SB,SQ)=(AB,AQ)(mod \pi )$ hay ASBQ nội tiếp.
Dễ thấy $(BD,BQ)=(SA,SQ)(mod \pi )$ và $(DB,DQ)=(EA,EQ)=(AS,AQ)(mod \pi )$
nên $\Delta BDQ \sim \Delta SAQ$
Suy ra $\frac{BD}{BQ} = \frac{SA}{SQ} = \frac{AD}{BQ}$
Mà $(AS,AD)=(QS,QB)(mod \pi )$ nên $\Delta ASD \sim \Delta QSB$
Có $(AD,DP)=(QB,BC)=(EQ,EA)=(PQ,PA)=(QA,QP)(mod \pi )$
Hệ thức trên chứng tỏ $AQ=AP$.




#661744 Kỳ thi chọn đội tuyển dự thi VMO tỉnh Đồng Nai

Đã gửi bởi Kamii0909 on 13-11-2016 - 11:11 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Chứng minh đẳng giác có thể dùng TAB và TCA đồng dạng. D, E là trung điểm của AB, AC nên TAD và TCE đồng dạng.

Cũng giống cách của mình. Nhưng mình đang tìm cách chứng minh nhanh hơn. 




#661729 Kỳ thi chọn đội tuyển dự thi VMO tỉnh Đồng Nai

Đã gửi bởi Kamii0909 on 13-11-2016 - 09:29 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Câu hình còn có thể chứng minh như thế này :
Gọi tiếp tuyến kẻ từ $A$ cắt $BC$ tại $T$ ; tâm ngoại tiếp $(BAC),(ADE)$ lần lượt là $H,G$ dễ thấy $A,G,H$ thẳng hàng do đó $TA$ là tiếp tuyến chung của $(ABC),(ADE)$. Nên $T$ nằm trên trục đẳng phương của $(AED),(BCD),(BCE)$ hay $DP,QE,BC$ đồng qui tại $T$ .Ta có :
$\widehat{ACB}=\widehat{TQB}=\widehat{TAB}$ suy ra tứ giác $AQBT$ nội tiếp
Mặt khác:
$\widehat{AQP}=\widehat{ADP}=\widehat{ATD}+\widehat{TAD}$
Và $\widehat{APQ}=\widehat{AEQ}=\widehat{TAB}+\widehat{BAQ}$
Kết hợp với tia $TD$ và tia $TQ$ đẳng giác trong $\widehat{ATB}$ nên $\widehat{ATD}=\widehat{BAQ}$

Cái khó của bài toán chính là $TD$ và $TQ$ đẳng giác. Bạn có hướng nào ngắn gọn chứng minh cái này không?



#654500 CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG QUỐC GIA TỈNH HÒA BÌNH

Đã gửi bởi Kamii0909 on 17-09-2016 - 16:59 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

biến đổi vế trái:
$ VT=a(x^{2}+z^{2})+b(x^{2}+y^{2})+c(y^{2}+z^{2}) \geq 2(azx+bxy+cyz) $
đến đây áp dụng BĐT chebychev ta có:
$ azx+bxy+cyz \geq \frac{1}{3}(a+b+c)(xy+yz+zx) $
mà theo bất đẳng thức AM-GM ta có: $ a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc} = 3 $
suy ra $ 2(azx+bxy+cyz) \geq 2(xy+yz+zx) $
từ đó ta có đpcm

Hình như đâu có thể Cheybershev được đâu :) Nếu a>=b>=c và y>=x>=z thì bất đẳng thức đó sai rồi mà



#653631 Đề hsg lớp 10 KHTN 2016-2017

Đã gửi bởi Kamii0909 on 10-09-2016 - 21:40 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Full câu hình  :lol:  :lol:

Gọi (O) cắt (AEF) tại P khác A. I là trung điểm BC.S là trung điểm EF.PI cắt (O) tại H.EF cắt BC tại K.

Có$\widehat{PCK}=\widehat{PFK}$ (cùng phụ với $\widehat{PAB}$ nên PFCK là tứ giác nội tiếp.

$\Delta PEF \sim \Delta PBC$ nên $\frac{PF}{PC}= \frac{EF}{BC}=\frac{FS}{CI}$ suy ra $\Delta PIC \sim \Delta PSF$ => $\widehat{PSK}= \widehat{PIK}$ suy ra PKCI là tứ giác nội tiếp.

Từ các tứ giác nội tiếp PFCK ,PSIK ,PAHC => $\widehat{PKS}=\widehat{PCA}= \widehat{PIS}=\widehat{PHE}$ suy ra OI//AH suy ra AH là đường cao => P cố định

Kẻ PX và PY vuông góc BC,EF =>P,Y,Q thẳng hàng

Mà $\Delta PIX \sim \Delta PSY => \widehat{IPX}= \widehat{SPY} => \widehat{SIP}=\widehat{SPY} => \widehat{SIP}=\widehat{SQP}$ nên SPIQ là tứ giác nội tiếp. Ix là tia đối tia IO. Có $\widehat{HIx}= \widehat{SIP}= \widehat{SPQ}= \widehat{QIx}$ nên Q $\epsilon$ đường thẳng đối của IH qua OI (cố định) 

Hình gửi kèm

  • 01.png



#661696 Cho $a^2+b^2+(a-b)^2=c^2+d^2+(c-d)^2$. CMR: $a^4+b^4+(a-b)^4=c...

Đã gửi bởi Kamii0909 on 12-11-2016 - 23:26 trong Số học

Có hằng đẳng thức sau 

$a^4 +b^4 +(a\pm b)^4=2(a^2\pm ab+b^2)^2$

Hoàn toàn dễ dàng chứng minh đẳng thức trên dựa vào đây.