(x - y)² + (y - z)² + (z - x)² >=0

<=> x² -2xy + y² +  z² -2zy + y² +  x² -2xz + z² >=0

<=> 2x² + 2y² +2z² >= 2xy+2yz+2zx

<=> 2x² + 2y² +2z² + x² + y² +z² >= 2xy+2yz+2zx + x² + y² +z²

<=> 3x² + 3y² +3z² >= (x+y+z)²

<=> 3x² + 3y² +3z² >= 9

<=> x² + y² +z² >= 3

Vậy GTLN của P= x² + y² +z² là 3 <=> x=y=z=1

sai rồi bạn phải là GTNN

Cho $a,b,c >0$ và $a+b+c=1$. Tìm Min của $P=(1+\frac{2}{1-a})(1+\frac{2}{1-b})(1+\frac{2}{1-c})$

Ta có

$P=\prod (1+\frac{2}{1-a})=\prod (\frac{a+b+2}{a+b})$

Đặt $\left\{\begin{matrix} a+b=x\\ b+c=y\\ c+a=z \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow x+y+z=2$

$\Rightarrow P=\frac{(x+2)(y+2)(z+2)}{xyz}=1+2(\sum \frac{1}{x})+4\sum \frac{1}{xy}+\frac{1}{xyz}\geq 64$

Giải phương trình sau: $\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}=-x^{2}+2x+1$

ĐK $1\leq x\leq 5$

Ta có

$-x^{2}+2x+1=-(x-1)^{2}+2\leq 2$

$(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x})^{2}=4+2\sqrt{(x-1)(5-x)}\geq 4\Rightarrow VT\geq 2$

$\Rightarrow x=1$

Tại sao $A\geq \frac{17}{4}$ ?????

Ta có

$A=3a^{2}-3a+5=3(a-\frac{1}{2})^{2}+\frac{17}{4}\geq\frac{17}{4}$

   Cho các số a,b,c thoả mãn :

       $a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)=0$

   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

       $A=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc+3ab-3c+5$

  Từ $a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)=0$ ta suy ra$a=b=c$

Ta có

$A=3a^{2}-3a+5\geq \frac{17}{4}$

Cho a;b;c là các số thực dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ và $n\geq 3$

CMR 

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{3}{\sqrt[n]{abc}}$

1.Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta có:

   S=$\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}<\frac{5}{2}$

Ta có

$\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}=\frac{2}{2(n+1)\sqrt{n}}< \frac{2}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=2(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})$

Áp dụng với n=1;2;,,,,ta được

$S< 2(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})< 2< \frac{5}{2}$

Chứng minh giúp mình bđt nổi tiếng tý anh e

tại đây

https://diendantoanh...geq-3a3bb3cc3a/

Theo công thức thì mình tính được vế trái:

$(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z})^3 = x + y + z + 3(\sqrt[3]{x^2y} + \sqrt[3]{xy^2} + \sqrt[3]{y^2z} + \sqrt[3]{yz^2} + \sqrt[3]{x^2z} + \sqrt[3]{xz^2} +{\color{Red} 2\sqrt[3]{xyz}})$.

Làm thế nào để ra được như thế kia vậy bạn ?

phải ntn mới đúng

Cho 1$\leq$a,b,c$\leq$2. Chứng minh: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq 10$. < kỳ thi chuyên Trần phú 2013-2014>

tại đây

https://diendantoanh...rac1cleq-10036/

NHỜ CÁC BẠN GIẢI GIÚP MÌNH 3 BÀI NÀY VỚI:

1) cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác. chứng minh rằng: $\frac{1}{a^2+b}+\frac{1}{b^2+c}+\frac{1}{c^2+a}\leq \frac{a+b+c}{2abc}$

 

sr BĐT sai rồi

Đề đúng phải là $\sum \frac{1}{a^{2}+bc}\leq \frac{a+b+c}{2abc}$

Giải hệ pt: $\left\{\begin{matrix}\sqrt{x^2+x+y+1}-x+ \sqrt{y^2+x+y+1}-y=2 \\ \sqrt{x^2+x+y+1}+x+ \sqrt{y^2+x+y+1}+y=18 \end{matrix}\right.$

Từ hệ suy ra $\left\{\begin{matrix} x+y=8\\ \sqrt{x^{2}+x+y+1}+\sqrt{y^{2}+x+y+1}=10 \end{matrix}\right.$

Áp dụng BĐT MInkowski ta có

$10=\sqrt{x^{2}+x+y+1}+\sqrt{y^{2}+x+y+1}=\sqrt{x^{2}+9}+\sqrt{y^{2}+9}\geq \sqrt{(x+y)^{2}+(3+3)^{2}}=10$

$\Rightarrow x=y=4$

 

Áp dụng BĐT AM-GM ta có

VT=∑1a2+b≤∑12a√b=∑√bc2abc≤∑b+c4abc=VP

em không hiểu bước qui đồng

 

Ta có

$\frac{1}{2a\sqrt{bc}}=\frac{\sqrt{bc}}{2abc}$

tương tự cho mấy cái còn lại

NHỜ CÁC BẠN GIẢI GIÚP MÌNH 3 BÀI NÀY VỚI:

1) cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác. chứng minh rằng: $\frac{1}{a^2+b}+\frac{1}{b^2+c}+\frac{1}{c^2+a}\leq \frac{a+b+c}{2abc}$

 

Áp dụng BĐT AM-GM ta có

$VT=\sum \frac{1}{a^{2}+b}\leq\sum \frac{1}{2a\sqrt{b}}=\sum \frac{\sqrt{bc}}{2abc}\leq\sum \frac{b+c}{4abc}=VP$

Bài toán số 31 (sưu tầm ) : Cho tam giác ABC , Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn $MA^2+2MB^2-3MC^2=k$ ( k là số thực tùy ý ) 

Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

Ta có

$VT=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^2+(\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{IB})^2-3(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{IC})^2$

=$IA^2+2IB^2-3IC^2=k$

Mình chưa hiểu chỗ này lắm, bạn có thể giải thích kỹ hơn được không?

Ta có

$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=3(2abc+ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a))\Leftrightarrow 2(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a))+6abc=0\Leftrightarrow 2(a+b+c)(ab+bc+ca)=0$

chỗ sai

1) $\Leftrightarrow a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + a^2c + ac^2 = 3(2abc + a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + a^2c + ac^2)$\Leftrightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca)=0$

 2) $(a^3+b^3+c^3)(a^2+b^2+c^2)\neq a^5+b^5+c^5+ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

Cho x,y,z là độ dài 3 cạnh của tam giác và x+y+z=2.CMR x^2+y^2+z^2-2xyz<2

Ta có

$2=x+y+z> 2x\Rightarrow x< 1$

Tương tự $y;z< 1$

$\Rightarrow (1-x)(1-y)(1-z)> 0\Leftrightarrow 1-(x+y+z)+(xy+yz+zx)-xyz> 0\Leftrightarrow 1-(xy+yz+zx)+xyz\leq 0\Leftrightarrow (x+y+z)^{2}-2(xy+yz+zx)+2xyz< 2\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz< 2$   

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\sqrt{1-x}+\sqrt{3x-1}$.

Ta có

$P=\sqrt{1-x}+\sqrt{3x-1}=1.\sqrt{1-x}+\sqrt{3}.\sqrt{x-\frac{1}{3}}\leq \sqrt{(1+3)(1-x+x-\frac{1}{3})}=\sqrt{\frac{8}{3}}$

hình 

 Số $(\bar{9x})^8$ với x thuộc tập hợp { 0; 1; 2; ...; 9}  viết trong hệ thập phân có mấy chữ số ?

số chữ số là $[8.log(\overline{9x})+1]=16$

Bạn có thể không đặt ẩn phụ mà làm theo ý tưởng trên đó được không? Giải thích giúp mình nhé?

Chỗ nào có x;y;z bạn chỉ cần thay $\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}$ vào là ra thôi

Cho $a,b,c>0$ Chứng minh rằng:

$\frac{b^{2}c}{a^{3}(b+c)}+\frac{c^{2}a}{b^{3}(c+a)}+\frac{a^{2}b}{c^{3}(a+b)}\geq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

Đặt $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{a}=x & \\ \frac{1}{b}=y & \\ \frac{1}{c}=z & \end{matrix}\right.$

BĐT trở thành $\sum \frac{x^{3}}{y(x+z)}\geq \frac{1}{2}(x+y+z)$

Ta có

$\frac{x^{3}}{y(x+z)}+\frac{y}{2}+\frac{x+z}{4}\geq \frac{3}{2}x$

Tương tự cộng vế suy ra đpcm

Cho a,b,c>0. CMR:

$\sum \frac{a^4}{a^3+b^3}\geq \frac{a+b+c}{2}$

Bạn tham khảo tại đây

https://diendantoanh...3a3geqfracabc2/

Bài 2: TÌm các số nguyên x sao cho 9x+5 là tích 2 số nguyên liên tiếp

Giả sử $9x+5=a(a+1)(a\in Z)$

$36x+21=(2a+1)^{2}\vdots 3$

Mà 36x+21 không chia hết cho 9 

Vậy không tồn tại x thỏa mãn