Cho hai số nguyên dương $m,n$ thỏa mãn $m^2\vdots m^2+1-n^2$. Chứng minh rằng $\left |m^2+1-n^2 \right |$ là một số chính phương
Khoa Linh nội dung
Có 599 mục bởi Khoa Linh (Tìm giới hạn từ 25-04-2020)
#713948 Hai bài hình trong đề thi trại hè Hùng Vương 2018
Đã gửi bởi Khoa Linh on 06-08-2018 - 22:55 trong Tài liệu tham khảo khác
Tham khảo tại đây: https://khoalinhmath...ai-he-hung.html
Download: https://drive.google...F9fr6SeVCf/view
#713307 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), có đường cao AD ... Chứng minh...
Đã gửi bởi Khoa Linh on 26-07-2018 - 21:24 trong Hình học
Bài toán này là bài thi HSG của trường THCS Archimedes Academy
Phần $a,b$ thầy tự làm. Lời giải phần c tại đây: https://dethi.violet...h-12155812.html
Đề gốc xem tại đây: https://dethi.violet...y-12125029.html
#713245 $\sum \left ( \frac{a}{a+b} \rig...
Đã gửi bởi Khoa Linh on 25-07-2018 - 23:31 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a) \neq 0$. Chứng minh rằng:
$\sum \left ( \frac{a}{a+b} \right )^2+\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq \sum \frac{a}{a+b}+\frac{1}{4}$
#713166 Tồn tại ít nhất hai tam giác được tạo bởi $3$ cạnh cùng màu
Đã gửi bởi Khoa Linh on 24-07-2018 - 20:45 trong Toán rời rạc
Cho $6$ điểm thuộc mặt phẳng và không có $3$ điểm nào thẳng hàng. Đoạn thẳng nối hai điểm bất kì được tô màu đỏ hoặc xanh. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai tam giác được tạo bởi $3$ cạnh cùng màu
#712901 Lời giải và bình luận đề thi IMO 2018 - Tạp chí Epsilon
Đã gửi bởi Khoa Linh on 20-07-2018 - 20:46 trong Tài liệu tham khảo khác
#712848 Xác xuất để một người chơi bài có bộ tứ.
Đã gửi bởi Khoa Linh on 19-07-2018 - 21:11 trong Tổ hợp và rời rạc
Bốn người chơi bài Tây 52 quân, chia đều cho bốn người. Tính xác xuất để một hoặc nhiều người có bộ tứ.
#712845 Chuyên đề tứ giác điều hòa
Đã gửi bởi Khoa Linh on 19-07-2018 - 20:33 trong Tài liệu tham khảo khác
Chuyên đề tứ giác điều hòa.
Tham khảo tại đây: http://khoalinhmathe...ac-ieu-hoa.html
Download: https://drive.google...zbn48tWJ6y/view
#712779 $L=\lim_{x\rightarrow +\propto }\frac...
Đã gửi bởi Khoa Linh on 18-07-2018 - 15:43 trong Dãy số - Giới hạn
Với mỗi số tự nhiên $k$, gọi $N(k)$ là số cặp nghiệm nguyên dương của phương trình: $2016x+2017y=k$.
Tính giới hạn sau $L=\lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{N(k)}{k}$
#712778 $\frac{cosA+cosB+cosC+3}{cosA+cosB+cosC-1}...
Đã gửi bởi Khoa Linh on 18-07-2018 - 15:37 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho tam giác $ABC$ có ba cạnh là $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$\frac{cosA+cosB+cosC+3}{cosA+cosB+cosC-1}\geq \frac{(a+b+c)^3}{3abc}$
(sưu tầm)
#712722 $x^4+y^4+z^4\geq xyz(x+y+z)$
Đã gửi bởi Khoa Linh on 17-07-2018 - 20:51 trong Bất đẳng thức và cực trị
Chứng minh rằng $x^4+y^4+z^4\geq xyz(x+y+z)$ với mọi x, y, z
$x^4+x^4+y^4+z^4\geq 4\sqrt[4]{x^8y^4z^4}=4\left | x^2yz \right |\geq 4x^2yz$
Tương tự ta có: $y^4+y^4+z^4+x^4\geq 4y^2zx$; $z^4+z^4+x^4+y^4\geq 4z^2xy$
Cộng vào ta có đpcm
#712581 $cos^2B=\frac{AM}{CM}$
Đã gửi bởi Khoa Linh on 15-07-2018 - 21:29 trong Hình học
Em xin giải ạ
Lấy điểm K trên AM sao cho K là trung điểm AM
=> DK//MH ( đường trung bình ) và DK//AB ( đường trung bình )
=> MH//AB
Dễ dàng CM được $ABH \sim HAM$ do MH//AB và $\widehat{CAB}=90^o$
=> $cos^2B=(\frac{BH}{AB})^{2}= (\frac{AM}{MH})^2$ $(1)$
Có: $AM.CM=MH^2$ ( Hệ thức lượng trong tam giác ) =>$\frac{AM}{MH^2}=\frac{1}{CM}=>\frac{AM^2}{MH^2}=\frac{AM}{CM}$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ => $cos^2B = \frac{AM}{CM}$
D không phải là trung điểm BM em nhé
#712579 Cho hình chữ nhật ABCD, P thuộc tia đối tia CA sao cho góc PBC= góc DPB. Tính...
Đã gửi bởi Khoa Linh on 15-07-2018 - 20:59 trong Hình học
Cho hình chữ nhật ABCD, P thuộc tia đối tia CA sao cho góc PBC= góc DPB. Tính $\frac{PB}{PC}$
Kéo dài $BC$ cắt $DP$ tại $I$. Hạ $BQ \perp DP$. Đặt $\widehat{IBP}=\widehat{IPB}=\alpha$.
Ta có: $\widehat{ICP}=\widehat{ACB}=\widehat{DBC}=\widehat{CQP}$
$\Rightarrow CP^2=PI.PQ$
Suy ra: $\frac{PB^2}{PC^2}=\frac{PB}{PI}.\frac{PB}{PQ}=\frac{sin2\alpha}{sin\alpha }.\frac{1}{cos\alpha }=2\Rightarrow \frac{PB}{PC}=\sqrt{2}$
Nguồn: thầy Nguyễn Lê Phước
#712577 Cho hình vuông ABCD, lấy M thuộc BD. P, Q là hình chiếu của M trên AB, AD. C...
Đã gửi bởi Khoa Linh on 15-07-2018 - 19:47 trong Hình học
Cho hình vuông ABCD, lấy M thuộc BD. P, Q là hình chiếu của M trên AB, AD.
Cm: CM vuông góc với PQ
Kéo dài $QM$ cắt $BC$ tại $I$.
Ta có: $MI=MP$; $IC=QD=QM$ $\Rightarrow \triangle MIC=\triangle PMQ(c.g.c)$$\Rightarrow \widehat{QHM}=\widehat{MIC}=90^{\circ}$
Suy ra đpcm
p/s: Bạn chịu khó đọc sách nhé. Bài này là bài 81 trong Nâng cao và phát triển toán 8 tập 1 - Vũ Hữu Bình
#712576 $cos^2B=\frac{AM}{CM}$
Đã gửi bởi Khoa Linh on 15-07-2018 - 19:29 trong Hình học
Gọi $N$ là trung điểm $AC$. Ta có: $\triangle BHA \sim \triangle BAC $ mà hai tam giác có hai đường trung tuyến tương ứng nên $\widehat{ABD}=\widehat{CBN}$
Suy ra $BM$ là đường đối trung trong tam giác $ABC$ $\Rightarrow \frac{AM}{MC}=\frac{AB^2}{BC^2}=cos^2B$
p/s: Cách này hơi hướng về kiến thức THPT. Để mình tìm cách đẹp hơn.
#712496 $\frac{a+b}{\sqrt{a+b-c}}+\...
Đã gửi bởi Khoa Linh on 14-07-2018 - 13:01 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho các số dương $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh:
$\frac{a+b}{\sqrt{a+b-c}}+\frac{b+c}{\sqrt{b+c-a}}+\frac{c+a}{\sqrt{c+a-b}}\geq 6$
#712147 S= $\sqrt{1+tanA.tanB}$ + $\sqrt{1+tanB.tanC}$...
Đã gửi bởi Khoa Linh on 08-07-2018 - 12:10 trong Công thức lượng giác, hàm số lượng giác
Tìm max của biểu thức S= $\sqrt{1+tanA.tanB}$ + $\sqrt{1+tanB.tanC}$ + $\sqrt{1+tanA.tanC}$ Với A+B+C=90
Sử dụng công thức: $tanA.tanB+tanB.tanC+tanC.tanA=1$ với $A+B+C=90^{\circ}$
Sau đó chọn điểm rơi và AM-GM là xong.
#712146 $(a^2+b^2+c^2)^3\geq 9abc(a^3+b^3+c^3)$
Đã gửi bởi Khoa Linh on 08-07-2018 - 12:08 trong Bất đẳng thức và cực trị
Một lời giải trên mạng.
#712053 $(a^2+b^2+c^2)^3\geq 9abc(a^3+b^3+c^3)$
Đã gửi bởi Khoa Linh on 06-07-2018 - 18:35 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a,b,c>0$. Chứng minh:
$(a^2+b^2+c^2)^3\geq 9abc(a^3+b^3+c^3)$
- Diễn đàn Toán học
- → Khoa Linh nội dung