Cho $x,y>0$. Tìm GTNN của $A=\frac{(x+y)^{2}}{xy^{2}}$

Cái này không có GTNN nhé bạn. Để ý trên tử là bậc 2, dưới mẫu là bậc 3. 

Cho $x=y$ thì $A=\dfrac{4x^2}{x^3}$. Khi cho $x$ càng lớn thì $A$ càng nhỏ. bạn xem lại đề nhé 

$AN$ cắt $BC$ tại $F$. Ta sẽ chứng minh $FM$ là tiếp tuyến.  $EN$ cắt $CM$ tại $J$, $AI$ cắt $BC$ tại $J$.  $MN$ cắt $BC$ tại $K$.

Ta có $\angle DIE=\angle DCB=\angle DAE \Rightarrow DEIA$ nội tiếp nên $\triangle BDE \sim  \triangle CAI (g.g)$

$\Rightarrow \angle BDE= \angle CAI$. (1)

Mặt khác $\dfrac{BF}{FJ}=\dfrac{EN}{NI}=\dfrac{BK}{KC}=\dfrac{BM}{MA} \Rightarrow MF \parallel AI $.

Suy ra $ \angle FMN =\angle IAC$ (hai góc có hai cạnh tương ứng song song). (2)

Từ (1) và (2) kết hợp $\angle BDM=\angle EMN=\angle ABC$  ta có 

 $ \angle FMN =\angle BDE \Leftrightarrow \angle BDM -  \angle BDE = \angle EMN -\angle FMN \Rightarrow \angle EDM= \angle EMF$.

Suy ra $MF$ là tiếp tuyến $(EDM)$. 

p/s: Diễn đàn dạo này buồn quá, cũng chả buồn lên check ( 

Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại hai điểm $A,B$. Kẻ cát tuyến $ADE$, một  đường thẳng song song với $DE$ cắt $(O)$ và $(O')$ tại $M,N,P,Q$ (như hình vẽ). $EN$ cắt $DM$ tại $K$, $DP$ cắt $EQ$ tại $L$. Chứng minh rằng $\angle KAD= \angle LAE$.

Cho các số dương $a,b,c$ có tổng bằng 3. Chứng minh rằng: 

$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} \geq ab+bc+ca$

                 ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA TỈNH PHÚ THỌ- NĂM HỌC: 2018-2019.

Bài 1: Cho dãy số thực $(a_n)_{n\ge 1}$ xác định bởi: $a_1=a_2=1,a_3=2$ và $a_{n+3}=\frac{a_{n+1}a_{n+2}+7}{a_n}$ với mọi số nguyên dương $n$.

a) Chứng minh rằng $a_n$ là số nguyên, với mọi số nguyên dương $n$.

b) Tìm giới hạn: $\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{a_{2n+2}a_{2n}+a_{2n+1}^2}{a_{2n}a_{2n+1}}$.

Bài 2: Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ lần lượt tại các điểm $D,E,F$. Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm của $AD,CF$ với $(I)$. Chứng minh rằng: $\frac{MN.FD}{MF.ND}=3$.

Bài 3: 

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(f(x)-y^2)=f(x^2)+y^2f(y)-2f(xy)\forall x,y\in \mathbb{R}$.

Bài 4: Một bảng ô vuông $ABCD$ kích thước $2018x2018$ gồm $2018^2$ ô vuông đơn vị, mỗi ô vuông đơn vị được điền bởi một trong ba số $-1,0,1$. Một cách điền số được gọi là đối xứng nếu mỗi ô có tâm trên đường chéo $AC$ được điển số $-1$ và mỗi cặp ô đối xứng  qua $AC$ được điền cùng một số $0$ hoặc $1$. Chứng minh rằng với mỗi cách điền số đối xứng bất kì, luôn tồn tại hai hàng có các số trong mỗi ô vuông đơn vị lần lượt theo thứ tự từ trái sang phải là $a_1,a_2,...,a_{2018}$ ở hàng thứ nhất, $b_1,b_2,...,b_{2018}$ ở hàng thứ hai sao cho $S=a_1b_1+a_2b_2+...+a_{2018}b_{2018}$ là một số chẵn. 

Bài 5: Chứng minh rằng:

a) Tồn tại $2018$ số nguyên dương liên tiếp là hợp số.

b) Tồn tại $2018$ số nguyên dương liên tiếp chứa đúng $2$ số nguyên tố.

Bài 6: Cho dãy số thực $(x_n)_{n\ge 0}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

a) $x_n=0$ khi và chỉ khi $n=0$.

b) $x_{n+1}=x_{[\frac{n+3}{2}]}^2+(-1)^n.x_{[\frac{n}{2}]}^2$ với mọi $n\ge 0$.

(Kí hiệu $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$).

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$, nếu $x_n$ là số nguyên tố thì $n$ là số nguyên tố hoặc $n$ không có ước nguyên tố lẻ.

Bài 7: Cho tứ giác nội tiếp $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại $P$. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác $APB,CPD$ cắt cạnh $BC$ theo thứ tự tại $E,F$. Gọi $I,J$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $ABE,CDF$; hai đoạn thẳng $BJ$ và $CI$ cắt nhau tại $Q$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AIB$ cắt đoan thẳng $BD$ tại $M$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $DJC$ cắt đoạn thẳng $AC$ tại $N$.

a) Chứng minh : $BIJC$ là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh ba đường thẳng $IM,JN,PQ$ đồng quy.

Cho $\triangle ABC$ nội tiếp $(O)$ có $M$ là trung điểm $BC$. Lấy $D,E \in BC$ và đối xứng nhau qua $M$. $AM,AD,AE$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $P,Q,R$. Chứng minh rằng $BC,QR$ và tiếp tuyến tại $P$ của $(O)$ đồng quy. 

Cho dãy số $(a_n)$ có $a_1,a_2>0$ và $a_{n+2}=\dfrac{2}{a_{n+1}+a_n}$. Tính giới hạn của dãy $(a_n)$

$2^{2003}-1$  là số nguyên tố hay hợp số, tại sao ? 

Cho $a,b,c \geq0$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng

$\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}+ab+bc+ca\geq 2+\sqrt{2}$

$Câu 1 : (5 điểm )$ , Cho hai đường tròn $(O_{1})$ và $(O_{2})$ cắt nhau tại $A,B$. $CD$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn $(O_{1})$ và $(O_{2})$  với $C$ thuộc $(O)$ , $D$ thuộc $(O)$ , và $B$ gần $CD$ hơn $A$ 

a) Gọi $E$ là giao điểm của $BC$ và $AD$ , $F$ là giao điểm của $DB$ và $AC$  , chứng minh rằng  $EF$ song song với $CD$

b)Gọi $N$ là giao điểm của $AB$ và $EF$ , Lấy $K$ trên $CD$ sao cho $\widehat{BAC}=\widehat{DAK}$ . Chứng minh rằng $KE=KF$

 

$Câu 2 : (5 điểm )$  : Cho đa thức $P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ và $Q(x)=x^2 +px+q$ cùng thuộc $\mathbb{Q}[x]$ . Biết rằng hai đa thức cùng nhận giá trị âm trên khoảng $I$ có độ dài lớn hơn hai và ngoài khoảng $I$ chúng đều nhận giá trị không âm . Chứng minh rằng tồn tại $x_{o}\in \mathbb{R}$ đề $P(x_{o})<Q(x_{o})$

 

$Câu 3: ( 5 điểm )$ :Cho dãy số $(x_{n})$ xác định bởi :

$\left\{\begin{matrix} x_{o}=1\\ x_{1}=41\\ x_{n+2}= 3x_{n}+\sqrt{8(x_{n+1}^2+x_{n}^2)} \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số nguyên

 

$Câu 4 : ( 5 điểm )$ Cho tập hơp $A=({-1;0;1})$ , tìm số các bộ $(a_{1};a_{2};....;a_{n})$ với $n\in \mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn :ư

$i) a_{i}\in A ,\forall i=1,2,3,4,.....$

$ii)a_{i}-a_{i-1} \in A , \forall i=1,2,3,4....$

Bài 3

Cho tam giác $ABC$, $P$ là một điểm trong tam giác, hình chiếu của $P$

lên $BC, CA, AB$ lần lượt là $A', B', C'$. Giả sử $A'B'=A'C$. Chứng minh rằng $\frac{PB}{AB}=\frac{PC}{AC}$

 dáiodjoáid.jpg

Ta có: 

$A'PC'B$ nội tiếp có bán kính đường tròn ngoại tiếp là $R=\frac{PB}{2}$

Theo định lí sin thì ta có: $A'C'=\frac{PB}{2}.sinB$
Tương tự thì ta rút ra được: $\frac{PB}{PC}=\frac{sinC}{sinB}=\frac{AB}{AC}$

Cho hai đường tròn (O1) và (O2) tiếp xúc nhau tại M. Một điểm A thay đổi trên đường tròn (O2), từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O1) với B, C là hai tiếp điểm. BM, CM lần lượt cắt (O2) tại D và E. DE cắt tiếp tuyến tại A của (O2) tại F. Chứng minh rằng F thuộc một đường thẳng cố định khi A di chuyển trên (O2) không thẳng hàng với O1 và M.

 

 

 

Kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn là $yz$. 

Ta có: $\widehat{MBA}=\widehat{BMy}=\widehat{DMz}=\widehat{DAM}\Rightarrow DA^2=DM.DB$

Tương tự ta có: $EM.EC=EA^2$ suy ra $DE$ là trục đẳng phương của đường tròn $(A;0)$ và $(O_1)$

Mà $F$ thuộc $DE$ nên $\wp _{F/(O_1)}=FA^2\Leftrightarrow \wp _{F/(O_1)}=\wp _{F/(O_2)}$

Vậy $F$ thuộc tiếp tuyến chung của hai đường tròn 

Mình đã cố gắng hết sức dùng bđt mà ko thành, đành phải xét hàm thôi

Em vừa nghĩ ra cách giải khác 

Ta đi chứng minh: $\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n+1}>\left ( 1+\frac{1}{n+1} \right )^{n+2}\Leftrightarrow (n+1)^{2n+3}>n^{n+1}.(n+2)^{n+2}$

$\Leftrightarrow (n(n+2)+1)^{n+1}.(n+1)>(n(n+2))^{n+1}.(n+2)\Leftrightarrow \left ( 1+\frac{1}{n(n+2)} \right )^{n+1}>\frac{n+2}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}$

Áp dụng  BĐT Bernoulli ta có: 

$\left ( 1+\frac{1}{n(n+2)} \right )^{n+1}>1+\frac{n+1}{n(n+2)}$

vậy ta cần chứng minh: $\frac{n+1}{n(n+2)}>\frac{1}{n+1}\Leftrightarrow (n+1)^2>n(n+2)$ (đúng)

Chứng minh dãy số sau là dãy số giảm $(U_n)$: $U_n=\left (1+\frac{1}{n} \right )^{n+1} $ với $n\geq 1$

Cho số $0<a<1$ và $A=a^1+a^2+...+a^n$ với $n\in\mathbb{N}^*$

Tính $\lim_{n\rightarrow +\propto}A$ theo $a$

Sau một mùa hè tôi và bạn Tạ Công Hoàng (taconghoang) đã tổng hợp thành 1 file tài liệu:

https://khoalinhmath...thi-lop-10.html

Các anh làm tổng hợp các topic ôn tập số học ,đại số vào 10 k ? cho em xin file pdf ôn với ạ

Anh là chủ TOPIC nên làm mỗi cái đó coi như kỉ niệm thôi em à 

Sắp vào năm học rồi nên chắc không ai tổng hợp như anh đâu 

Em chịu khó xem lại nhé

Như các bạn đã biết, cách đây khoảng 3 tháng tôi có sáng lập một TOPIC hình học ôn thì vào THPT dưới sự cho phép của ĐHV THCS MoMo123. Trải qua một mùa hè thì tôi và bạn Tạ Công Hoàng đã gõ lại các bài toán và chỉnh sửa thêm khá là nhiều để hoàn thiện thành một tài liệu mong sẽ bổ ích cho các bạn khóa sau. 
Tham khảo tại đây:  https://khoalinhmath...thi-lop-10.html

TOPIC hình học mà tôi đã lập tại đây: https://diendantoanh...uyên-2018-2019/

Cho số nguyên dương $k$. Chứng minh rằng: 

$(3-\sqrt{11})^{2k-2}+(3+\sqrt{11})^{2k-2}\vdots 2^k$

p/s: Lâu không làm bây giờ không biết quy nạp kiểu gì. Nhờ mọi người giúp

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=0$, $u_2=2$, $u_{n+1}=\frac{u_n+1}{3-\sqrt{u_{n-1}}}$.

Tìm giới hạn của dãy số đã cho 

Cho dãy số $(a_n):$ $a_1=a_2=1$; $a_{n+2}=\frac{1}{a_{n+1}}+a_n$ 

Tính $a_{2018}$

Tìm hàm $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa mãn $f(m^2+n^2)=f^2(m)+f^2(n)\forall m,n \in \mathbb{N}$ và $f(1)>0$

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, một đường tròn $(K)$ đi qua $B,C$ cắt $AC$, $AB$ tại $D,E$. $BD$ cắt $CE$ tại $H$. $I$ là tâm của $KDE$. Chứng minh $H,I,O$ thẳng hàng.

Cho tam giác ABC nhọn có I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.Đường tròn tâm I tiếp xúc với BC,AC,AB lần lượt tại P,Q,R.QR và BC cắt nhau tại K.Chứng minh rằng: KI vuông góc với AP