Cho hai số nguyên dương $m,n$ thỏa mãn $m^2\vdots m^2+1-n^2$. Chứng minh rằng $\left |m^2+1-n^2 \right |$ là một số chính phương

Tham  khảo tại đây: https://khoalinhmath...ai-he-hung.html

Download: https://drive.google...F9fr6SeVCf/view

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I.E,F,D là giao điểm của (I) với AB, AC,BC.EF cắt BC tại K.Chứng minh KI vuông góc AD

Lời giải của thầy Nguyễn Lê Phước 

Bài toán này là bài thi HSG của trường THCS Archimedes Academy

Phần $a,b$ thầy tự làm. Lời giải phần c tại đây: https://dethi.violet...h-12155812.html

Đề gốc xem tại đây: https://dethi.violet...y-12125029.html

Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a) \neq 0$. Chứng minh rằng: 

$\sum \left ( \frac{a}{a+b} \right )^2+\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq \sum \frac{a}{a+b}+\frac{1}{4}$

Cho $6$ điểm thuộc mặt phẳng và không có $3$ điểm nào thẳng hàng. Đoạn thẳng nối hai điểm bất kì được tô màu đỏ hoặc xanh. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai tam giác được tạo bởi $3$ cạnh cùng màu

https://drive.google...QCbqZd_1xw/view

Bốn người chơi bài Tây 52 quân, chia đều cho bốn người. Tính xác xuất để một hoặc nhiều người có bộ tứ.

Tìm số nguyên dương $n$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn: $p^3-2p^2+p+1=3^n$

Chuyên đề tứ giác điều hòa. 

Tham khảo tại đây: http://khoalinhmathe...ac-ieu-hoa.html

Download: https://drive.google...zbn48tWJ6y/view

Với mỗi số tự nhiên $k$, gọi $N(k)$ là số cặp nghiệm nguyên dương của phương trình: $2016x+2017y=k$.

Tính giới hạn sau $L=\lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{N(k)}{k}$

Cho tam giác $ABC$ có ba cạnh là $a,b,c$. Chứng minh rằng: 

$\frac{cosA+cosB+cosC+3}{cosA+cosB+cosC-1}\geq \frac{(a+b+c)^3}{3abc}$

(sưu tầm)

Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $n$, có ít nhất 3 ước nguyên tố phân biệt và thỏa mãn $2^n \equiv 8$ (mod $n$)

Giải phương trình sau: 

$x\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}=2\sqrt{x^2+1}$

Chứng minh rằng $x^4+y^4+z^4\geq xyz(x+y+z)$ với mọi x, y, z

$x^4+x^4+y^4+z^4\geq 4\sqrt[4]{x^8y^4z^4}=4\left | x^2yz \right |\geq 4x^2yz$

Tương tự ta có: $y^4+y^4+z^4+x^4\geq 4y^2zx$; $z^4+z^4+x^4+y^4\geq 4z^2xy$

Cộng vào ta có đpcm

Em xin giải ạ

Lấy điểm K trên AM sao cho K là trung điểm AM

=> DK//MH ( đường trung bình ) và DK//AB ( đường trung bình )

=> MH//AB

Dễ dàng CM được $ABH \sim HAM$ do MH//AB và $\widehat{CAB}=90^o$

=> $cos^2B=(\frac{BH}{AB})^{2}= (\frac{AM}{MH})^2$ $(1)$

Có: $AM.CM=MH^2$ ( Hệ thức lượng trong tam giác ) =>$\frac{AM}{MH^2}=\frac{1}{CM}=>\frac{AM^2}{MH^2}=\frac{AM}{CM}$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ => $cos^2B = \frac{AM}{CM}$

D không phải là trung điểm BM em nhé 

Cho hình chữ nhật ABCD, P thuộc tia đối tia CA sao cho góc PBC= góc DPB. Tính $\frac{PB}{PC}$

Kéo dài $BC$ cắt $DP$ tại $I$. Hạ $BQ \perp DP$. Đặt $\widehat{IBP}=\widehat{IPB}=\alpha$.

Ta có: $\widehat{ICP}=\widehat{ACB}=\widehat{DBC}=\widehat{CQP}$

$\Rightarrow CP^2=PI.PQ$

Suy ra: $\frac{PB^2}{PC^2}=\frac{PB}{PI}.\frac{PB}{PQ}=\frac{sin2\alpha}{sin\alpha }.\frac{1}{cos\alpha }=2\Rightarrow \frac{PB}{PC}=\sqrt{2}$

Nguồn: thầy Nguyễn Lê Phước

Cho hình vuông ABCD, lấy M thuộc BD. P, Q là hình chiếu của M trên AB, AD.

Cm: CM vuông góc với PQ

Kéo dài $QM$ cắt $BC$ tại $I$. 

Ta có: $MI=MP$; $IC=QD=QM$ $\Rightarrow \triangle MIC=\triangle PMQ(c.g.c)$$\Rightarrow \widehat{QHM}=\widehat{MIC}=90^{\circ}$

Suy ra đpcm

p/s: Bạn chịu khó đọc sách nhé. Bài này là bài 81 trong Nâng cao và phát triển toán 8 tập 1 - Vũ Hữu Bình

Gọi $N$ là trung điểm $AC$. Ta có: $\triangle BHA \sim \triangle BAC $ mà hai tam giác có hai đường trung tuyến tương ứng nên $\widehat{ABD}=\widehat{CBN}$

Suy ra $BM$ là đường đối trung trong tam giác $ABC$ $\Rightarrow \frac{AM}{MC}=\frac{AB^2}{BC^2}=cos^2B$

p/s: Cách này hơi hướng về kiến thức THPT. Để mình tìm cách đẹp hơn. 

Có Hình kèm theo ạ 

 Cảm ơn mn đã giúp ^^ 

Cho các số dương $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh: 

$\frac{a+b}{\sqrt{a+b-c}}+\frac{b+c}{\sqrt{b+c-a}}+\frac{c+a}{\sqrt{c+a-b}}\geq 6$

Tìm max của biểu thức S= $\sqrt{1+tanA.tanB}$ + $\sqrt{1+tanB.tanC}$ + $\sqrt{1+tanA.tanC}$ Với A+B+C=90

Sử dụng công thức: $tanA.tanB+tanB.tanC+tanC.tanA=1$ với $A+B+C=90^{\circ}$

Sau đó chọn điểm rơi và AM-GM là xong.

Một lời giải trên mạng. 

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh: 

$(a^2+b^2+c^2)^3\geq 9abc(a^3+b^3+c^3)$