Giải bất phương trình
$\sqrt{x^{2}-3x+2}+\sqrt{x^{2}-4x+3}\geq2 \sqrt{x^{2}-5x+4}$

$x,y \geq 0$
$x+y=4$
Tìm Max $x^{2}+y^{2}$

Cho hpt $\left\{\begin{matrix} (m+1)x+my=2m-1\\ mx-y=m^{2}-2 \end{matrix}\right.$
Tìm các giá trị của m để hpt có nghiệm thỏa mãn xy đạt GTLN

Cho tam giác ABC đều có H là trung điểm BC ,M là hình chiếu H trên AC .I là trung điểm đoạn HM
chứng minh rằng BM vuông góc AI

Cho tam giác có số đo 1 góc bằng trung bình cộng của số đo 2 góc còn lại và độ dài 3 cạnh a,b,c của tam giác đó thỏa mãn: $\sqrt{a+b-c}=\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}$ thì tam giác đó là tam giác đều.

Giải pt
$\sqrt[3]{x-16}-\sqrt[3]{x+3}=-1$

Chứng minh:
$$\frac{x^{3}}{y^2} + \frac{y^3}{z^2} + \frac{z^{3}}{x^2} \geq x+y+z$$

Tìm nghiệm nguyên: $2^{y}= 1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}$
Cảm ơn.

Cho a,b thuộc [2007;2008]. Tìm min $\frac{a+b}{ab^{2}}(a^{2}+b^{2})$

Cho $x\geq -1;y\geq 1$ thỏa mãn $\sqrt{x+1}+\sqrt{y-1}=\sqrt{2(x-y)^{2}+10x-6y+8}$
Tìm min của $P=x^{4}+y^{2}-5(x+y)+2020$

Có thể sử dụng nguyên lí dirichlet ko bn

Mk chưa nghĩ tới

1.Cho a,b,c >0.CM $2(a^2+b^2+c^2)+abc+8 \geq 5(a+b+c)$
2.Cho a,b,c >0. CM $5(a^3+b^3+c^3)+3abc+9\geq 9(ab+bc+ca)$

1,Với tính thuần nhất của BĐT trên,ta chuẩn hóa:$abc=1$ $ a+b+c \ge 3$

Bài toán quy về CM:$2(a^2+b^2+c^2)+9 \ge 5(a+b+c)$

Ta có:$a^2+b^2+c^2+3 \ge 2(a+b+c)$(biến đổi tương đương)

Do đó ta chỉ CM:

$a^2+b^2+c^2+6 \ge 3(a+b+c)$

Đặt: $a+b+c=p$ và $ab+bc+ca=q$

$Q.E.D$ \Leftrightarrow $p^2-3p+6\ge 2q$

Theo BĐT schur:$\frac{p^3+9}{2p}\ge 2q$

Ta sẽ CM: $p^2-3p+6 \ge \frac{p^3+9}{2p}$

\Leftrightarrow $(p-3)(p^2-3p+3)\ge 0$

Bất đẳng thức hiển nhiên đúng với $p\ge 3$ $đpcm$

Giải pt $2x^{2}+5x+4=6\sqrt[3]{2x^{2}+4x}$

Giải pt
$\sqrt{1-x}+2x(x+\sqrt{1-x^2})=1 $

Giải phương trình và hệ phương trình
1) $\sqrt{7x+1}-\sqrt{3x+19}=2x-9$
2) $(\sqrt{x+5}-\sqrt{x+2})(1+\sqrt{x^{2}+7x+10})=3$
3) $\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+3y}-\sqrt{x+y-1}=1 \\ \sqrt{x+3y}+x-y=2 \end{matrix}\right.$
4) $\left\{\begin{matrix}(x^{2}+y^{2})(x^{2}-y^{2})=144 \\ \sqrt{x^{2}+y^{2}}-\sqrt{x^{2}-y^{2}}=y \end{matrix}\right.$
5) $\left\{\begin{matrix}2x^{2}+x+y^{2}=7 \\ xy-x+y=3 \end{matrix}\right.$
6) $\left\{\begin{matrix}x-\sqrt{y-1}=\frac{5}{2} \\ y+2(x-3)\sqrt{x+1}=\frac{-3}{4} \end{matrix}\right.$
7) $\left\{\begin{matrix}(x^{2}+1)(y^{2}+1)+8xy=0 \\ \frac{x}{1+x^{2}}+\frac{y}{1+y^{2}}=\frac{1}{4} \end{matrix}\right.$
8) $\left\{\begin{matrix}\sqrt{1-y^{2}}=1-x \\ \sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{3}-y \end{matrix}\right.$
9) $\frac{9}{x^{2}}+\frac{2x}{\sqrt{2x^{2}+9}}=1$
10) $\sqrt{x^{3}-3x^{2}}+2\sqrt{(x+1)^{3}}-3x=0$
11) $\sqrt{x^{^{2}}+10x+21} +3\sqrt{x+3}=2\sqrt{x+7}-6$
12) $x^{2}+3\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}$
P/S: Thân gửi những bạn có nguyện vọng thi trường chuyên PBC thì làm được hết 12 bài này thì coi như đạt yêu cầu phần phương trình và hệ phương trình nhé. Ấy mà mình chưa làm được câu 11, ai chỉ mình với

11) $\sqrt{x^{^{2}}+10x+21} +3\sqrt{x+3}=2\sqrt{x+7}+6$
T nghĩ câu 11 thì phải sửa lại như vậy ms giải đc...

Cho a,b,c không âm thỏa mãn $(a+b+c)^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=27$. Chứng minh:
$\sqrt{a^{2}+3b^{2}}+\sqrt{b^{2}+3c^{2}}+\sqrt{c^{2}+3a^{2}}\geq 6$
-cảm ơn-