$\lim_{x\rightarrow 0} (1+x^2)^{\cot^2 x}.$

Ta có $$(1+x^2)^{\cot^2 x} = e^{\cot^2 x \ln{(1+x^2)}}.$$

Hơn nữa, 

$$\lim_{x\to0}\cot^2 x \ln{(1+x^2)}= \lim_{x\to0}\cos^2 x \frac{\ln{(1+x^2)}}{x^2}\frac{1}{\frac{\sin^2x}{x^2}}=1. $$

Suy ra $$\lim_{x\to0} (1+x^2)^{\cot^2 x} =e.$$

Sao Un-U(n-1) lại <0 ạ. Em chưa hiểu lắm

Nếu không có giả thiết $a>0$ thì đề sai.

 

Khi $a>0,$ dùng BĐT Cauchy, suy ra $u_n\ge \sqrt{x} \forall n\ge 1.$ 

 

Nếu không có giả thiết $a>0$ thì đề sai.

 

Khi $a>0,$ dùng BĐT Cauchy, suy ra $u_n\ge \sqrt{x} \forall n\ge 1.$ 

 

Giả sử √x=L.
Anh chị giúp e chứng minh dãy trên là hữu hạn và có giới hạn là L với.
Em rất cảm ơn ạ

Nếu không có giả thiết $a>0$ thì đề sai.

Khi $a>0,$ dùng BĐT Cauchy, suy ra $u_n\ge \sqrt{x} \forall n\ge 1.$ Hơn nữa, $u_{n}-u_{n-1}=\frac{x-u_{n-1}^2}{2u_{n-1}}\le 0 \forall n\ge 2.$
Vì thế $\left\{ u_n\right\}_{n\ge 2}$ là dãy giảm và bị chặn dưới. Do đó, dãy này hội tụ. Gọi $b= \lim u_n, b\ge \sqrt{x}.$

Cho hệ thức truy hồi qua giới hạn, ta nhận được phương trình: $b= \frac{1}{2}\left( b+\frac{x}{b}\right).$ Suy ra $b=L=\sqrt{x}.$ Điều cần phải chứng minh.

Nếu hàm $f$ liên tục trên $[a,b]$ và khả vi trên $(a,b$) thì $f'$ có liên tục trên $[a,b]$ không?

Liệu $f$ có khả vi tại $a$ hay không mà... $f '$ liên tục tại $a$?

Chào các anh chị, anh chị có thể giúp em giải các bài tập sau được không ạ, em cảm ơn nhiều ạ

lim (x^2+y^2) e^-(x+y) khi (x,y) -> (+vô cùng, +vô cùng)

Dùng BĐT $e^u \ge \frac{u^3}{3!}$ với $u>0.$

Cho $x\to +\infty$. Chứng minh rằng: $\frac{arctan(x)}{1+x^2}=O(\frac{1}{x^2})$

Điều này dễ thấy vì $\lim_{x\to \infty} \arctan x=\frac{\pi}{2}.$

 

$0\leq U_n \leq 2$ va $U_{n}+U_{n+2}\geq 2U_{n+1}$ , $n \leq 1$

cmr $0 \leq n(U_n-U_{n+1}) \leq 2$ 

 

Vì dãy $\left\{u_k-u_{k+1} \right\}$ là dãy giảm nên 

$$n(u_{n}-u_{n+1})\le (u_1-u_2)+(u_2-u_3)+...+(u_n-u_{n+1})=u_1-u_{n+1}\le 2.$$

Cho $x_{1}=a,y_{1}=b;
và x_{n+1}=\frac{x_{n}+y_{n}}{2};
y_{n+1}=\sqrt{x_{n}y_{n}}$
Tìm lim $x_{n},y_{n}$

Sao bạn không đề cập đến điều kiện của $a$ và $b$?

Kết hợp sao vậy bạn? Giải thích rõ hơn dùm mình nha! Cảm ơn!

1) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số sau:

                    $\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{\cos{n}}{n}}.$

2) Dùng tiêu chuẩn Cauchy xét tính hội tụ của dãy số sau:

$S_n=\frac{\cos{1^n}}{2^1}+\frac{\cos{2^n}}{2^2}+...+\frac{\cos{n^n}}{2^n}.$

$T_n=\frac{|\cos{1^n}|}{2^1}+\frac{|\cos{2^n}|}{2^2}+...+\frac{|\cos{n^n}|}{2^n}$. Dãy $\left\{ T_n\right\}$ hội tụ vì dãy này tăng và bị chặn trên bởi 1. 
Tìm ra chặn trên của dãy nhờ đánh giá $\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^n}<1.$

Suy ra $\left\{ S_n\right\}$ hội tụ.

có đơn giản quá không nhỉ

Ý bạn là thế nào?

$e=\lim_{x\rightarrow \infty }(1+\frac{1}{x})^x$

Vậy làm sao định nghĩa số $(1+\frac{1}{x})^x$ khi $x$ là số vô tỷ?

Có vẻ như anh nhầm gì đó ở chỗ chú ý. Theo nội dung tiêu chuẩn Cauchy, dãy số $u_n$ hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy.

Bạn đọc không kỹ. Dãy thì chưa chắc là dãy số.

"Ngịch đảo" ta sẽ dẫn ra dãy truy hồi tuyến tính $2v_{n+2}=v_{n+1}+v_{n}, n\ge 1,$ trong đó $v_n= \frac{1}{u_n}.$

Giải tìm $v_n$ theo $n$. Từ đó, ta xác định được $\lim u_n.$

Tính tích phân suy rộng $\int_{1}^{\infty } \frac{ln(1+x)}{x} dx$ 

Sử dụng BĐT $\frac{\ln{(1+x)}}{x}\ge \frac{\ln 2}{x}>0 \, \forall x\ge 1$ để chứng minh TPSR phân kỳ.

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi:

$\left\{\begin{matrix}u_1=1, u_2=2 \\ u_{n+1}=\sqrt{u_n} +\sqrt{u_{n-1}} , \forall n\geq 2 \end{matrix}\right.$

CMR: $(u_n)$ tăng và bị chặn trên.

(+) Dãy bị chặn trên bởi 4.

(+) Dãy tăng được chứng minh bằng qui nạp.

Có lẽ bài toán của mình chính là như kiểu đang chứng minh dãy $\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}$ là dãy tăng và hội tụ về $e.$

Mình đọc thấy có điều gì đó kỳ kỳ! Vậy e là gì?

 

 

Chứng minh rằng: $n!>(\frac{n}{3})^{n}$ với $\forall n\in\mathbb{N}^*$

Bất đẳng thức "mạnh hơn" là $n!>(\frac{n}{e})^{n} \forall n\ge 1.$

Đặt $u_n= \dfrac{n!}{\left(\frac{n}{e}\right)^n}.$

Ta có $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{e}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}>1.$

Lưu ý: Khi định nghĩa, $e$, ta đã có dãy $\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}$ là dãy tăng và hội tụ về $e.$

Hơn nữa, $u_1>1$ nên $u_n>1 \forall n\ge 1.$ Suy ra điều phải chứng minh.

Tìm cực trị của hàm $z = x^3y^2(6 - x - y)$, $x>0$, $y>0$.

Trên miền $x>0, y>0$, hàm số chỉ có duy nhất một điểm dừng $(3,2)$ và điểm dừng đó là điểm cực tiểu.

Mình nhìn hơi vội! Để mình xử lý lại!

 

 

 

 

 

Nháp: 

Ta có 

$A = \begin{bmatrix} 1 & \dfrac{x}{n}\\ -\dfrac{x}{n} & 1 \end{bmatrix}= E+\frac{1}{n}B,$ trong đó $B= \begin{bmatrix} 0 & x\\ -x & 0 \end{bmatrix}$

$A^n-E=B+ \sum_{k=2}^n\frac{C_n^k}{n^k}B^k.$

Sao lại tiến về ma trận không?

Mình nhìn hơi vội! Để mình xử lý lại!

Nháp: 

Ta có 

$A = \begin{bmatrix} 1 & \dfrac{x}{n}\\ -\dfrac{x}{n} & 1 \end{bmatrix}= E+\frac{1}{n}B,$ trong đó $B= \begin{bmatrix} 0 & x\\ -x & 0 \end{bmatrix}$

$A^n-E= \sum_{k=1}^n\frac{C_n^k}{n^k}B^k.$

Đặt $S_n= E+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}B^k.$

Nhận xét:

1) Dãy $\left\{S_n\right\}$ hội tụ về $S:=e^{B}.$

2) Dãy $\left\{A^n-S_n\right\}$ hội tụ về  $0.$

(Cần kiểm tra 2.)

$A^n-S_n= \sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}\left(\displaystyle\prod_{i=1}^{n-k}(1-\frac{k}{n})-1\right)B^k.$

Mình đang muốn hướng tìm số hạng tổng quát. Liệu có tìm được không nhỉ?

Hãy cho mình một lý do để ta lại đi theo tiếp cận phức tạp hơn hướng đơn giản?

Tìm

$\displaystyle \lim_{x\to 0}(\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\dfrac{1}{x}(A^n-E)))$

trong đó $E$ là ma trận đơn vị

và $A = \begin{bmatrix} 1 & \dfrac{x}{n}\\ -\dfrac{x}{n} & 1 \end{bmatrix}, n \in \mathbb{N^*}$

Giới hạn bên trong tiến về ma trân không (ma trận vuông cấp 2). 

Cho dãy số $({{u}_{n}})$ xác định bởi ${{u}_{1}}>0$ và ${{u}_{n+1}}=\dfrac{u_{n}^{3}+4{{u}_{n}}}{u_{n}^{2}+1}$ với mọi $n\ge 1.$ Chứng minh rằng ${{u}_{n}}<\dfrac{2{{u}_{1}}+3(n-1)}{2}$ với mọi $n\ge 2.$

Mấu chốt là tính chất sau: $u_{n+1}\le u_n+\frac{3}{2}\, \forall n\ge 1.$

Tìm giới hạn dãy $1+\frac{1}{2} +...+\frac{1}{n+1}$

P/s:Mong mọi người bỏ ra chút thời gian giúp mình với ạ!

Dùng đánh giá $\ln{(1+x)}\le x,$ ta có 

$\frac{1}{k}\ge \ln\left( 1+\frac{1}{k}\right)=\ln{(k+1)}-\ln k. $

Suy ra 

$$1+\frac{1}{2} +...+\frac{1}{n+1}\ge \ln{(n+1).}$$

Do đó, 

$$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{2} +...+\frac{1}{n+1}\right)=\infty.$$

Tìm $\lim u_n$ biết $u_n=\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}$

Dùng đẳng thức $$\dfrac{1}{(k+1)\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}}= \dfrac{1}{\sqrt{k}\sqrt{k+1}\left( \sqrt{k+1}+\sqrt{k}\right)}=\dfrac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k}\sqrt{k+1}}= \frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}.$$

Hàm số sau đây có bao nhiêu điểm gián đoạn
$$f(x)=\begin{cases}\frac{|x|}{x}, x \ne 0\\0, x=0\end{cases}$$

Dễ dàng kiểm tra hàm số này chỉ có duy nhất điểm gián đoạn: $x=0.$

ai giúp mình với

Nghịch đảo sẽ thấy dãy đơn giản theo dãy $\left\{\frac{1}{u_n}\right\}.$