Mình xin đóng góp 1 tổng quát rất tâm đắc:
$\sqrt {\dfrac{{x^2 + 1}}{2}} + \sqrt x \le x + 1$
Cm điều này rất đơn giản, bp và biến đổi ta đc:
$(\sqrt x - 1)^4 \ge 0$ điều này hiển nhiên đúng mà!Đẳng thức khi x=1:D
Ứng dụng bt trên ta có bt về hệ pt sau(không hề dễ nếu ta ko bít bt tổng quát trên):
Giải hệ pt trên tập số thực dương:
$\left\{ \begin{array}{l}
xyz = 1 \\
\sqrt {x^2 + 1} + \sqrt {y^2 + 1} + \sqrt {z^2 + 1} = \sqrt 2 \left( {x + y + z} \right) \\
\end{array} \right.$
lời giải dành cho các bạn(chỉ cần dùng bt trên là xong). Nghiệm duy nhất x=y=z=1!
Tổng quát bt trên tương tự cho
$a_1 ,a_2 ,...,a_n $ có tích bằng 1.Khá hay đó!
BT tổng quát trên còn nhiều ứng dụng mong các bạn đóng góp.Mong rằng đây là 1 bt hữu ích cho các bạn đb là các bạn thi HSG.
Chúc các bạn thành công!

Thế giải nốt hộ bài này cái:cho biết a,b,c dương,abc=1
a^3/(1+b)(1+c) +b^3/(1+a)(1+c) +c^3/(1+a)(1+b) 3/4

ok thui;lời giải của mình nè bạn:
Áp dụng BĐT Cô-si (AM-GM) ta có:
$\dfrac{{a^3 }}{{\left( {1 + b} \right)\left( {1 + c} \right)}} + \dfrac{{1 + b}}{8} + \dfrac{{1 + c}}{8} \ge \dfrac{3}{4}a$
Tương tự rùi cộng lại ha;ta đc:
$\begin{array}{l}
VT + \dfrac{3}{4} \ge \dfrac{1}{2}\left( {a + b + c} \right) \ge \dfrac{3}{2} \\
\Rightarrow VT \ge \dfrac{3}{4} \\
\end{array}$ ($a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}} = 3$ mà,)
=> đpcm đó bạn!
Dấu"=" <=> a=b=c=1

Nếu đề đúng là cái thứ 2 thì đây là lời giải của em:
Ta có:
$\begin{array}{l}
A + 3 = \dfrac{{x + y + z + 2}}{{z + 2}} + \dfrac{{y + z + x + 2}}{{x + 2}} + \dfrac{{z + x + y + 2}}{{y + 2}} \\
= \left( {x + y + z + 2} \right)\left( {\dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{{y + 2}} + \dfrac{1}{{z + 2}}} \right) \\
\end{array}$
• Tìm min nè:
$ \Rightarrow A + 3 \ge \dfrac{{9\left( {x + y + z + 2} \right)}}{{x + y + z + 6}} \ge \dfrac{{5\left( {x + y + z + 6} \right)}}{{x + y + z + 6}} = 5$ bởi vì $x + y + z \ge 3$ mà!
Vậy $A_{\min } = 2$

• Tìm max nè:
$\begin{array}{l}
A = \dfrac{y}{{x + 2}} + \dfrac{z}{{x + 2}} + \dfrac{x}{{y + 2}} + \dfrac{z}{{y + 2}} + \dfrac{y}{{z + 2}} + \dfrac{x}{{z + 2}} \\
\le \dfrac{y}{{x + y}} + \dfrac{z}{{x + z}} + \dfrac{x}{{y + x}} + \dfrac{z}{{y + z}} + \dfrac{y}{{z + y}} + \dfrac{x}{{z + x}} = 3 \\
\end{array}$ bời vì $x,y,z \le 2$ mà

Vậy $A_{\max } = 3$

Ok men!cả minh max đó bạn thanks cho mình cái ha, mình là thành viên mới mà

tim Min Max:A=x+y/(2+z) + y+z/(2+x) + x+z/(2+y)
cho biet :1 x,y,z 2

đề bài là :$A = x + \dfrac{y}{{z + 2}} + y + \dfrac{z}{{x + 2}} + z + \dfrac{x}{{y + 2}}$
hay $A = \dfrac{{x + y}}{{z + 2}} + \dfrac{{y + z}}{{x + 2}} + \dfrac{{z + x}}{{y + 2}}$
????

cac pro giup em voi:a^2/(b-1) + b^2/(a-1) 8, biet a,b lon 1

Trước hết để mình ghi lại đề cho dễ nhìn nha.
Cho a,b >1.CMR: $\dfrac{{a^2 }}{{b - 1}} + \dfrac{{b^2 }}{{a - 1}} \ge 8$
và đây là lời giải của mình:
a>1;b>1 nên a-1;b-1>0
Ta có:
$VT \ge \dfrac{{(a + b)^2 }}{{a + b - 2}} = \dfrac{{\left( {a + b - 2 + 2} \right)^2 }}{{a + b - 2}} \ge \dfrac{{8(a + b - 2)}}{{a + b - c}} = 8$
sử dụng cái $\left( {A + 2} \right)^2 \ge 8A$ ý mà

Sai rồi bạn ơi ( .... Tớ cũng ra kết quả đó nhưng cô giáo bảo SAI (

Hjk sai ư!nếu bạn giải thế này thì đúng rùi còn j`!
Không sai đâu bạn ơi!
Nếu sai thì bạn sửa đj.hoặc chỉ ra chỗ sai rùm mình cái.

Giúp em với !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

uhm đây là lời giải của mình:(check hộ xem đúng ko na)

$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \sin \dfrac{x}{2}\sin x - 2\sin \dfrac{x}{2}\sin x\cos ^2 \dfrac{x}{2} = 2\cos ^2 (\dfrac{\pi }{4} - \dfrac{x}{2}) - 1 \\
\Leftrightarrow \sin \dfrac{x}{2}\sin x(1 - 2\cos ^2 \dfrac{x}{2}) = \cos (\dfrac{\pi }{2} - x) \\
\Leftrightarrow - \sin \dfrac{x}{2}\sin x\cos x = \sin x \\
\Leftrightarrow \sin x(1 + \sin \dfrac{x}{2}\cos x) = 0 \\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = 0 \\
\sin \dfrac{x}{2}\cos x = - 1 \\
\end{array} \right. \\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k2\pi \\
\left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\sin \dfrac{x}{2} = 1 \\
\cos x = - 1 \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
\sin \dfrac{x}{2} = - 1 \\
\cos x = 1 \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k2\pi \\
x = \pi + k4\pi \\
x = - \pi + k4\pi \\
\end{array} \right.\left( {k \in } \right) \\
\end{array}$

Vậy kết kuận nghiệm của pt

$\dfrac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}}$

Bài nè dễ mà bạn:
My solution:

$\begin{array}{l}
\dfrac{1}{{a^2 + 2b^2 + 3}} + \dfrac{1}{{b^2 + 2c^2 + 3}} + \dfrac{1}{{c^2 + 2a^2 + 3}} \\
\le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{ab + b + 1}} + \dfrac{1}{{bc + c + 1}} + \dfrac{1}{{ca + a + 1}}} \right) \\
= \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{c}{{bc + c + 1}} + \dfrac{1}{{bc + c + 1}} + \dfrac{{bc}}{{bc + c + 1}}} \right) = \dfrac{1}{2} \\
\end{array}$
Vậy max = $
\dfrac{1}{2}$ khi a=b=c=1.

Problem 2:Giải hệ phương trình sau trên tập số nguyên tố:

$\left\{ \begin{array}{l}
x = t^2 - 2 \\
y = 2t^2 - 1 \\
z = 3t^2 + 4 \\
\end{array} \right.$

Problem1:(easy) Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn: a+b+c=1.Chứng minh rằng:

$\dfrac{{a^2 + b}}{{b + c}} + \dfrac{{b^2 + c}}{{c + a}} + \dfrac{{c^2 + a}}{{a + b}} \ge 2$


(Chú ýễ nên giải bằng nhiều cách)