Giải

Chú ý bất đẳng thức:

$0 < \sin{\dfrac{A}{2}} + \sin{\dfrac{B}{2}} + \sin{\dfrac{C}{2}} \leq \dfrac{3}{2}$

Ta có:
$P = \sin{\dfrac{A}{2}} + \sin{\dfrac{B}{2}} + \sin{\dfrac{C}{2}} + \cot^2{\dfrac{A}{2}} + \cot^2{\dfrac{B}{2}} + \cot^2{\dfrac{C}{2}}$

$\Leftrightarrow P = \sin{\dfrac{A}{2}} + \sin{\dfrac{B}{2}} + \sin{\dfrac{C}{2}}$ + $\dfrac{1}{\sin^2{\dfrac{A}{2}}} + \dfrac{1}{\sin^2{\dfrac{B}{2}}} + \dfrac{1}{\sin^2{\dfrac{C}{2}}} - 3$

Do A, B, C là số đo 3 góc của 1 tam giác nên ta luôn có $\sin\dfrac{A}{2}, \sin\dfrac{B}{2},\sin\dfrac{C}{2} > 0$
Nhận thấy:

$8\sin\dfrac{A}{2} + 8\sin\dfrac{A}{2} + \dfrac{1}{\sin^2\dfrac{A}{2}} \geq 3\sqrt[3]{64} = 12$

Do đó:
$P \geq 3.12 - 3 - 15(\sin\dfrac{A}{2} + \sin\dfrac{B}{2} + \sin\dfrac{C}{2}) \geq \dfrac{21}{2}$

Vậy $Min_P = \dfrac{21}{2}$. Dấu "=" xảy ra khi $A = B = C = \dfrac{\pi}{3}$

Giải

Giải

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(x - y)[3(x + y) - 1] = 0\\3x^2 + y = m\end{matrix}\right.$

Giải

Giải

Phương trình tương đương:
$\left [ (x - 1)(x + 5)\right ]\left [ (x + 1)(x + 3)\right ] = m$
$\Leftrightarrow (x^2 + 4x - 5)(x^2 + 4x + 3) = m$

Đặt $a = x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 \geq 0$, ta được:
$(t - 9)(t - 1) = m \Leftrightarrow t^2 - 10t + 9 - m = 0 \, (1)$

Phương trình ban đầu có 4 nghiệm thực phân biệt khi (1) có hai nghiệm phân biệt dương, tức là:
$\left\{\begin{matrix}\Delta = (- 5)^2 - (9 - m) > 0\\S = 10 > 0 (TM)\\P = 9 - m > 0\end{matrix}\right.$

Bạn tự giải tiếp nhé

$X^2 - SX + P = 0$

Hệ có 2 cặp nghiệm phân biệt

Giải

Giải

Giải

Đặt xy = t

Từ giả thiết, ta có: $(x + y)^2 = 3xy + 1 \geq 0 \Rightarrow t \geq \dfrac{-1}{3}$

Mặt khác: $xy = x^2 + y^2 - 1 \geq 2xy - 1 \Rightarrow t \leq 1$

Ta có:
$M = x^4 + y^4 - x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 - 3x^2y^2 $
$M = (t + 1)^2 - 3t^2 = -2t^2 + 2t + 1 = -\dfrac{2}{3}(3t + 1)(t - 1) + \dfrac{2}{3}t + \dfrac{1}{3}$

Vì $\dfrac{-1}{3} \leq t \leq 1 \Rightarrow (3t + 1)(t - 1) \leq 0$

Vậy: $M \geq \dfrac{2}{3}t + \dfrac{1}{3} \geq \dfrac{1}{9}$

Kết luận: $Min_M = \dfrac{1}{9}$ khi $x = - y = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ và ngược lại.

Giải

Đặt $\cos{x} = t \, (-1 \leq t \leq 1)$, ta được:

$y = f(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 5$

Xét hàm số f(t) trên $[-1; 1]$ có $f’(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t - 1)(t - 3) \geq 0 \forall$ $t \in [-1; 1]$

Vậy, hàm đồng biến trên [-1; 1]. Khi đó: $f(-1) \leq f(t) \leq f(1)$

Vậy:

$Max_y = 9$ khi $t = 1 \Rightarrow x = k2\pi \, (k \in Z)$

$Min_y = -11$ khi $t = -1 \Rightarrow x = \pi + k2\pi \, (k \in Z)$

Giải

ĐK: $x \geq 1$ và $y \geq 1$

Đặt $\sqrt{x - 1} + \sqrt{y - 1} = a \geq 0\Rightarrow a^2 = x + y - 2\sqrt{xy - x - y + 1}$

Từ giả thiết, ta có:

$\left ( \sqrt{x - 1} + \sqrt{y - 1}\right )^2 + \sqrt{x - 1} + \sqrt{y - 1} = 2 + \sqrt{(x - 1)(y - 1)} \geq 2$

Áp dụng BĐT: $\sqrt{(x - 1)(y - 1)} \leq \dfrac{(\sqrt{x - 1} + \sqrt{y - 1})^2}{4} = \dfrac{a^2}{4}$

$\Rightarrow 2 \leq a^2 + a \leq 2 + \dfrac{a^2}{4} \Leftrightarrow 1 \leq a \leq \dfrac{2\sqrt{7} - 2}{3}$ (Do $a \geq 0$ )

Ta có: $P = 4 - a \geq 4 - \dfrac{2\sqrt{7} - 2}{3}  = \dfrac{14 - 2\sqrt{7}}{3}$

Ta lại có: $P = 4 - a \leq 4 - 1 = 3$

Vậy $Min_P = \dfrac{14 - 2\sqrt{7}}{3}$. Dấu “=” xảy ra khi $x = y = \dfrac{17 - 2\sqrt{7}}{9}$

Và $Max_P = 3$ khi $x = 2; y = 1$ và ngược lại.

Giải

Nếu $y = 0 \Rightarrow P = 2$

Với $y \neq 0$. Đặt $t = \dfrac{x}{y}$. Ta có:

$P = \dfrac{2x^2 + 12xy}{1 + 2xy + y^2} = \dfrac{2x^2 + 12xy}{x^2 + 2y^2 + 2xy} = \dfrac{2t^2 + 12t}{t^2 + 2t + 2}$

Xét hàm số: $f(t) = \dfrac{2t^2 + 12t}{t^2 + 2t + 2}$

Có $f’(t) = \dfrac{-8t^2 + 8t + 24}{(t^2 + 2t + 2)^2}$; $f’(t) = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$

Lập bảng biến thiên, ta tìm được:
$P_{max} = 2\sqrt{13} - 4$ và $P_{min} = -2\sqrt{13} - 4$

Bạn tự tìm giá trị của x, y tương ứng nhé.

Bài 1.

Giải

Sai thì thôi bạn nhé

Giải

Ta có:
$A = x + \dfrac{1}{y(x – 8y)} = x + \dfrac{8}{8y(x – 8y)}$

$\geq x + \dfrac{8}{\dfrac{(8y + x – 8y)^2}{4}} = x + \dfrac{32}{x^2}$

$= \dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2} + \dfrac{32}{x^2} \geq 3\sqrt[3]{8} = 6$

Vậy, $Min_A = 6$
Dấu “=” xảy ra khi: $\dfrac{x}{2} = \dfrac{32}{x^2}$ và $8y = x – 8y$. Suy ra: $x = 4, y =\dfrac{1}{4}$

Theo bất đẳng thức Cô - si, với hai số dương a, b, ta có; $a + b \geq 2\sqrt{ab}$
Áp dụng BĐT nói trên với 2 số dương: $\dfrac{\tan^2{\alpha}}{4}$ và $\cot^2{\alpha}$

Với đẳng thức: $\tan{\alpha}.\cot{\alpha} = 1$ thì ta có điều nói trên.

Lưu ý: Ở đây, ta dự đoán dấu "=" xảy ra khi $\alpha = \beta = \gamma \Rightarrow \cos{\alpha} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$
Suy ra: $\tan{\alpha} = \sqrt{2}; \cot{\alpha} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \dfrac{\tan^2{\alpha}}{4} =\cot^2{\alpha}$

Bài 2.

Giải

TXĐ: $x \in [0; + \infty]$
Với $x \geq 0 \Rightarrow (x + \sqrt{x})^\sqrt{2} \geq 0$

Hàm số có $Min_y = 0$ đạt được khi x = 0

Hàm số này không có giá trị lớn nhất!

Giải